具有變時滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步

周 超

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

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具有變時滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步

周 超

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

研究了具有變時滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題.在一些合理的假設(shè)下，基于狀態(tài)反饋原理和穩(wěn)定性理論提出了新的控制協(xié)議.通過運用新的同步方法得到一些充分條件來保證具有時滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能在有限時間內(nèi)同步.

時滯；復(fù)值；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；有限時間；同步

近年來，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在信號處理、模式識別、最優(yōu)化問題等各個領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，因此引起了許多的學(xué)者的強烈關(guān)注. 而同步作為非常重要的一種現(xiàn)象，也得到了不少學(xué)者的青睞，特別是有限時間同步在許多領(lǐng)域中的研究是不可避免的，如信息安全[1]、信息處理[2]等領(lǐng)域. 它不但可以節(jié)約達到同步的時間還能在信息傳輸?shù)葢?yīng)用中提供便利. 控制系統(tǒng)同步的方法很多，如滑?？刂芠3]、脈沖控制[4]、自適應(yīng)控制[5]、狀態(tài)反饋控制[6]等，但得到的結(jié)果的保守性各不相同.

在此之前，已經(jīng)有不少的學(xué)者對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步問題進行了深入地研究[7-11]. 文獻[7]對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步進行了研究，而文獻[8-11]通過不同的方法使得系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)同步.特別是文獻[11]，提出一種新的方法來獲得具有混合時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)同步的條件. 然而，在實際應(yīng)用當(dāng)中，各類網(wǎng)絡(luò)往往要比在實數(shù)域中研究的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)更加復(fù)雜．文獻[12-15]首先對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析與探索，且一般運用兩種方法來解決復(fù)值問題. 而文獻[16-17]則開始對系統(tǒng)的同步性進行研究，特別是文獻[17]已經(jīng)對變時滯的復(fù)值混沌系統(tǒng)進行研究.本文將通過另一種證明方法及其他的判定方式來解決同類問題.

1 基本定義與預(yù)備知識

考慮如下具有變時滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(1)

其中:k=1,2,…,n，n代表神經(jīng)元的個數(shù)，zk(t)∈X表示第k個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在時間t時刻的狀態(tài)，f(z(t))=(f1(z1(t)),f2(z2(t)),…,fn(zn(t)))T∈Xn,是連續(xù)的非線性激勵函數(shù)，J(t)=(J1(t),J2(t),…,Jn(t))T∈Xn表示外部輸入量，D=diag(d1,d2,…,dn)∈Rn×n且dk>0,A=(akj)n×n∈Xn×n,B=(bkj)n×n∈Xn×n,表示連接權(quán)重矩陣,τ表示時滯，φ(s)=(φ1(s),φ2(s),…,φn(s))T代表初值.

根據(jù)驅(qū)動系統(tǒng)(1)，相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)可以考慮如下：

(2)

其中：u(t)=(u1(t),u2(t),…,un(t))T∈Xn是響應(yīng)系統(tǒng)在時間t的狀態(tài)，U(t)=(U1(t),U2(t),…,Un(t))T表示控制輸出.

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步中，常常把式(1)和式(2)的同步問題轉(zhuǎn)化為對式(3)的穩(wěn)定性問題進行探討. 根據(jù)ek(t)=uk(t)-zk(t)可由式(1)和式(2) 得到誤差系統(tǒng)的微分方程如下：

(3)

由于狀態(tài)變量均為復(fù)數(shù)，則誤差也為復(fù)數(shù)，若ek(t)=xk(t)+iyk(t), 則式(3)可以分成如下兩個部分：

(4)

(5)

為了設(shè)計出合適的控制器使得系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達到同步，在得到結(jié)果之前，先給出以下假設(shè)和引理.

(H1)fk(·)滿足以下條件：

在研究系統(tǒng)的有限時間同步問題時，也可將問題轉(zhuǎn)化為如下描述：

2 主要結(jié)論

根據(jù)定義1，控制器應(yīng)當(dāng)滿足當(dāng)ek(t)=0,k=1,2,…,n時，Uk(t)=0.因此，設(shè)計控制器如下：

Uk(t)=-ξkek(t)-δksgn(Rek(t))-iχksgn(Iek(t))

其中Rek(t),Iek(t)代表ek(t)的實部和虛部.由ek(t)=xk(t)+iyk(t)可得：

Uk(t) =-ξk(xk(t)+yk(t))-δksgn(xk(t))-iχksgn(yk(t))=

-ξkxk(t)-δksgn(xk(t))+i(-ξkyk(t)-χksgn(yk(t)))

(6)

于是有：

(7)

(8)

其中：k=1,2,…,n,ξk>0是控制增益，δk>0,χk>0是可調(diào)常數(shù).

定義如下變量：

x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,α=(xT,yT)T,ω=((UR)T,(UI)T)T,

GR(α)=((gR(x,y))T,(gR(x,y))T)T,GI(α)=((gI(x,y))T,(gI(x,y))T)T.

定義系統(tǒng)(4)和(5)的關(guān)系為：

α(t)=-D1α+Q1GR(α)+Q2GI(α)+ω

(9)

定理1 假設(shè)條件H1～H2成立，若控制器(6)中κ=min{δk,χk,k=1,2,…,n}>0，且滿足下列條件：

(10)

(11)

其中：

則系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)有限時間同步，同步時間估計為：

證明：構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函如下：

V(α(t))=V1(α(t))+V2(α(t))

(12)

其中：

將控制器(7)和(8)分別代入誤差系統(tǒng)(4)和(5)， 計算V1(t)沿著軌跡(4)和(5)對時間的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)假設(shè)條件H1可得到以下不等式：

ξkxk(t)-δksgn(xk(t))]}+

ξkyk(t)-χksgn(yk(t))]}≤

(13)

根據(jù)假設(shè)條件(H2)，V2(α(t))關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)滿足下列不等式：

(14)

將式(13)和式(14)代入式(12)可得：

(15)

根據(jù)定理1的條件，將式(10)及式(11)代入式(15)可得：

其中：κk=min{δk,χk}>0，當(dāng)|α(t)| ≠0時，λk+ρk≥1，否則λk+ρk=0.

根據(jù)引理1可得誤差系統(tǒng)(9)在有限時間內(nèi)穩(wěn)定，即誤差系統(tǒng)(3)在有限時間內(nèi)可以達到穩(wěn)定狀態(tài).因此，系統(tǒng)(1)和(2)能在有限時間內(nèi)達到同步，且同步時間估計為：

由于本文研究的系統(tǒng)(1)和(2)中具有變時滯，因此，對于常時滯和無時滯的情況，定理1仍然適用.于是根據(jù)定理1同樣地證明過程可以得到以下推論：

推論1 假設(shè)條件(H1)～(H2)成立，若控制器(6)中δk>0,χk>0,k=1,2,…,n,且滿足下列條件：

則系統(tǒng)(4)與系統(tǒng)(1)有限時間同步，且同步時間估計為：

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責(zé)任編輯：時 凌

Finite-time Synchronization of Complex-valued Neural Networks with Time-varying Delays

ZHOU Chao

(School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

This paper mainly studies the issues of finite-time synchronization for complex-valued neural networks with time-varying delays. Based on some reasonable assumptions, state feedback theory and stability theory, a new control protocol is proposed.By using a new synchronized method, some sufficient conditions are derived to ensure that the complex-valued neural networks with time-varying delays can realize synchronization in finite time.

delays; complex-valued; neural networks; finite time; synchronization

2016-12-23.

國家自然科學(xué)基金項目(61263020)

周超(1988-),男,碩士生,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究.

1008-8423(2017)02-0125-06

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.002

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