天體密度求解再歸納

【摘要】在萬(wàn)有引力與航天中，求解天體密度屬于常見(jiàn)題型，一般情況都是利用環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量和軌道半徑求解中心天體質(zhì)量，再加上中心天體的半徑即可求出天體的密度。而有些情況下，若能知道環(huán)繞天體的周期和環(huán)繞天體軌道半徑與中央天體半徑的關(guān)系，即可求出中心天體的密度；利用自轉(zhuǎn)周期和自轉(zhuǎn)帶來(lái)的影響也可求解中心天體的密度，下面對(duì)這些特殊情況下天體密度的求解再歸納。

【關(guān)鍵詞】萬(wàn)有引力 周期 中心天體 密度 自轉(zhuǎn)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）20-0183-01

一、一個(gè)周期和一個(gè)關(guān)系測(cè)天體密度

一個(gè)周期指環(huán)繞天體的周期，一個(gè)關(guān)系指環(huán)繞天體的軌道半徑與中央天體半徑的關(guān)系。

例1.已知月球繞地球軌道半徑約為地球半徑的60倍，月球繞地球的公轉(zhuǎn)周期為27天，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，試估算地球的平均密度。

解析：設(shè)地球半徑為R，即月球繞地球的軌道半徑約為60R。

=m（ ）260R

ρ=5.5×103kg/m3

例2.（2014廣東高考改編）如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的環(huán)繞周期為T(mén)，星球相對(duì)飛行器的張角為θ，已知引力常量為G，求該星球的平均密度。

解析：本題給出星球相對(duì)飛行器的張角θ，其實(shí)就給出了星球半徑和軌道半徑的關(guān)系，設(shè)星球半徑為R，軌道半徑為r。

=m（ ）2r

M=ρ· πR3

rsin =R

聯(lián)立上式可得ρ=

二 、以星球自轉(zhuǎn)為背景測(cè)天體密度

例3.（2014新課標(biāo)II卷改編）如果在一個(gè)星球上，宇航員為了估測(cè)星球的平均密度，設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)：他先利用手表，記下一晝夜的時(shí)間T；然后用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)一個(gè)砝碼的重力，發(fā)現(xiàn)在赤道上的重力為兩極的90%。引力常量為G，試寫(xiě)出該星球平均密度的估算表達(dá)式。

解析：這里T為星球的自轉(zhuǎn)周期，正是自轉(zhuǎn)導(dǎo)致了赤道處重力與兩極處重力的差異，兩極處物體所受的重力等于萬(wàn)有引力，赤道處物體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期T，設(shè)星球密度為ρ，半徑為R，以赤道處物體為研究對(duì)象。

-0.9 =m R

Gρ π-0.9Gρ π=

ρ=

例4. 中子星是恒星演化過(guò)程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測(cè)到它的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)= s，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星球的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。

解析：由于星球自轉(zhuǎn)周期過(guò)短，導(dǎo)致赤道處物體率先脫離地表成為近地衛(wèi)星，本題實(shí)際上研究的是近地衛(wèi)星，知近地衛(wèi)星的周期和萬(wàn)有引力常量求中心天體的密度。

=m R

Gρ =

ρ=

代入數(shù)據(jù)解得ρ=1.27×1014kg/m3

總結(jié)：無(wú)論是知道環(huán)繞天體半徑與中心天體半徑的關(guān)系，還是地球自轉(zhuǎn)帶來(lái)的影響，其本質(zhì)與常規(guī)測(cè)天體密度原理一致，只是在處理過(guò)程中，半徑被約去了，此類(lèi)問(wèn)題的條件隱蔽性較強(qiáng)，希望學(xué)生在處理過(guò)程中不要被物理情景蒙騙，而應(yīng)正確分析研究對(duì)象，運(yùn)用常規(guī)方法解決問(wèn)題。

作者簡(jiǎn)介：

王謀軍（1980.05-），男，本科，安徽六安人，職稱(chēng)：中一。