研讀試題方向明典型提煉效益升

范志文

【摘要】數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)教學(xué)是初中教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，從歷年的復(fù)習(xí)情況看，仍有相當(dāng)一批教師復(fù)習(xí)思路不清，方法不當(dāng)，導(dǎo)致效果不明顯.筆者結(jié)合多年初三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)應(yīng)研究試題，提煉出典型模型、結(jié)論、方法，形成解題經(jīng)驗(yàn)的模塊與網(wǎng)絡(luò)，提升復(fù)習(xí)的效益.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)；典型模型；典型結(jié)論；典型方法

中考試題都是經(jīng)過(guò)命題專(zhuān)家在課標(biāo)、教材的指引下精心設(shè)計(jì)的，只有深入其中去思考、去體會(huì)、去研究，才會(huì)發(fā)現(xiàn)其引導(dǎo)功能和教學(xué)價(jià)值，進(jìn)而加深對(duì)課標(biāo)和教材的理解，使教師的教學(xué)工作游刃有余.

初三復(fù)習(xí)教學(xué)中不妨多提煉一些解題的典型模型、典型結(jié)論經(jīng)、典型方法，取一些易懂、易記的名字，形成模塊，織成一張大網(wǎng)，覆蓋問(wèn)題的核心，達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變.

一、追“本”溯源模型拓展

“以教材為根本”一直是中考數(shù)學(xué)命題的一大特色.最短問(wèn)題同樣在教材上有著明確的例題或影子，中考中形式各異的考題一般都是從教材出發(fā)，再加以引申和改編.

例1已知，如圖1，點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA的距離之和最小.

解析如圖2，作M關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1，作M1Q⊥OA，交OB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，連接PM，此時(shí)PM+PQ為最小.

教材原型探究“造橋選址”：如圖3，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋EF，橋造在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

解析如圖4，過(guò)點(diǎn)A作直線垂直于河邊，在直線上截取AC等于橋長(zhǎng)，然后，連接CB交河邊于點(diǎn)F，最后，過(guò)點(diǎn)F作FE垂直于河邊.則EF即為所求的架設(shè)橋的地點(diǎn).分析出“AE+BF”轉(zhuǎn)化為“CF+FB”，從而實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的求解.

例2已知，如圖5，∠MON=30°，A為OM上一點(diǎn)，OA=5，D為ON上一點(diǎn)，OD=12，C為射線AM上任意一點(diǎn)，B為線段OD上任意一點(diǎn)，求拆線AB-BC-CD的長(zhǎng)度的最小值.

解析如圖6，作點(diǎn)D關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′D′，分別交OM、ON于點(diǎn)C、B，則拆線長(zhǎng)最小值為AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′.在直角三角形A′OD′中，∠A′OD′=90°，OD′=12，OA′=5，所以A′D′=13，即折線AB-BC-CD的長(zhǎng)度的最小值為13.

教材原型探究“將軍飲馬”：

如圖7，將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后，再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

解析如圖8作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，連接A1B，交河岸于P點(diǎn)，邊接AP，則AP+PB就是最短路徑.很顯然“AP+PB”最小轉(zhuǎn)化為“A1P+PB”最小，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”.

通過(guò)教材原型探究可以讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”是最短問(wèn)題的核心依據(jù)；充分掌握“平移、旋轉(zhuǎn)、翻折”等基本方法；熟練運(yùn)用“作圖、計(jì)算、推理”等基本手段，而且讓學(xué)生明白了知識(shí)的真諦，成就了解題的大智慧.

二、且做且思提煉結(jié)論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是“隨機(jī)而發(fā)”，從而使解題變得快速而精確，充滿穿透力.提煉“基本結(jié)論”是解題高效的最好保障.當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)自覺(jué)地反思、推進(jìn)、提煉的時(shí)候，解題將會(huì)充滿樂(lè)趣.

例3如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（6，0），B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在半徑為3的⊙O上，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積最大值.

解析如圖10，因?yàn)椤鱋AB為等腰直角三角形，所以AB=2OA=62.當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大.

過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于D，OD的反向延長(zhǎng)線交⊙O于C，此時(shí)點(diǎn)C到AB的距離最大.OD=1〖〗2AB=32，所以CD=OC+OD=3+32.

△ABC的面積為12AB·CD=12×62×（3+32）=92+18.

提煉結(jié)論如圖11，直線l與⊙O相離，線段OP⊥l，垂足為P，交⊙O于點(diǎn)M，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)N，則⊙O上各點(diǎn)到直線l的距離中，最小距離是PM，最大距離是PN.

例4如圖12，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為.

解析如圖13，連接OP，OQ.由PQ是⊙O的切線，得QO⊥PQ.由勾股定理，得PQ=OP2-OQ2.因?yàn)镺Q=3，是定值，所以當(dāng)OP最小時(shí)，線段PQ最小，即當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短.

在Rt△AOB中，OA=OB=32，所以AB=2OA=6，OP=OA·OB AB=3.

所以PQ=OP2-OQ2=32-12=22.即PQ的最小值為22.

提煉結(jié)論直線l與半徑為r的⊙O相離，圓心O到直線l的距離為d，點(diǎn)P為直線l上任一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則PA的最小值是d2-r2.

顯然，有了這些結(jié)論的提煉，解題方向更加明確，并且可以借鑒這些結(jié)論舉一反三，觸類(lèi)旁通，輕松解決同一類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題.基本結(jié)論無(wú)窮盡，常做有心人，且思且提煉.

三、舍繁求簡(jiǎn)優(yōu)化方法

教學(xué)過(guò)程中既要關(guān)注方法的多樣化，又對(duì)方法進(jìn)行優(yōu)化，那么教學(xué)效果定能明顯提高.通過(guò)方法比較，使學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題，形成多樣化的問(wèn)題解決意識(shí)，又幫助學(xué)生舍繁求簡(jiǎn)，歸納提煉了思考問(wèn)題的基本方法和途徑.

例5如圖14，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC上，DE⊥BC，DF⊥AC，則EF的最小值是.

方法優(yōu)化如圖15，連接CD，由題設(shè)可知四邊形FDEC為矩形，則CD=EF，故EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CD的最小值，所以當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最小，利用“等積法”易求出此時(shí)CD的最小值為4.8.

例6如圖16，△ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，求DE的長(zhǎng).

3.方法優(yōu)化如圖17，連接BI，CI，因?yàn)椤袸為△ABC的內(nèi)切圓，所以∠DBI=∠CBI.因?yàn)镈E∥BC，所以∠DBI=∠IBC，∠DBI=∠DIB，所以DI=DB.同理IE=EC，所以DE=DI+IE=DB+EC.所以△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AD+DB+CE+AE=AB+AC=16.因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC.所以C△

例7如圖18，已知四邊形ABCD為直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面積.

解法如圖19，作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分別M，N.

設(shè)AB=m，PM=x，PN=y，

則x2+y2=4，x2+（m-y）2=1，（m-x）2-y2=9， 解得m2=5±22.由題設(shè)取m2=5+22，

方法優(yōu)化如圖20，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBE.連接PE，則△PBE為等腰直角三角形，∠PEB=45°，所以PE2=BP2+BE2=8，EC2=1.所以PE2+CE2=9=PC2，故∠PEC=90°，∠BEC=135°，作BF⊥CE交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠BEF=45°，

一個(gè)好的解題方法，一定有方法常用、思路常見(jiàn)、運(yùn)算簡(jiǎn)潔等特征，以上三個(gè)例題的優(yōu)化方法正是如此，不僅大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，解題中所涉及的知識(shí)與方法都是平時(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)，反復(fù)用到了.通過(guò)這種對(duì)比，能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的欲望，從不同的角度去研究一個(gè)題目的解法，尋找更有價(jià)值的解題方法，從而大大提升自身的數(shù)學(xué)水平和解題能力.

初三復(fù)習(xí)教學(xué)中，如果復(fù)習(xí)思路不清，方法不當(dāng)，學(xué)生負(fù)擔(dān)就會(huì)過(guò)重，總體效果也不明顯，所以復(fù)習(xí)中應(yīng)關(guān)注基礎(chǔ)，構(gòu)建模塊，突出專(zhuān)題，提煉典型模型、典型結(jié)論、典型方法才能在復(fù)習(xí)中提高學(xué)生，才能提高復(fù)習(xí)效率.

【參考文獻(xiàn)】

[1]范建兵.追“本”溯源，品味“最短問(wèn)題”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（6）：94-96.

[2]田傳弟.聚焦中考熱點(diǎn)之圓中的幾何最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）：81-82.