平面向量在解答證明題中的應(yīng)用

徐凡順

【摘 要】隨著新課程改革的不斷深入，高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的很多知識(shí)點(diǎn)都被列入重點(diǎn)學(xué)習(xí)范圍，其中向量的應(yīng)用是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必須掌握的重要內(nèi)容。我們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，向量在很多題型中都可以被應(yīng)用，其可以使得很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)題得到簡(jiǎn)化，因此，我們?cè)诮獯鸩糠诸}型的過(guò)程中就經(jīng)常會(huì)想到利用向量解決問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)有一種題型是具有較強(qiáng)的綜合性和多樣性的，這就是證明題。我主要結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)平面向量在解答證明題中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析，希望對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)有一定的幫助。

【關(guān)鍵詞】平面向量；證明題

我們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中，需要對(duì)不同的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行不同程度的理解和應(yīng)用，這是高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，也是其難點(diǎn)所在。就高中數(shù)學(xué)中的證明題來(lái)說(shuō)，我們應(yīng)用哪種方法進(jìn)行證明，就取決于我們對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。我在解答證明題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)會(huì)應(yīng)用傳統(tǒng)的證明方法完成整個(gè)證明過(guò)程，但是很多時(shí)候傳統(tǒng)的方法比較復(fù)雜，在應(yīng)用這樣的方法解答證明題的過(guò)程中無(wú)疑就給數(shù)學(xué)題增大了一定的難度，而平面向量則可以使得證明過(guò)程得到一定的簡(jiǎn)化，這對(duì)于提升我們的解題效率來(lái)說(shuō)，具有較大的作用。

一、勾股定理

我們?cè)诔踔械臅r(shí)候就學(xué)習(xí)了勾股定理這一數(shù)學(xué)理論，這是在解決三角形問(wèn)題中最常用的方法，而在很多應(yīng)用平面向量對(duì)題干進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)題中，經(jīng)常是以三角形的形式出現(xiàn)，因此，我們就可以根據(jù)題意觀察是否可以使用勾股定理進(jìn)行解題。平面向量的運(yùn)算本身就能夠?qū)⒑芏鄮缀侮P(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，這在勾股定理中的體現(xiàn)是很明顯的。比如：已知平面四邊形ABCD，AC是其中較長(zhǎng)的一條對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)C分別做AD、AB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為E、F，證明|AB|·|AF|+|AD|·|AE|=|AC|2。

在解答這個(gè)題的時(shí)候，我們是可以應(yīng)用傳統(tǒng)的證明方式對(duì)其進(jìn)行解答的，就是如上圖，做一條輔助線，使得BG⊥AC，垂足為點(diǎn)G，然后結(jié)合三角形的相似性和勾股定理進(jìn)行解答，但是這種方式在解答過(guò)程中會(huì)顯得比較繁瑣，很多線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系比較復(fù)雜。我主要用平面向量的解答方式進(jìn)行分析：我們可以結(jié)合題意和圖形知道→CF⊥→AF，→CE⊥→AE，這樣就可以得到→CF⊥·AF=→CE·→AE=0，又因?yàn)椤鶤B與→AF的方向相同，因此|AB|·|AF|=→AB·→AF。同理可以得到|AD|·|AE|=→AD·→AE，這樣的話，就可以列出一個(gè)等式為→AB·→AF +→AD ·→AE=→AB·（→AC+→CF）+→AD·（→AC+→CE）=→AB·→AC+→AD·→AC=→AC·→AC，因此就可以得到|AB|·|AF|+|AD|·|AE|=|AC|2。通過(guò)這個(gè)題的解答我們可以知道應(yīng)用平面向量的方法解答證明題相對(duì)于傳統(tǒng)的方法來(lái)說(shuō)更加簡(jiǎn)單明了，不需要添加輔助線和拆分相關(guān)的量，從而使得我們的解答過(guò)程更加簡(jiǎn)便，并且理解起來(lái)也不必那么費(fèi)勁。

二、三角形三高交于一點(diǎn)

在用平面向量解答證明題的過(guò)程中，它并不會(huì)局限于平面幾何問(wèn)題中，其在立體幾何中也具有良好的應(yīng)用作用。立體幾何是我們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)碰到的一類題型，也是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)用平面向量對(duì)這類證明題進(jìn)行解答，能夠使得立體幾何問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而降低解題難度。比如：在△ABC中，AE、CD分別為BC、AB邊上的高，并且AE、CD相交于一點(diǎn)F，在圖中連結(jié)BF，證明，圖中三條連線相交于一點(diǎn)。

在證明過(guò)程中我們首先就可以由三角形的定理得知BF的延長(zhǎng)線就是AC邊上的高，但是這需要我們的證明，而傳統(tǒng)的證明方法對(duì)這個(gè)題來(lái)說(shuō)有一定的難度，因此就可以用平面向量的方式進(jìn)行解題。我們可以由已知得到→AF·→BC=0，→CF·→AB=0，因?yàn)椤鶤B+→BC+→CA=→0，所以可以得到→BF·→CA=（→AF-→AB）·（→CF-→AF）=→AF·→CA+→AB·→AF=→AF·（→CA+→AB）=→AF·（-→BC）=0，所以就可以由向量關(guān)系得出→BF⊥→AC，因此，就可以得到AC邊上的高是過(guò)BF的線段，所以三條線段是相交于一點(diǎn)的，并且交點(diǎn)為點(diǎn)F。

三、相似性

相似性是三角形最基本的性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)在其他的平面圖形中也是通用的，我們?cè)趹?yīng)用向量進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算的時(shí)候，可以說(shuō)相似性正是其來(lái)源。在解答多邊形相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，運(yùn)用平面向量進(jìn)行解題就是的向量形成了數(shù)乘運(yùn)算分配率。因此，在解答關(guān)于圖形的相似問(wèn)題的證明題的時(shí)候，運(yùn)用平面向量進(jìn)行解題就是驗(yàn)證向量的基礎(chǔ)運(yùn)算法則。我們?cè)趹?yīng)用平面向量解答很多幾何證明題的過(guò)程中，經(jīng)常需要用到相似性定理，可以說(shuō)，這是解答幾何證明題的基礎(chǔ)，同時(shí)也是屬于通用性質(zhì)的。相似性定理在平面向量解答證明題的過(guò)程中是起到橋梁作用的，對(duì)于整個(gè)證明過(guò)程有比較重要的作用。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在應(yīng)用平面向量解答證明題的過(guò)程中，可以使得證明過(guò)程得到一定的簡(jiǎn)化，而不需要像傳統(tǒng)的證明方式那樣繁瑣。當(dāng)我們?cè)诮獯饚缀巫C明題的時(shí)候，通常首先就會(huì)想到用向量的方式進(jìn)行證明，需要注意的是，我們要視具體的情況進(jìn)行具體分析，靈活運(yùn)用平面向量和幾何數(shù)量之間的關(guān)系，最大程度地提升我們的數(shù)學(xué)理解能力和運(yùn)用能力，從而提升我們的綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

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