例談解析幾何中的設(shè)點(diǎn)和求點(diǎn)策略

福建省廈門松柏中學(xué)(361012)

盧云輝●

例談解析幾何中的設(shè)點(diǎn)和求點(diǎn)策略

福建省廈門松柏中學(xué)(361012)

盧云輝●

解析幾何的解題教學(xué)與其說是教“解”法,不如說是教“想”法.幫學(xué)生提升策略水平,才是解題教學(xué)的根本之道.當(dāng)兩條曲線相交或相切時(shí),必然關(guān)注它們的交點(diǎn),對待交點(diǎn)存在設(shè)點(diǎn)與求點(diǎn)兩種策略.下面就解析幾何中的設(shè)點(diǎn)與求點(diǎn)兩種策略作一些整理,便于讀者參考與借鑒.

一、有關(guān)中點(diǎn)弦、弦長、兩直線垂直等問題采用設(shè)點(diǎn)法

直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題.這類問題一般有以下三種類型:(1)求中點(diǎn)弦所在直線方程問題;(2)求弦中點(diǎn)的軌跡問題;(3)求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題.其解法有代點(diǎn)相減法(點(diǎn)差法)、設(shè)而不求法、參數(shù)法和待定系數(shù)法等.

解決解析幾何中有關(guān)弦長、兩條直線互相垂直、對稱、軌跡、定點(diǎn)等問題時(shí)采用設(shè)點(diǎn)法和韋達(dá)定理配合使用,能使問題化難為易,化繁為簡,從而減少運(yùn)算量.

(Ⅰ)求C1,C2的方程；

(Ⅱ)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E.求證:MD⊥ME.

(Ⅱ)由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=kx.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1+x2=k,x1x2=-1.

又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-1)，所以

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

點(diǎn)評 若聯(lián)立直線l與曲線求出點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo),再去計(jì)算kMD·kME的值,計(jì)算量較大.而采用設(shè)點(diǎn)及設(shè)直線就可以利用韋達(dá)定理中x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2的某些式子,從而簡化計(jì)算過程,減少運(yùn)算量.

二、問題中具有相同“結(jié)構(gòu)”時(shí)采用求點(diǎn)法

數(shù)學(xué)解題中,接觸到相同“結(jié)構(gòu)”時(shí),若能運(yùn)用好“同理”思想,尤其在解析幾何中就能回避繁瑣的“雷同”運(yùn)算.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1·x2=1.

故直線OA：y=k1x，直線OB：y=k2x，則k1·k2=-1.

選C.

點(diǎn)評 由已知“過點(diǎn)(1,0)的直線與拋物線y2=x交于A,B兩點(diǎn)”采用設(shè)點(diǎn)法推得射線OA⊥OB.下面圍繞直線OA,OB展開分析與運(yùn)算,求出A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo), 運(yùn)用“同理”思想用k2替換k1,很快得到B,E兩點(diǎn)的坐標(biāo).求出|OA|,|OD|的表達(dá)式,運(yùn)用“同理”思想很快得到|OB|,|OE|的表達(dá)式,使問題獲得解決.其中“同理”思想不僅回避了繁瑣的“雷同”運(yùn)算,而且簡化了解題步驟,加快了解題速度.

總之,在處理解析幾何問題時(shí),若能選擇性地使用設(shè)點(diǎn)法和求點(diǎn)法,不僅能回避繁瑣運(yùn)算,而且通過構(gòu)建方程使問題得以巧妙化歸,直奔結(jié)果.從而提高學(xué)生準(zhǔn)確快速的解題能力.

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