小學期小學分大學數學專業(yè)代數課程設計研究

程永勝+余祖林

【摘要】現在有很多學校試行三學期，新增一個夏季學期，時長是一個月，開設課程的學分為1學分，還有的學校開設一門課程僅限一學期的幾周，課程的學分也是1學分，這些統(tǒng)稱為小學期小學分的課程.本文從第三學期的意義、作用、設計及注意問題等方面進行了探究.

【關鍵詞】小學期；小學分；大學數學專業(yè)；研究

【基金項目】河南省科技發(fā)展計劃項目：無限維李代數的表示及其應用（152300410061），2015年；河南大學教改項目：河南大學第15批年度教學改革項目：小學期小學分代數課程設計研究，2015年立項；研究生基礎代數課程建設與教學內容改革（碩士）（Y1411005），2014年立項.

河南大學為首個河南省試行“三學期制”的高校.試行“三學期制”后，每年工作總周數與原來兩學期制相同，仍為40周不變，只是把每學期的總周數進行了調整，分別為18周、18周和4周.也就是說，雖然多一個小學期，但總的假期時間和上課時間是沒變的.第三學期究竟做何用？

一、三學期的意義和作用

1.三學期制可一定程度上緩解學分制實施過程中出現的選課難問題.兩學期制，不少課程從結束到期末考試，復習時間長達兩到四周，有時候時間沒有被充分利用，而且，學生選課的頻次和數量有限.三學期制有效地解決了這些問題.

2.三學期制并非簡單的學時變化，教學安排也隨之調整.在保證學生在校總周數不變的基礎上，通過學習時間的合理調整，學生會有更多自主學習和發(fā)展的空間.利用短學期，學生可選修一些個性化特色課程，開展社會實踐、科研訓練等專項活動，利于學生的個性化培養(yǎng)和全面發(fā)展.學院為了吸引學生，準備在小學期開設一些與學生專業(yè)對口、有實際作用的課.另一方面，對于上學期重修或掛科的學生，院方也會盡量在小學期安排上課，以便學生在下學期時間安排上更自由.除此之外，對于即將畢業(yè)的大三、大四學生，學院會安排一些實習、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)的課程，幫助學生提前做好畢業(yè)準備.例如，在為期一個月的小學期里，一方面，學校請了一些國外大學的教師開設講座，讓學生和國際接軌，學習國際上最新、最前沿的理論知識和信息.另一方面，學院自身也會安排一些整體介紹數學前沿的課程、特色課程，如，專題講座、學術報告、學科專業(yè)發(fā)展前沿、興趣拓展等以及一些實踐性教學環(huán)節(jié)，包括課程設計（論文）、專業(yè)實訓、社會實踐、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)與科研訓練等，幫助學生們更加正確地認識自己的專業(yè)發(fā)展和前景.

二、小學期小學分大學數學專業(yè)代數課程設計

1.本課程計劃在高等代數和抽象代數之后開設，所以在教學過程中如何選擇教學內容、如何利用學生已有的代數知識，合理地調配教學內容，在16個課時左右講解給學生，使得學生能夠掌握好代數課程的基本知識和代數學的基本思想和方法，特別是訓練好從定義出發(fā)，得到性質、定理的抽象的思維能力，是我們目前設計研究所面臨的主要問題.

對于數學系的學生來說，開設代數課是一次很好的思維訓練，而這種訓練是從定義出發(fā)，得到定理、性質和結論，是其他數學課所無法比擬的.隨著現代科技的不斷進步，特別是電子計算機的飛速發(fā)展與推廣，代數學的基本思想、基本理論與方法已經滲透到科學領域的各個方面與實際應用的各個部門.而從師范教育的角度看，中學的數學教學內容絕大部分都是屬于代數的，其中一些最基本的數學概念（例如，數系及其擴展）以及一些初等數學的難題（例如，三等分角），如果沒有抽象代數的知識是不可能徹底搞清楚的，因此，代數課程對于我們高屋建瓴地理解中學數學的教學內容，有著其他數學課程所不可代替的作用.另外，代數學中的等價、劃分、同構等思想方法，不僅是最重要的數學方法之一，也是觀察和研究自然和社會普遍采用的方法.然而開設小學期的小學分的代數課程，是一個全新的課題，目前在國內外并沒有太多的經驗可借鑒，更沒有教材可循，所以本項目是一個必要且急需研究的課題.

2.表示論是代數學的永恒的主題.數學上的表示是指把一個對象的代數結構再現于一個線性變換或矩陣構成的具體對象上，表示就是同態(tài)，是一類很特別的同態(tài)，它的目標對象由線性變換組成.表示論在數學中隨處可見，比如，我們熟悉的多項式環(huán)、分析中的平方可積函數空間、拓撲里的上同調群和K群等等都有豐富的表示結構.I.M.Gelfand曾說：“所有的數學就是某類表示論.”表示論最關注的代數結構有群，還有一類特殊的環(huán)稱為代數，以及一類特殊的非結合代數，稱為李（超）代數，因此，表示論大致分為群的表示論、代數的表示論和李代數的表示論三部分.表示論的基本思想有兩點：一個是對稱，一個是線性化.代數結構反映了對稱性，尤其是群最容易理解這一點.代數結構的表示給出了代數結構的線性化，也反映了相關線性空間的某種對稱性.本項目研究如何把表示論的思想方法介紹給學生.

3.從學生的實際需要出發(fā)，增添了部分將在他們今后的學習和工作中起重要作用的內容.如，交換代數介紹、同調代數介紹、表示論初步、數學的分類思想等內容，這部分內容是代數學的核心內容之一，對學生理解和掌握抽象代數的基本方法很有幫助，對報考研究生的學生也很有用.

4.在教學方法上要注重引導學生如何去探索和發(fā)現知識，從學生熟悉的高等代數和抽象代數的內容和方法出發(fā)，根據需要引入概念，并總結出定理，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.這一教學過程的主體是學生，主導是教師.由于該課程學習的抽象性，需要一定的練習，因此，應注重習題輔導和答疑.教學方式主要是教師課堂教授，體現啟發(fā)式，講出數學背景，數學思想本質，講出解決問題的思路.

三、小學期小學分大學數學專業(yè)代數課程設計研究應注意的問題

1.開設小學期的小學分的代數課程，是一個全新的課題，目前在國內外并沒有太多的經驗可借鑒，更沒有教材可循，所以本課題是一個必要且急需研究的課題.

2.開設課程具有前沿性，在代數學中有著非常重要的位置.小學期小學分代數課程是一些選修課程，基本上由國外知名專家講授，講授的是國際上代數學方面最前沿的課題和熱點.利用代數學方面的最基本的工具，利用交換代數、代數幾何、同調代數等工具，來解決當今代數學方面的最熱門的問題.

3.所開設課程應加強課程內容的應用性.一般來說，深刻的理論和廣泛的應用是相輔相成的.作為一門大學數學專業(yè)的課程，如果從教學目的來看，重點強調它的理論性是必要的，只有學習并深刻領會一門學科的思想方法才是提高能力的根本之路.但是，當前最薄弱之處卻是根本不講應用.在講授該課程時，教師應該多講該課程的廣泛應用.事實上，20世紀初群論已經應用于理論物理和分子化學，而到20世紀中葉，理想理論和域論在計算理論、編碼、信息安全等領域更是大顯身手.這樣一方面，可讓學生看到該理論的巨大應用價值，另一方面，也可大大調動學生的學習興趣.

4.所開設課程還應兼顧課程內容的學術性、師范性.例如，河南大學數學學院從20世紀末開始，辦學方向已經多元化，從單一的基礎數學教育拓展到數學與應用數學、信息與計算數學、金融數學等專業(yè)；從單一的純數學專業(yè)發(fā)展到以應用數學專業(yè)為主，近年來又增設了信息與計算以及金融專業(yè).因此，必須從本身教學的實際出發(fā)，兼顧課程內容的學術性和師范性.例如，群論中優(yōu)美的伽羅華理論徹底地解決了五次和五次以上多項式方程沒有根式解的問題；域的擴張理論徹底地解決了不可能用圓規(guī)、直尺三等分任意角的問題；商域的構造理論完全講清楚了有理數域的來源問題.作為一名中學數學教師，這些都是必須了解的知識.值得注意的是，多年來不斷有社會人士（包括中學生）向大學教師或科研院所投寄他們解決諸如費爾馬定理、哥德巴赫猜想、尺規(guī)作圖三大難題的論文，并要求鑒定，這可能與我們的中學數學教育在某些方面還不到位有關.

小學期小學分大學數學專業(yè)代數課程設計研究是一個非常有意義的課題，需要大家共同關注.

【參考文獻】

[1]程永勝，張新育，裴明.線性代數——內容、思想與方法[M].鄭州：河南科學技術出版社，2009.

[2]程永勝.線性代數教材改革的實踐與思考[J].高等數學研究，2011（6）：47-49.

[3]李尚志.線性代數教學改革漫談[J].教育與現代化，2004（1）：30-33.