妙用數(shù)學(xué)思想提升物理解題教學(xué)有效性

陳明

【摘 要】本文結(jié)合教學(xué)實例，闡述極限、微積分、數(shù)形結(jié)合、歸納比較這四種數(shù)學(xué)思想方法在物理解題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法求解物理問題的能力。

【關(guān)鍵詞】高中物理 數(shù)學(xué)思想 知識遷移

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）04B-0153-02

物理習(xí)題偏向于邏輯分析，而且這種邏輯分析是建立在數(shù)學(xué)關(guān)系之上的。“物理離不開數(shù)學(xué)”，解決物理問題離不開數(shù)學(xué)方法。在解決物理問題中，運用數(shù)學(xué)思想方法有時會更便捷更有效。當(dāng)然在物理解題中并不是刻意地運用數(shù)學(xué)思想方法，而是要順勢而為，是一種自然的行為。下面從四個方面談一談運用數(shù)學(xué)思想方法解決物理問題的具體做法。

一、極限思想，助力求解

極限思想是數(shù)學(xué)中非常重要的思想，但是在高中階段這種數(shù)學(xué)思想應(yīng)用得不是很廣泛，取極限的方法也不完善。在物理解題中可以不需要很高深的取極限的數(shù)學(xué)方法，但是一定要有極限的思想。

以一個案例進(jìn)行說明。

在一個足夠長的豎直墻面上，設(shè)置一個點光源 S，距離光源 d 處有一個平面鏡 O，鏡子中心與光源在同一水平線上。初始狀態(tài)下鏡子平面與墻面平行。當(dāng)平面鏡以角速度 w 繞中心勻速轉(zhuǎn)動時，光源經(jīng)平面鏡反射的光斑在墻面上會上下移動。經(jīng)過時間 t 后，光斑 P 在墻壁上移動的速度是多少？

分析這道題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，光斑在墻面上的移動情況不是勻速運動，不能用位移與時間的比值直接求得。我們反觀速度的表達(dá)式，可以了解到瞬時速度，它實際上是時間取無窮小時的情況，用表達(dá)式表示為 （當(dāng) t2 和 t1 非常接近時的情況），即 。因此，解決這道問題時，我們就可以換一種思路，采取導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解。經(jīng)過時間 t，光斑在墻面上的位移為 s。當(dāng)時間為 t 時，反射光線轉(zhuǎn)過的角度 θ1=wt。經(jīng)分析幾何關(guān)系知，SO 與 OP 的夾角 θ2=2θ1。在三角形 SOP 中，可得 S=d tanθ2=d tan（2wt）。對上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得光斑 P 的移動速度。對于求解速度，實際上是求解瞬時速度，瞬時速度的物理意義決定了它可以運用取極限的導(dǎo)數(shù)方法來進(jìn)行求解。

在求解某一種特定物理狀態(tài)時利用數(shù)學(xué)中的極限思想非常有效，在這一特定狀態(tài)下，需要求解的未知量往往是瞬時的。由于沒有一個過程可供分析，所以取極限可以說是快捷而又精確的方法。

二、微分積分，明晰過程

導(dǎo)數(shù)、微分的方法將很多問題的求解過程進(jìn)行了簡化，但歸根結(jié)底，微分的目的是為了積分，因此，適當(dāng)運用積分的方法解決問題也非常有效。高中階段所學(xué)的積分方法是比較簡單的，而物理問題中的數(shù)學(xué)方法也不是特別困難。在求解物體位移的問題上，可以利用簡易積分的方法來進(jìn)行求解。

以足球的例子進(jìn)行說明。

假設(shè)在一次足球訓(xùn)練當(dāng)中，某時刻有一個運動中的足球，它的初始速度為 20 m/s，以 2 m/s2 的加速度進(jìn)行勻減速直線運動。求解足球在 5 s 后的位移是多少。

我們可以運用常規(guī)的平均速度法進(jìn)行求解，由于運動過程為勻變速運動，因此可設(shè)足球的平均速度為 v，初始速度為 v0，5 s 后的速度為 v1，加速度為 a。由速度與加速度的關(guān)系 v=at，得 v平均=；位移 s=v平均t=25×5=125 m。將物體的運動過程進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，是物理學(xué)解決問題的主要手段，也是分析能力的體現(xiàn)。但是在本題中，速度與加速度的關(guān)系已知，要求解位移，我們可以運用數(shù)學(xué)的思維方法，即采用積分的方法。速度是位移關(guān)于時間的函數(shù)，因此速度在時間上的積分就是位移。從另一個角度講，微積分是用簡單的數(shù)學(xué)公式來表達(dá)復(fù)雜的變化過程，實現(xiàn)了根源化。本題用積分的方法進(jìn)行求解時，可得 ，結(jié)果與上述解法完全相同，但運算更簡單。

位移問題只是眾多物理題目中相對簡單的一個，在這種情況下練習(xí)運用簡單的積分來求解物理問題，對學(xué)生來說是一種鍛煉的機(jī)會，也是一個鍛煉的過程。循序漸進(jìn)，學(xué)生在不斷的實踐中會慢慢地掌握用微積分思想來解決物理問題的方法。

三、數(shù)形結(jié)合，多元關(guān)聯(lián)

物理學(xué)中的一個特色就是分析物體之間的各種等式關(guān)系，有時可借助于數(shù)學(xué)定理，有時可依賴幾何分析。我們在解決一些難度較大的物理問題時，需要多元建立等式關(guān)系，以數(shù)形結(jié)合的思想來求解問題。

教學(xué)中有一個經(jīng)典的題目，叫做繩子拉船問題。很多學(xué)生苦于其中的數(shù)量關(guān)系難以建立，因此對此題理解起來比較困難。如果我們換一種思路，借助幾何關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題，那么就可以建立等式關(guān)系。引入一個例題如下。

如圖所示，在高度為 h 的河岸上，一人用繞過定滑輪 O 的輕質(zhì)細(xì)繩勻速拉動水面上的一條小船。假設(shè)人拉動船的速度大小為 v。當(dāng)繩子 OA 與水平面的夾角為 θ 時，此時小船的速度為多少？

要解這個題目，首先要假設(shè)一系列的變量，然后逐一地進(jìn)行求解，最后才能得到答案。這是一個比較復(fù)雜的過程，因此我們可以借助幾何學(xué)方法來進(jìn)行求解。設(shè)小船距離岸邊的長度為 x，繩子 OA 的長度為 r。根據(jù)勾股定理，我們對 h，x 和 r 列出等式關(guān)系 h2+x2=r2 。針對上式，對時間求導(dǎo)，。代入已知的數(shù)量關(guān)系，得出 v船與 v 的關(guān)系為 v船=，再由幾何關(guān)系 ，最終可得 v船=。如此一來，本身比較難以分析的題目就迎刃而解了。這個題目主要利用幾何關(guān)系來建立等式，運用速度合成分解的方式進(jìn)行求解，充分地體現(xiàn)了物理與數(shù)學(xué)之間的密切關(guān)系。

在一些物理習(xí)題中應(yīng)用幾何圖形的方法來進(jìn)行分析是必不可少的，有時一個幾何關(guān)系就是解決物理問題的一把鑰匙。通過數(shù)形結(jié)合的方法，多元建立起邏輯聯(lián)系，可以極大地拓寬解題思路。圖形、數(shù)字雙管齊下，物理解題更有效。

四、歸納比較，提煉規(guī)律

數(shù)學(xué)歸納法在解決數(shù)學(xué)問題中的數(shù)列、規(guī)律題目中有廣泛的應(yīng)用，成為一種必備的數(shù)學(xué)邏輯思維。在高中物理問題中往往具有一定的規(guī)律性，抓住物理問題的規(guī)律，進(jìn)行歸納、比較、分析，就能提煉出解決物理問題的方法，避免繁瑣的計算。

比如在常規(guī)的運動問題中，物體運動的過程是主要的研究對象。在此過程中，物體的速度、加速度等都會發(fā)生變化。這也經(jīng)常成為問題的關(guān)鍵點，解題的難點。我們以一道實際的題目為例進(jìn)行分析。

一個可視為質(zhì)點的物體，從原點出發(fā)，以靜止的初始狀態(tài)開始進(jìn)行勻加速直線運動。初始的加速度為 a，在經(jīng)歷了 t 時間之后，此時加速度變?yōu)榱?2a；又經(jīng)歷了一個 t 時間，加速度變?yōu)榱?3a，以此類推。請問在 nt 時刻，物體的瞬時速度為多少？

分析這道題目可以發(fā)現(xiàn)，加速度的變化是有規(guī)律可循的，但題目描述得不夠明確，需要我們進(jìn)一步總結(jié)歸納。根據(jù)題目中所給條件，在 t 時刻，物體的加速度為 2a。在 2t 時刻，物體的加速為 3a，由此我們可以總結(jié)出規(guī)律，在 nt 時刻，物體的加速度為（n+1）a。我們進(jìn)而推測速度遵循的規(guī)律，進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納推理。在 t 時刻，物體的速度為 v1=at。在 2t 時刻，物體的速度 v2=at+2at=3at。在 3t 時刻，物體的速度 v3=at+2at+3at=6at。我們進(jìn)而可以歸納，nt 時刻的速度為 。

物理習(xí)題中的一些問題也是有規(guī)律可循的，摸清了物理習(xí)題中一些問題的規(guī)律就能夠有效地解題。一般來說，在物理題目中能利用到數(shù)學(xué)規(guī)律的是比較難遇到的，但是一旦遇到就要精準(zhǔn)把握。物理問題的核心在于邏輯分析，把握其中的規(guī)律將會極大地提高解題效率。

綜上所述，數(shù)學(xué)思想在物理解題中的應(yīng)用十分廣泛。巧妙遷移數(shù)學(xué)思想，是有效解決物理問題的重要方法。在教學(xué)中，教師需要適當(dāng)滲透這種解題思想，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法求解物理問題的能力。

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（責(zé)編 盧建龍）