一類典型的無時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過優(yōu)化控制實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間混合外同步

張 宇

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

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一類典型的無時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過優(yōu)化控制實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間混合外同步

張 宇

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

考慮到控制成本是控制領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的因素，研究了一個(gè)典型的無時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過優(yōu)化控制達(dá)到有限時(shí)間混合外同步問題. 首先就建立這個(gè)問題的優(yōu)化控制問題，對(duì)控制進(jìn)行優(yōu)化，是系統(tǒng)達(dá)到最低控制成本的有限時(shí)間同步，應(yīng)用控制參數(shù)化方法解決優(yōu)化控制問題. 一個(gè)數(shù)值例子有效的驗(yàn)證所提出方法.

無時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；有限時(shí)間混合外同步；優(yōu)化控制；控制參數(shù)化方法

Pecora和Carroll首次提出驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步方法[1]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)受到了廣泛的關(guān)注且成功應(yīng)用到保密通信[2]、模式識(shí)別[3]等.迄今為止，混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的研究方法包括指數(shù)同步[4]、漸進(jìn)同步[5]，也就是說達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間是無限的.在實(shí)際的應(yīng)用中，總是希望快速的達(dá)到收斂或是在有限的時(shí)間范圍內(nèi)收斂，因此提出了有限時(shí)間同步[6].然而很少考慮達(dá)到同步時(shí)間所需的控制成本.

在網(wǎng)絡(luò)中的同步，被稱為內(nèi)同步[7]，最近已深入和廣泛的研究.同時(shí)，一些研究也致力于兩個(gè)耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間的同步，稱為外同步.率先研究?jī)蓚€(gè)單向耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間的外同步[8]，并推導(dǎo)出它們具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).由此，同步的焦點(diǎn)聚焦在兩個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間不相同的拓?fù)溥壿嫿Y(jié)構(gòu)[9]和兩種完全不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[10].近年來，兩個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混合外同步得到另外深入研究[11-12]，也就是對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的不同狀態(tài)變量可以實(shí)現(xiàn)同步、反同步.這些已有的文獻(xiàn)中很少考慮實(shí)際工程中時(shí)間和控制成本的限制.然而在實(shí)際系統(tǒng)中控制輸出是有限的，并且希望所需的控制輸出成本越少越好.

出于以上的考慮，本文旨在分析兩個(gè)典型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之間的有限時(shí)間混合外同步. 通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和利用符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制器，再結(jié)合最優(yōu)化控制技術(shù)[13]減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的控制成本且縮短同步時(shí)間.

1 模型和準(zhǔn)備

考慮兩個(gè)耦合無時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，驅(qū)動(dòng)耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和帶有控制器的響應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別如下：

(1)

(2)

其中：i=1,2,…,n,n代表神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T是t時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)向量，f(x(t))=(f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t)))T是t時(shí)刻的神經(jīng)元激活函數(shù)；D=diag(d1,d2,…,dn)且ci>0,A=(aij)n×n是連接權(quán)矩陣.x(0)=x0和y(0)=y0分別是驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的初值.W(t)=(w1(t),w2(t),…,wn(t))T是控制器.

有限時(shí)間混合的誤差信號(hào)定義為：

ei(t)=yi(t)-(-1)nxi(t),n=1,2,….

(3)

注1 從定義1可以看出混合外同步包括完整的外同步已知的概念，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為完全外同步，當(dāng)n為奇數(shù)是逆外同步，當(dāng)(-1)n=±1(n=1,2,…)時(shí)是混合外同步.

假設(shè)1 對(duì)任意的x,y∈,x≠y，存在一個(gè)常數(shù)li(i=1,2,…,n)，使得：|fi(x)-fj(y)|≤li|x-y|.

假設(shè)2 非線性函數(shù)f(·)滿足hifi(xi)=fi(hixi)，hi為常數(shù).

1.1 混合有限時(shí)間同步

在這部分中，為了實(shí)現(xiàn)混合外同步wi(t)定義為：

wi(t)=-ui(t)sign(ei(t))

(4)

其中ui(t)≥0,sign(ei(t))是符號(hào)函數(shù)：

其中:u(t)=[u1(t),u2(t),…,un(t)]T，U={u(t):ui(t)∈[0,bi],i=1,2，…,n}，這里bi是ui(t)的上界.因此，U是所有u(t)的集合.因此，誤差動(dòng)力系統(tǒng)可寫為：

(5)

根據(jù)以上分析，以定理1的形式給出如下結(jié)果.

定理1 驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(1)和驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)(2)在控制器(4)下實(shí)現(xiàn)混合外同步，如果下列條件滿足：

(6)

其中c>0是一個(gè)常數(shù).

證明 考慮如下的Lyapunov函數(shù):

(7)

1.2 最小控制成本同步

HDFS作為識(shí)別系統(tǒng)的文件存儲(chǔ)模塊,存儲(chǔ)著關(guān)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)預(yù)處理的特征數(shù)據(jù)以及最終的行為分類結(jié)果,方便PC端調(diào)用的同時(shí)為上層Spark計(jì)算框架提供數(shù)據(jù)支撐。

這里F(u)是單調(diào)遞增的函數(shù)，T是穩(wěn)定時(shí)間.在其它一些例子中T又是終端時(shí)間.根據(jù)以上的內(nèi)容現(xiàn)在介紹成本函數(shù)

(8)

其中F1(T)是單調(diào)遞增函數(shù).為了估計(jì)最差的穩(wěn)定時(shí)間T，不等式(7)變?yōu)榈仁剑?/p>

(9)

如果ui(t)是不夠大的，系統(tǒng)(9)可能就達(dá)不到穩(wěn)定， 因此就需要增加約束條件V(T)=0.最小成本穩(wěn)定性問題如下：

問題1 找到個(gè)控制向量u∈U，使得(8)最小，動(dòng)力系統(tǒng)描述為：

約束條件為V(T)=0.

2 優(yōu)化方法

問題1和問題2可以被認(rèn)為是非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，其中約束條件和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)被認(rèn)為是約束.它們可以被認(rèn)為是一般的向量?jī)?yōu)化問題.然后，使用MISER3[13]這個(gè)軟件基于梯度的方法來解決這個(gè)問題.

3 數(shù)字模擬

在這部分中，應(yīng)用所提出的計(jì)算方法來解決以下2個(gè)最小控制成本穩(wěn)定性問題.

例1 考慮下列2維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]

其中：x(t)=(x1(t),x2(t))T，f(x(t))=(tanh(x1(t)),tanh(x2(t)))T，且：

根據(jù)定理1和問題2可以建立下列問題：

選擇初始狀態(tài)V(0)=5并且F1(T)=log10(T)，F(xiàn)(u)=(0.1·u1(t))3+(0.11·u2(t))3.因此問題1就建立起來了.應(yīng)用軟件MISER3[13]來解決這個(gè)問題，并得到優(yōu)化解，同步時(shí)間T=0.461 03s，優(yōu)化控制成本值1.140 591 02.優(yōu)化控制函數(shù)如圖1，V(t)的收斂軌跡如圖2.

4 結(jié)論

本文研究了一類典型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在最優(yōu)化控制方法下實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間混合外同步且降低控制成本.

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責(zé)任編輯：高 山

Finite-time Mixed Outer Synchronization for a Class of No Time-delay Neural Networks via Optimal Control

ZHANG Yu

(School of Mathematical Sciences,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

Considering the fact that control cost is a very important factor in control area,we investigate finite-time mixed outer synchronization problem for a class of no time-delay neural networks in this paper.We formulate this problem into an optimal control problem,where the control functions are optimized such that the system can be stabilized with minimum control cost.Then,the control parameterization method is applied to solve this problem.A numerical example is illustrated to show the effectiveness of the proposed method.

no time-delay neural networks;finite-time mixed outer; optimal control;control parameterization method

2017-03-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61263020).

張宇(1992-)，女，碩士生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究.

1008-8423(2017)02-0121-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.001

O177.91

A