“問題導(dǎo)學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

彭國榮

【摘要】本文首先對“問題導(dǎo)學(xué)”相關(guān)概念界定，說明“問題導(dǎo)學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，給出了“問題導(dǎo)學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的經(jīng)典實(shí)例，最后提出對“問題導(dǎo)學(xué)”的一些看法.

【關(guān)鍵詞】問題導(dǎo)學(xué)；教學(xué)；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)模式

【基金項(xiàng)目】湖北省教育廳人文社會科學(xué)研究項(xiàng)目（16Y111）：問題導(dǎo)向教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究.

一、有關(guān)概念界定

（一）問題

談到“問題”，有人認(rèn)為問題是“困惑”“障礙”、挑戰(zhàn)的“任務(wù)”“矛盾”等.以哲學(xué)觀點(diǎn)看，問題是形成主體對客體客觀世界的反映，問題的產(chǎn)生表明主體對一定世界的“無知”，但僅僅是這種“無知”還構(gòu)不成問題，只有這種“無知”被主體所察覺，并力圖將這些“無知”反映為“已知”的時(shí)候，“問題”這才產(chǎn)生.本文所談的“問題”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)用已有知識和已有方法無法解決，而需要進(jìn)一步進(jìn)行探索、思考新的解決方法.

（二）問題導(dǎo)學(xué)

從教學(xué)理論的發(fā)展過程看，研究者們認(rèn)為“問題導(dǎo)學(xué)”是根據(jù)新課程理念，應(yīng)用問題教學(xué)法原理，構(gòu)成一種課堂教學(xué)的模式，此模式下的課堂充滿生機(jī)與活力，與學(xué)生現(xiàn)階段的身心發(fā)展特點(diǎn)相適應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生動腦動手，更有學(xué)習(xí)效率.從課堂的教學(xué)過程來看，“問題導(dǎo)學(xué)”是指以問題為學(xué)習(xí)主線，在自覺進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)生成問題的基礎(chǔ)上，師生開展探究的學(xué)習(xí)課堂.

二、“問題導(dǎo)學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

一個發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)造新的平臺，為教師提供一條培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力、提高學(xué)生自控能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題能力的高效途徑.“問題導(dǎo)學(xué)”有助于幫助學(xué)生提高問題解決能力和創(chuàng)造能力.“問題導(dǎo)學(xué)”總是在一定的真實(shí)問題情境中進(jìn)行，其有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、激活學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生全身心地投入到教學(xué)活動中，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果.問題解決的本質(zhì)是思維構(gòu)建，是學(xué)生從已知情境構(gòu)造到未知情境的過程，是一種主動構(gòu)建，在構(gòu)建過程中需要學(xué)生對現(xiàn)有的知識經(jīng)驗(yàn)、方法、觀念進(jìn)行加工改造，然后整合到已有知識結(jié)構(gòu)中，最終使得認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到豐富與擴(kuò)大，因此，“問題導(dǎo)學(xué)”有利于培養(yǎng)學(xué)生的主體意識.

三、“問題導(dǎo)學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

“問題”主要來源有：（1）教師以教材內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)預(yù)先設(shè)計(jì)問題；（2）學(xué)生在實(shí)際生活學(xué)習(xí)過程中生成問題；（3）教師為引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生解決問題或進(jìn)一步拓展引申而提出問題.如何設(shè)計(jì)好問題是“問題導(dǎo)向”的關(guān)鍵，本文從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維兩方面說明“問題導(dǎo)學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

（一）“問題導(dǎo)學(xué)”能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在講導(dǎo)數(shù)的概念的時(shí)候首先提出如下兩個問題：

問題1 高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度h（單位：米）與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h（t）=4.9t2-6.5t+10.如何用運(yùn)動員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)？計(jì)算運(yùn)動員在0～6549秒這段時(shí)間的平均速度，h6549=h（0）=10，v=ΔhΔt=0.

思考下面問題：

（1）運(yùn)動員在這段時(shí)間里是靜止的嗎？（2）你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的狀態(tài)有什么問題嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)在高臺跳水運(yùn)動中，平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動員在這段時(shí)間里運(yùn)動狀態(tài)，需要引入一個新的概念，那就是瞬時(shí)速度，即物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.怎么計(jì)算瞬時(shí)速度？設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為s=f（t），則t0到t的平均速度為v=f（t）-f（t0）t-t0，而t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度 v=limt-t0f（t）-f（t0）t-t0.

圖1

問題2 曲線切線斜率問題.在曲線y=f（x）上點(diǎn)M（x0，y0）處切線斜率與過該點(diǎn)割線的關(guān)系，切線斜率的計(jì)算.由圖1可知當(dāng)N點(diǎn)和M點(diǎn)無限接近的時(shí)候，割線就變成了切線，從而切線的斜率是割線斜率的極限，即k=limx-x0f（x）-f（x0）x-x0.

由此可見，兩個問題有一個共同的特點(diǎn)，所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，類似問題還有加速度、角速度、線速度、電流強(qiáng)度等問題，這些問題都屬于變化量的問題，這些問題都可以用我們即將所學(xué)的導(dǎo)數(shù)來解決.給出這兩個問題后再提出導(dǎo)數(shù)的概念，不僅僅讓學(xué)生容易理解導(dǎo)數(shù)的概念，而且激發(fā)學(xué)生的好奇心，使學(xué)生產(chǎn)生極高的學(xué)習(xí)興趣.

（二）“問題導(dǎo)學(xué)”能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

創(chuàng)設(shè)問題情境，新舊知識建立合理的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、創(chuàng)造問題、勇于探索，培養(yǎng)學(xué)生強(qiáng)大的邏輯思維能力.在講微分中值定理的拉格朗日中值定理時(shí)，創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境.

如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）且兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即 f（a）=f（b）.則滿足羅爾中值定理的條件，那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=0.

羅爾中值定理的幾何意義如圖2，連續(xù)曲線弧AB，除去端點(diǎn)外處處都有不垂直于橫軸的切線，并且兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，則曲線弧AB上至少存在一點(diǎn)C，使得過該點(diǎn)的切線平行于端點(diǎn)連線AB.

問題1 如果在圖2中，坐標(biāo)軸不改變，圖形整體繞著某個方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖3所示，在旋轉(zhuǎn)過程中，哪些發(fā)生改變.學(xué)生通過思考發(fā)現(xiàn)，圖形整體旋轉(zhuǎn)過程中，函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性沒有改變，但是兩端點(diǎn)等高發(fā)生了改變，并且還發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中端點(diǎn)連線與某點(diǎn)切線的平行關(guān)系沒有改變.

問題2 旋轉(zhuǎn)后端點(diǎn)連線AB斜率是多少？結(jié)合羅爾中值定理說明圖3的幾何意義.根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，f（a）），B點(diǎn)坐標(biāo)為（b，f（b）），易知端點(diǎn)連線AB斜率為f（b）-f（a）b-a.圖3的幾何意義是連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外每點(diǎn)都有不垂直于橫軸的切線，那么曲線AB上至少存在一點(diǎn)C，過該點(diǎn)的切線與端點(diǎn)連線AB平行.

通過討論這兩個問題，拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論很自然地形成，最后用數(shù)學(xué)的語言表述如下：如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo).那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

通過“問題導(dǎo)向”的過程，學(xué)生很容易在新舊知識之間建立起聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生較強(qiáng)的邏輯思維能力，與此同時(shí)，也增強(qiáng)了學(xué)生的自我成就感，增加了學(xué)生的自信心，提高了對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

四、結(jié) 論

“問題導(dǎo)學(xué)”是一種以學(xué)生現(xiàn)有知識和生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，是構(gòu)建主義學(xué)習(xí)理論思想的教學(xué)模式.問題引導(dǎo)是“問題導(dǎo)學(xué)”的首要環(huán)節(jié).教師設(shè)計(jì)問題的好壞決定本節(jié)課的成敗.首先，教師在設(shè)計(jì)問題的時(shí)候要深入準(zhǔn)確把握學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)知識和學(xué)習(xí)能力.在教師提出問題后能夠讓學(xué)生在積極反思、分析、綜合等高層次思維活動中進(jìn)一步理解升華已有知識.讓復(fù)習(xí)不單單是對學(xué)過基礎(chǔ)知識的簡單重述，而是重建原有知識結(jié)構(gòu)的過程，并且在重建知識結(jié)構(gòu)過程中能夠積極主動思考.其次，“問題導(dǎo)學(xué)”最好在復(fù)習(xí)相關(guān)的已有知識基礎(chǔ)上引入新知識，教師所提出的問題處于學(xué)生已知和未知的交界處，它是從已知到未知的橋梁，是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的內(nèi)在動力.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過探究回答問題達(dá)到教學(xué)目標(biāo).教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)必須注意不能夠太簡單，因?yàn)樘岢龅膯栴}很大層次決定了學(xué)生思考和理解問題的深度，為了引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生思考探索答案，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，提出的問題盡量是學(xué)生平時(shí)不曾思考過的.

總的來說，“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)設(shè)計(jì)主要由提出問題和圍繞基本觀念和概念探究問題本質(zhì)的兩個步驟構(gòu)成.這兩個步驟充分地體現(xiàn)了教師在教學(xué)過程中的引導(dǎo)作用和學(xué)生在教學(xué)過程中的主體性.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下探究問題的本質(zhì)，甚至進(jìn)一步提出更有意義的問題.在“問題導(dǎo)學(xué)”過程中要求教師在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)乇３珠_放性，為學(xué)生的思維留下一定的空間.教師在與學(xué)生的互動過程中，對學(xué)生的正確觀點(diǎn)要及時(shí)地肯定、加以表揚(yáng)，對學(xué)生錯誤的不恰當(dāng)?shù)挠^點(diǎn)要及時(shí)給予幫助、進(jìn)行反思.在教學(xué)互動過程中，教師要不斷調(diào)整課前預(yù)設(shè)的課程以回應(yīng)學(xué)生的觀點(diǎn)和假設(shè)，并且持續(xù)地評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí).