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    理解概念的關(guān)系把握真實(shí)的意義
    ——帶余除法學(xué)習(xí)難點(diǎn)的突破

    2017-06-19 15:59:22姜榮富
    小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版) 2017年3期
    關(guān)鍵詞:商是被除數(shù)位子

    ◇姜榮富

    理解概念的關(guān)系把握真實(shí)的意義
    ——帶余除法學(xué)習(xí)難點(diǎn)的突破

    ◇姜榮富

    如何理解帶余除法的數(shù)學(xué)意義?為什么計(jì)算時(shí)余數(shù)要比除數(shù)???討論這些問題需要整體地把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系,通過模型建構(gòu)理解其數(shù)學(xué)意義。

    一 理解帶余與同余概念的關(guān)系

    小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,帶余除法常常被用于解決周期性問題,如一批彩燈按“紅、黃、藍(lán)、綠、白、紅、黃、藍(lán)、綠、白、紅……”的規(guī)律排列起來,第23盞彩燈是什么顏色?算式是23÷5=4(組)……3(盞),含義是以5為周期(5個(gè)為一組),用它去除23,得到4個(gè)周期(4組)還余下3盞。在這里,商并不重要,只要關(guān)注余數(shù)就可以了,根據(jù)余數(shù)是3,可以判斷第 23盞彩燈的顏色為藍(lán)色。還有第幾盞燈也是藍(lán)色的呢?運(yùn)用周期變化的規(guī)律,把23減去或加上若干個(gè)5,如第18盞、第13盞、第28盞、第33盞等彩燈的顏色都是一樣的。在數(shù)學(xué)意義上,這些數(shù)除以5的余數(shù)是相同的,就稱它們是“模5同余”。

    對于同余的概念,有一個(gè)很能說明問題的幾何解釋。如圖1,把一個(gè)圓分成5等份,得到5個(gè)點(diǎn)。任一整數(shù)被5除時(shí),得到的余數(shù)是0、1、2、3、4中的一個(gè),在幾何上用圓上這些點(diǎn)中的一個(gè)來表示。如果兩個(gè)數(shù)用同一個(gè)點(diǎn)表示,它們就是同余的。

    圖1

    在小學(xué)數(shù)學(xué)里并不直接教學(xué)同余的概念,但這個(gè)概念在用帶余除法解決周期性的問題中有滲透。了解同余的概念,對于深入地理解帶余除法的意義,突破教學(xué)中發(fā)現(xiàn) “余數(shù)要比除數(shù)小”的難點(diǎn)有幫助。

    二 把握規(guī)律與規(guī)定真實(shí)的意義

    在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生學(xué)習(xí)帶余除法往往先從分東西的活動(dòng)開始,從而引出余數(shù)的概念,在初步建立了帶余除法的意義之后,通過圈點(diǎn)子或其他操作活動(dòng),得到一組帶余除法的例子,通過觀察這些例子歸納“余數(shù)要比除數(shù)小”的結(jié)論。

    通過分析發(fā)現(xiàn),教師給學(xué)生提供的觀察與歸納的例子,可以分成三種類型:除數(shù)相同被除數(shù)變化,被除數(shù)相同除數(shù)變化,被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變化。不同類型的例子討論的問題都是一樣的:觀察這些算式,你發(fā)現(xiàn)了什么?無論是哪一種類型的例子,學(xué)生歸納出“余數(shù)要比除數(shù)小”的結(jié)論都很困難,為什么呢?因?yàn)橐唤M算式中變化的因子太多,學(xué)生不容易把思考聚焦到余數(shù)與除數(shù)的大小關(guān)系上。

    在探究 “余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律時(shí),應(yīng)讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)余數(shù)呈現(xiàn)周期性的變化,借助幾何直觀,推理同余的數(shù),讓學(xué)生在解決問題的情境中,把握變化的規(guī)律,理解規(guī)定的意義。

    師:請同學(xué)們觀察這個(gè)圓盤(如圖 1,上面不標(biāo)數(shù)字),說一說你知道了什么。

    生:上面有5個(gè)圓點(diǎn)。

    生:有5個(gè)間隔。

    師:一個(gè)間隔可以叫作1格。現(xiàn)在我把其中1個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn),標(biāo)上0,下一個(gè)點(diǎn)就是1,這5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)位子。現(xiàn)在我們玩一個(gè)“找位子”的數(shù)學(xué)游戲。規(guī)則是:報(bào)出一個(gè)自己喜歡的數(shù),然后從0開始,是幾就走幾個(gè)間隔,走完以后在位子上 “坐”下來。同桌兩人一人報(bào)數(shù)另一人走。報(bào)數(shù)的同學(xué)要幫助檢查對方坐的位子對不對。

    師:我請一位同學(xué)跟我搭檔先來玩一玩。我報(bào)8,請你幫我走。

    (學(xué)生1格1格地?cái)?shù),從0開始數(shù)到5時(shí),教師喊暫停)

    師:走了 1圈,歇會兒。(學(xué)生歇后)好,繼續(xù)前進(jìn)。

    (學(xué)生走到3停下來)

    師:位子找到了!我們就在這個(gè)位子上記上8。好,就像剛才一樣,從0開始,走1圈就歇會兒。你報(bào)的數(shù)在哪個(gè)位子上,就在哪個(gè)位子上把這個(gè)數(shù)記下來。

    (展示兩個(gè)同學(xué)在圓盤上記錄的數(shù),如圖2)

    圖2

    師:看這組同學(xué)記錄的數(shù),你們有什么問題嗎?

    生:0號位子上為什么沒有其他數(shù)?

    師:如果要占到0號位子,必須報(bào)什么數(shù)?

    生:5、10、15。

    生:這些數(shù)是有規(guī)律的,都相差5。

    生:其他位子上的數(shù)也是這個(gè)規(guī)律,都相差5。

    師:是嗎?我們再看看。1號位子上,1與6相差5。2號位子上,2與12相差——

    生:相差10,就是兩個(gè)5。就是轉(zhuǎn)了2圈。

    師:還有問題嗎?

    生:我覺得 14不應(yīng)該在 2號位子上。

    師:你是怎么想的?

    生:按照剛才的規(guī)律,在同一個(gè)位子上的數(shù)都相差5,14與12相差 2,17在這個(gè)位子上是對的。

    師:想個(gè)辦法幫14找到正確的位子。

    生:12在2號位子上,14就是再走2格,所以14在4號位子上。

    生:我用算式表示:14÷5= 2……4。

    師:這個(gè)式子是什么意思?

    生:14除以 5,表示走 14格,轉(zhuǎn)1圈是5格,轉(zhuǎn)完2圈之后,還余下4格。所以14就在4號位子上。

    師:現(xiàn)在它們都準(zhǔn)確地找到位子了。我們研究2號位子上的數(shù),像前面那樣用帶余除法表示出來。如下:

    2÷5=0……2;

    7÷5=1……2;

    17÷5=3……2。

    師:選擇一個(gè)算式,說一說它的意思。

    師:觀察這些算式,你們有什么話想說的?

    生:按規(guī)律,中間還缺一個(gè)12÷5。

    師:好,補(bǔ)上一個(gè),商是多少?余數(shù)是多少?

    生:商是2,余數(shù)也是2。

    師:你是怎么想的?

    生:你們看,被除數(shù)相差5,除數(shù)都是5,商是 0、1、2、3這樣慢慢大起來的,余數(shù)都是2。

    生:就是從0開始,轉(zhuǎn)2圈到10,余下2格,所以余數(shù)是2。

    師:現(xiàn)在我們知道,2、7、12、17這些數(shù)“都是一家的”。在 0~40的數(shù)線上還有很多數(shù),你能圈出這一家的其他成員嗎?

    生:22、27、32、37。

    師:有規(guī)律?有什么規(guī)律?

    生:是有規(guī)律的,每隔 5個(gè)數(shù),就會出現(xiàn)余數(shù)相同的。

    生:被除數(shù)每增加 5,就是多轉(zhuǎn)了1圈,這樣就回到原來的位子上了。

    師:用三角形符號在數(shù)線上畫出3號位子上的數(shù)。

    (學(xué)生畫出3、8、13、18、23、28、33、38)

    師:3號位子上的這些數(shù),除以5,有什么特點(diǎn)?

    生:余數(shù)都是3。

    “找位子”的游戲,不僅有利于學(xué)生理解帶余除法的意義,而且可以把余數(shù)比除數(shù)大直觀地解釋為還能再轉(zhuǎn)1圈。在數(shù)線上找出同余的數(shù),實(shí)際上是運(yùn)用規(guī)律推理同余的數(shù)。

    師:我們再玩一次“搶位子”的游戲,規(guī)則是我報(bào)一個(gè)數(shù),請你很快地說出它在哪個(gè)位子上。

    師:5。

    生:0號位子。

    師:你是怎么想的?

    生:5除以 5,商是 1,余數(shù)是0。

    師:6。

    生:1號位。

    師:算式是——

    生:6÷5=1……1。

    ……

    師:你們是不是發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了?

    5÷5=1……0;

    6÷5=1……1;

    7÷5=1……2;

    8÷5=1……3;

    9÷5=1……4。

    生:被除數(shù)一個(gè)比一個(gè)大,余數(shù)也一個(gè)比一個(gè)大。

    師:如果被除數(shù)繼續(xù)變大,余數(shù)會怎么樣?

    生:也繼續(xù)變大。

    師:確定嗎?

    生:確定。

    師:舉出例子。

    生:10÷5=1……5。

    師:有不同意見嗎?

    生:10÷5=2。

    師:這兩個(gè)算式分別是什么意思?

    生:第一個(gè)算式表示轉(zhuǎn)1圈再轉(zhuǎn)5格,第二個(gè)算式表示轉(zhuǎn)2圈。

    生:轉(zhuǎn)1圈再轉(zhuǎn)5格就是轉(zhuǎn)2圈呀。

    師:正好轉(zhuǎn)2圈,如果要寫上余數(shù),怎么寫?

    生:10÷5=2……0。

    師:一個(gè)算式,兩種答案,這在數(shù)學(xué)上是不允許的?,F(xiàn)在只能選一種,你們認(rèn)為哪一種好?

    (學(xué)生意見不一)

    師:我們先別急著下結(jié)論。照著兩種方法接著往下寫。

    生:11÷5=1……6,11÷5= 2……1。

    生:12÷5=1……7,12÷5= 2……2。

    生:13÷5=1……8,13÷5= 2……3。

    生:14÷5=1……9,14÷5= 2……4。

    師:照這樣的規(guī)律寫下去,下一個(gè)算式是什么?余數(shù)是什么?

    生:15÷5=1……10,15÷5= 3……0。

    師:你喜歡哪一種表示方法?

    生:右邊的,因?yàn)槿?15,它的答案就是3。

    生:右邊的,左邊余數(shù)越來越大,不好判斷它在哪個(gè)位子上。

    師:按左邊的方法,余數(shù)一直在變大;按右邊的方法,余數(shù)是有規(guī)律的,你們發(fā)現(xiàn)了嗎?

    生:是 0、1、2、3、4,接下去又是0、1、2、3、4。

    師:按右邊的方法,余數(shù)有沒有可能是5或6呢?

    生:不可能,因?yàn)槌^ 5了就可以再轉(zhuǎn)1圈,6的話就是再轉(zhuǎn)1圈又到1了。

    師:數(shù)學(xué)上,我們采用右邊的方法記錄帶余除法。照上面這樣寫下去,被除數(shù)、商、余數(shù)是怎樣變化的呢?

    生:被除數(shù)和商都慢慢變大,但余數(shù)變大了還會變小。

    生:被除數(shù)和商都會一直大下去, 但余數(shù)是 0、1、2、3、4、0、1、2、3、4,再回到0。

    師:對照0~40的數(shù)線,說一說數(shù)線上的數(shù)除以5余數(shù)是多少。

    師:你們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律,其實(shí)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)規(guī)定:在帶余除法中,余數(shù)要比除數(shù)小。

    “余數(shù)要比除數(shù)小”的數(shù)學(xué)規(guī)定,如果是硬生生地塞給學(xué)生,那么學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)就像是人體的X光片,既沒有血肉,也沒有靈魂。上面的教學(xué),通過“找位子”和“搶位子”的游戲活動(dòng),把直觀操作提升為數(shù)學(xué)方法,通過觀察和比較兩組算式,結(jié)合問題情境與數(shù)線直觀,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)規(guī)律:一是同余的數(shù)周期性地出現(xiàn),二是余數(shù)總是循環(huán)反復(fù)。這兩個(gè)規(guī)律豐富了學(xué)生的認(rèn)識,使學(xué)生真正理解了“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定。

    (作者單位:浙江省新思維教育科學(xué)研究院)

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