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    尋例合情 演繹明理
    ——由『被學(xué)生問住了』談起

    2017-06-19 15:59:22李小強
    小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版) 2017年3期
    關(guān)鍵詞:演繹推理合情倍數(shù)

    ◇ 李小強

    尋例合情 演繹明理
    ——由『被學(xué)生問住了』談起

    ◇ 李小強

    一、緣起

    1.案例1:3的倍數(shù)特征。

    “李老師,你說一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù),它就是3的倍數(shù)。為什么呀?”一個男生提出自己的疑問。這是在學(xué)習(xí)北師大版教材五年級 “3的倍數(shù)特征”一課時,課堂上發(fā)生的一幕,至今令我記憶猶新。

    面對這個突如其來的問題,我有點兒不知所措。

    但還沒等我回答,就有一個“好事”的學(xué)生開口了:“這還不明白,你看黑板,老師在百數(shù)表中已經(jīng)找到了所有是3的倍數(shù)的數(shù),很明顯這些數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)呀!你還問為什么?”他洋洋得意地坐下了。

    冷靜下來后,我這樣回答:“我們是通過尋找是3的倍數(shù)的數(shù)并研究它們的特征發(fā)現(xiàn)了規(guī)律,你再想一想?!睂W(xué)生疑惑地坐下了。

    課后,回想起那一刻及我的回答,深感無力與慚愧。雖然不愿意承認,但我明白我的的確確被他問住了。

    回顧我們的教學(xué),類似的案例并不少見。

    2.案例2:三角形邊的關(guān)系。

    北師大版教材四年級“三角形邊的關(guān)系”,教材是通過如下三個問題的探討逐步歸納出結(jié)論的。

    問題1:哪一組小棒可以擺成三角形?

    為學(xué)生提供4組小棒(每組3根,長度不同),學(xué)生自主嘗試利用小棒擺三角形,并思考能或者不能擺成三角形的原因是什么。

    問題2:怎樣的3根小棒能擺成一個三角形?

    在問題1的基礎(chǔ)上進一步觀察、研究、討論每組中能夠擺成三角形的3根小棒之間的關(guān)系或特征。還可以從反面思考:怎樣的3根小棒擺不成三角形?

    問題3:明晰三角形三邊的關(guān)系。

    借助算一算、比一比的活動,發(fā)現(xiàn)能夠擺成三角形的三邊長度之間的關(guān)系。

    課堂很順利,最終得到“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論。

    面對這個結(jié)論,學(xué)生并沒有提出異議。但在教學(xué)研討時,一位聽課教師提到:課堂上,能不能從另外一個角度來解釋(或證明)三角形中任意兩邊之和大于第三邊呢?

    二、尋例合情

    仔細分析兩個案例,不難看出教材的安排與設(shè)計思想是一致的,都是從具體的實例(實驗)出發(fā),通過觀察、操作、猜想、歸納等方法得出一個可能性的結(jié)論,即合情推理。由于合情推理更加符合小學(xué)生的認知水平,實例具體、形象直觀、易于理解,所以現(xiàn)行教材編寫更傾向于合情推理。

    正是因為合情推理是通過經(jīng)驗和直覺得來的可能性結(jié)論,它的準確性就受到很多因素的影響。如,在探索3的倍數(shù)特征時,由于學(xué)生有了2和5的倍數(shù)特征的探索經(jīng)驗,于是有一部分同學(xué)會給出“個位是3、6、9的數(shù)就是3的倍數(shù)”這樣的錯誤結(jié)論;再如,探索三角形三邊關(guān)系的操作中,由于學(xué)生操作的不規(guī)范或者測量中的較大誤差,結(jié)論也會不盡相同。

    顯然,上面那些客觀存在的經(jīng)驗、因素都會制約結(jié)論的準確性。即便通過觀察、操作、猜想、歸納得到的結(jié)論是準確的,但它畢竟還是可能性結(jié)論,其正確性也有待進一步驗證或證明,所以無論是案例1中學(xué)生的問題,還是案例2中聽課教師的疑問,都不是無中生有,需要認真思考并研究。

    談到推理,《數(shù)學(xué)課程標準(2011)》指出:推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,一般包括合情推理和演繹推理……在解決問題的過程中,兩種推理的功能不同,相輔相成:合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。

    可見兩種推理方式是相輔相成的。合情推理是必要的,它從數(shù)學(xué)的具體案例中抽象出一般性結(jié)論,見證了數(shù)學(xué)的發(fā)展;演繹推理也是必需的,它能判斷合情推理中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否正確、嚴謹,讓數(shù)學(xué)的發(fā)展更加“健康”。所以,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,雖然應(yīng)該側(cè)重于合情推理,但也不能偏廢了演繹推理。

    三、演繹明理

    1.對3的倍數(shù)特征的證明。

    案例1中學(xué)生提出了自己的問題,我并沒有給出合理的回答。這個學(xué)生整節(jié)課一直專注于思考自己的問題,第二天他給了我這樣的理由:

    如果用 ab代表一個兩位數(shù)。由于a在十位上,b在個位上,這個數(shù)就可以記作10a+b,進而等于(9+1)a+b=9a+(a+b)。因為9a一定是3的倍數(shù),所以只要a+b是3的倍數(shù),那么兩位數(shù)ab就是3的倍數(shù)。這樣就證明了:一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù),它就是3的倍數(shù)。

    因為在研究3的倍數(shù)時,我們是在100以內(nèi)尋找3的倍數(shù)的,所以學(xué)生以任意兩位數(shù)為例證明了這個結(jié)論在百以內(nèi)是正確的。

    學(xué)生對問題的鉆研精神和深刻的思考,讓我佩服。按照他的思路,如果是任意一個正整數(shù),證明如下:

    假設(shè)n=asas-1…a2a1a0是任意一個正整數(shù),0≤as≤9(as是整數(shù)),s=0,1,2,3……

    那么n就可以表示為:

    對n變形得:

    在算式 (10s-1)as+…+(102-1)a2+(101-1)a1中,每一項都是3的倍數(shù),它們的和也是3的倍數(shù)。所以,只要保證as+…+a2+a1+a0是3的倍數(shù),則正整數(shù)n就是3的倍數(shù),而as+…+a2+a1+a0表示的就是n的各個數(shù)位上的數(shù)的和。

    所以,一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù),它就是3的倍數(shù)。

    2.三角形三邊關(guān)系的證明。

    在北師大版《教師教學(xué)用書》中關(guān)于“三角形三邊關(guān)系”還提供了另一種思路:首先通過情境圖認識“兩點之間線段最短”,再畫出兩個點并在兩點之間畫出一條線段和若干條折線(每條折線只有兩條線段),這樣這條線段和折線就構(gòu)成了一個個三角形,那么折線的長度(兩條線段的長度和)一定大于這條線段的長度。

    所以,三角形任意兩邊之和大于第三邊可以追溯至“兩點之間所有連線中線段最短”,也就是說我們可以通過“兩點之間所有連線中線段最短”證明“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。對于任意三角形ABC中,證明過程如下:

    ∵兩點之間的所有連線中線段最短

    ∴在△ABC中AB+BC>AC

    同理可得:在△ABC中AC+BC>AB,AC+AB>BC

    ∴三角形中任意兩邊之和大于第三邊

    這樣的演繹推理,既證明了結(jié)論的正確性,又能讓學(xué)生明白研究數(shù)學(xué)的方法。

    數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)雖然更重視直觀形象的感知與反復(fù)嘗試的體驗,但邏輯思維水平的提升也是不可缺少的。曹培英老師說過:如果一個人只相信眼見為實,不知道思維的能動性可以通過推理幫助人類突破感覺、經(jīng)驗、嘗試的局限性,那就是個人素養(yǎng)的一大缺失。所以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,尤其是高年級教學(xué)中需要將合情推理與演繹推理相結(jié)合,在學(xué)生能理解與接受的基礎(chǔ)上,從這兩個角度給學(xué)生更加合理的解釋,引導(dǎo)學(xué)生建立正確的思維觀,為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

    (作者單位:陜西咸陽市秦都區(qū)陜西師范大學(xué)奧林匹克花園學(xué)校)

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