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      高維解析Jacobi算子的Lyapunov指數(shù)的log-H?lder連續(xù)性

      2022-12-01 06:48:36尤安迪陶凱
      關(guān)鍵詞:連續(xù)性算子解析

      尤安迪,陶凱

      (河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210098)

      0 引言

      在本文中,我們將研究定義在l2()上的如下擬周期解析Jacobi算子

      (1)

      其中V:d→是一個實解析函數(shù),a:d→是一個復(fù)解析函數(shù)且不恒為d被稱為初相,被稱為頻率.

      因此,我們定義

      (2)

      是一個Jacobi斜積流.

      顯然,如果我們定義

      為系統(tǒng)的n步轉(zhuǎn)移矩陣,則

      在本文中,我們主要考慮系列的Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題. 首先,我們定義有限Lyapunov指數(shù)

      顯然,它們是滿足次可加性的,即對任意大于零的正整數(shù)m,n,都有

      nLn+mLm≥(m+n)Lm+n.

      (3)

      此即為本系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù).

      (4)

      至此,我們介紹本文中的主要結(jié)論:

      f(x,y)=sin2πx-sin2πy.

      離散哈密頓算子的Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題一直是本領(lǐng)域內(nèi)的熱點問題.在文獻[1]中,Goldstein-Schlag研究了定義在一維環(huán)面上的解析離散薛定諤方程

      (Sx,ωφ)(n)=φ(n+1)+φ(n-1)+v(x+nω)φ(n),n∈

      (5)

      他們開創(chuàng)性地使用了大偏差定理和雪崩原理(具體定義見下一節(jié))來研究這一問題,證明了當(dāng)勢能v是一維解析函數(shù)且頻率ω為強Diophantine數(shù)時,算子的Lyapunov指數(shù)關(guān)于能量E是H?lder連續(xù)的.此后,包括菲爾茲獎得主J.Bourgain,A.Avila等人,都利用這一套工具研究相關(guān)算子的Lyapunov 指數(shù)各類問題,如文獻[2-4].另一方面, 尤建功與王奕倩等人在文獻[5-6]中也給出了Lyapunov指數(shù)不連續(xù)的例子.最近, 韓瑞和張世文在文獻[7]中研究了薛定諤算子(5)在任意無理數(shù)頻率下的H?lder連續(xù)性問題,而陶凱在文獻[8]中將這一結(jié)果推廣到了本文中所研究的更一般的Jacobi 算子(1)上.

      與本論文直接相關(guān)的是文獻[9-10]. 在文獻[9]中,陶凱研究了定義在一維環(huán)面上的解析Jacobi算子(1)式的同類問題.而在文獻[10] 中,陶凱研究了高維解析斜積流所對應(yīng)的Lyapunov 指數(shù)的連續(xù)性問題,即

      (6)

      1 準(zhǔn)備工作

      在本節(jié),我們主要進行主定理證明的準(zhǔn)備工作.

      首先,需要說明的是,對于Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題,我們只要考慮算子譜集上的能量E即可.這是因為,在預(yù)解集上,其是一個C∞函數(shù).注意到,此算子的譜必然在如下的閉區(qū)間中:

      (7)

      所以在本文中,我們只需要考慮E∈ε上的證明即可.

      其次,在上一節(jié),我們說過,Goldstein-Schlag[1]創(chuàng)造性地給出了一套證明Lyapunov指數(shù)連續(xù)性的方法,此后,包括上述所提到的所有文獻在內(nèi),大家都在使用此方法進行研究.經(jīng)過約20年的發(fā)展,學(xué)者們發(fā)現(xiàn),只要得到了所研究的動力系統(tǒng)所對應(yīng)的大偏差定理,則使用如下的雪崩原理,可以非常順利地得到最后的Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性.

      命題3(雪崩原理) 令A(yù)1,…,An為2×2矩陣的序列,其行列式滿足

      (8)

      假設(shè)

      (9)

      (10)

      那么

      (11)

      其中C為某個絕對常數(shù).

      同樣地,在本文中,我們只要得到如下被稱為大偏差的定理,則剩下的內(nèi)容可以直接使用文獻[10]中的第三部分即可:

      故本文中只需要證明定理4. 為此,我們主要需要關(guān)于高維次調(diào)和函數(shù)的強Birkho遍歷定理.如果T是可測空間(X,Σ,m)上的一個遍歷映射,函數(shù)f是X上的m-可積函數(shù),則對幾乎處處x∈X,其“時間平均收斂到“空間平均”.但此定理并沒有告訴我們上述的收斂速度.因此,我們將給出這一速度的定理稱為強Birkho遍歷定理.

      再次, 我們來介紹次調(diào)和函數(shù).先介紹一維的情況.設(shè)u(z)是定義在復(fù)區(qū)域Ω?上的實值函數(shù).

      定義5[10]我們稱u(z)是定義在區(qū)域Ω上的次調(diào)和函數(shù),如果

      1)u(z):Ω→[-∞,+∞);

      2)u(z)是從Ω映入[-∞,+∞)上半連續(xù)函數(shù);

      3)對任意的z1∈Ω, 總存在r1=r1(z1)>0使得對任意的0

      (12)

      此時, 我們可以用遞歸的方法定義高維次調(diào)和函數(shù):

      注7當(dāng)f(z)是解析函數(shù)時,由Jensen公式:

      因此,在文獻[10]中,函數(shù)

      也是次調(diào)和的. 所以,為了得到其對應(yīng)的大偏差定理,證明了如下的對于uN的強Birkho遍歷定理:

      (13)

      (14)

      至此,我們完成了所有的理論背景的介紹.我們將在下一節(jié)中給出大偏差定理,即定理4的證明,從而得到本文關(guān)于連續(xù)性的主要結(jié)果.

      2 大偏差定理的證明

      首先,我們需要注意的是,本文中考慮的斜積流(2)是亞純的,而非解析的.因此,為了使用命題8,我們需要對其解析化.具體地,我們定義

      (15)

      (16)

      (17)

      定義

      (18)

      由(15)式可得

      (19)

      其中

      (20)

      這里, 為了讓系統(tǒng)有意義, 我們需要說明常數(shù)D是有限的.

      引理9的證明我們證明一個更強的結(jié)果:對任意>0,

      由(14),我們得到

      (21)

      因此,

      引理10對任意的正整數(shù)k,都有

      (22)

      并在命題8中取N=1,注意到此時

      則由命題8直接得到本引理.

      此時,由于(15),(16),(19)式以及引理10,我們會發(fā)現(xiàn), 想要證明大偏差定理4, 其實只要證明

      即可.

      (23)

      引理11的證明注意到

      類似地,

      進一步地, 我們有

      性質(zhì)12(1)

      (2)

      性質(zhì)12的證明(1)由引理11和三角不等式直接得到.

      (2)對任意的1≤k≤K,

      由于

      同樣地,

      (24)

      因此,

      取δ=k1-τ1,并使用引理10,可得

      (25)

      注意到,我們此前已經(jīng)取定k=N1-2σ且已經(jīng)證明D是一個有限常數(shù),故|(k+1)D+k1-τ1|≤N1-σ,從而有

      (26)

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