淺議仿射變換的應(yīng)用

姚金江++朱萌

摘 要：變換是一種重要的數(shù)學(xué)思想。利用變換去解決問(wèn)題往往可以達(dá)到事半功倍的效果。仿射變換是幾何學(xué)中的一個(gè)重要變換，是從運(yùn)動(dòng)變換向射影變換的重要手段。根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，可以把特殊圖形的重要結(jié)論直接推廣到一般圖形，達(dá)到復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單化求解。

關(guān)鍵詞：仿射變換 仿射不變性 單比

中圖分類號(hào)：TP391.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）05（a）-0156-02

仿射變換是幾何學(xué)中一個(gè)基本的變換，圖形在變換中保持許多不變性質(zhì)和不變量；這些不變性質(zhì)與不變量為人們解決復(fù)雜幾何問(wèn)題提供了理論根據(jù)，仿射變換基本的不變性質(zhì)與不變量有：同素性不變，即把直線變成直線、點(diǎn)變成點(diǎn)；平行性不變，即把平行直線變成平行直線；共線三點(diǎn)的單比不變，兩個(gè)三點(diǎn)形的面積比不變。

結(jié)論1[1] 兩個(gè)多邊形的面積之比是仿射不變量。

結(jié)論2[1] 兩個(gè)封閉圖形的面積之比是仿射不變量。

根據(jù)以上性質(zhì)我們得到：三角形變?yōu)槿切危ㄕ切位蛐比切停?、圓變?yōu)闄E圓、等腰梯形變?yōu)橐话闾菪蔚取?/p>

1 應(yīng)用方法

正三角形、等腰梯形、圓都是特殊的幾何圖形，有明顯的幾何性質(zhì)；它們的某些性質(zhì)可推廣到一般圖形中去，并可以利用相關(guān)結(jié)論解決實(shí)際幾何問(wèn)題。例如正三角形3條中線把正三角形分成6個(gè)面積相等的小三角形，根據(jù)仿射性質(zhì)知道，一般三角形也有這個(gè)結(jié)論。對(duì)于任意的一個(gè)一般三角形，在適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q下，它可以變?yōu)檎切?。因此，我們要證明有關(guān)三角形的結(jié)論時(shí)，若題目中的條件都是圖形的仿射性質(zhì)或仿射不變量，那么我們只需要證明這個(gè)結(jié)論在正三角形中成立即可。

任意的一個(gè)平行四邊形，經(jīng)過(guò)合適的仿射變換，它可以轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)方形或正方形。因此要解決關(guān)于平行四邊形的符合仿射性質(zhì)或數(shù)量的結(jié)論時(shí)，可以考慮正方形，只要這個(gè)結(jié)論在正方形中成立，那么它在原平行四邊形當(dāng)中也成立，從而使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)單。

一般梯形在仿射變換下能轉(zhuǎn)化為等腰梯形。因此要解決關(guān)于梯形的符合仿射性質(zhì)的題目時(shí)，可以將這個(gè)命題轉(zhuǎn)化到等腰梯形中去解決，只要在等腰梯形中成立，那么它在原梯形當(dāng)中也成立。這里主要介紹一下仿射變換在梯形中證明線平行和點(diǎn)共線的應(yīng)用。

橢圓與圓是仿射對(duì)應(yīng)圖形，在仿射意義下二者等價(jià)。在解決關(guān)于橢圓的命題時(shí)，可以將此命題放到對(duì)應(yīng)圓中去解決，只要命題在圓中成立，那么在橢圓中也必定成立。在高中階段，圓錐曲線問(wèn)題是普遍困擾學(xué)生的一部分內(nèi)容，掌握仿射變換會(huì)使一部分題目變得明朗許多，這對(duì)于數(shù)學(xué)師范學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種重要的數(shù)學(xué)思想與方法。

2 應(yīng)用舉例

例1 設(shè)在中，為中邊上的高，直線交外接圓于點(diǎn)，點(diǎn)是的垂心，證明：。

證明：如圖1，做適當(dāng)仿射變換使變?yōu)檎切危鄳?yīng)的點(diǎn)、、變?yōu)?、、。顯然，點(diǎn)是外接圓的圓心，因?yàn)?，所以平分?/p>

因?yàn)椋?/p>

，

所以是正三角形。

因此，平分，即。

由單比是仿射不變量知。

因此。

例2 在底邊為和的梯形中，過(guò)點(diǎn)引平行于邊的直線且交對(duì)角線于點(diǎn)，而過(guò)點(diǎn)平行于邊的直線且交對(duì)角線于點(diǎn)，證明：直線平行于梯形的底邊。

分析： 該題考察梯形變?yōu)榈妊菪蔚姆律渥儞Q，經(jīng)過(guò)變換，可以變 （是直線與的交點(diǎn)）為等腰三角形，因此在關(guān)于中垂線的對(duì)稱下點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，所以直線和平行。命題得證。

證明 如圖2所示，在適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q下，梯形對(duì)應(yīng)等腰梯形，點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)。

易知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于梯形的中垂線左右對(duì)稱，所以

。

因?yàn)橹本€的平行性是仿射不變性，所以在原梯形中，

。

證畢。

例3 設(shè)橢圓方程為，求橢圓內(nèi)接矩形的面積最大值。

解：如圖3所示，做仿射變換，使橢圓對(duì)應(yīng)圓。設(shè)圓的半徑為，易知在圓內(nèi)內(nèi)接矩形面積最大時(shí)，該矩形為正方形。

橢圓的面積公式為，

根據(jù)封閉圖形的面積之比是仿射不變量得，

即，

因此矩形最大面積為。

利用仿射變換的定義、定理以及相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，是理論應(yīng)用實(shí)踐的一種重要的思想方法。從上面的例題中可以看出，大部分題目運(yùn)用仿射變換解決要簡(jiǎn)單和方便許多，運(yùn)用仿射變換可以使一些抽象的、不容易解決的問(wèn)題得到很好的解決。用仿射變換解決平面幾何問(wèn)題的基本思想，首先，要判斷要解決的題目是否涉及仿射性質(zhì)，能否利用仿射不變性（或仿射不變量）來(lái)解決。一般來(lái)說(shuō)，涉及到共線共點(diǎn)、線段或面積比問(wèn)題的這類題目可以運(yùn)用仿射變換求解。而涉及線段長(zhǎng)度、垂直、夾角大小等，不能用仿射變換去解決。

參考文獻(xiàn)

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