高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的探索與實(shí)踐

周峻

隨著當(dāng)今基礎(chǔ)教育課程改革的實(shí)施，研究性學(xué)習(xí)已成為基礎(chǔ)教育課程改革的核心問(wèn)題之一。高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，倡導(dǎo)積極主動(dòng)的、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)由只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)的方式向自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等方式轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程。那么什么是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)呢？在實(shí)施時(shí)又需要注意些什么呢？

一、數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的概念及特點(diǎn)

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)教師或相關(guān)學(xué)科教師的指導(dǎo)下，從某些數(shù)學(xué)問(wèn)題以及其它學(xué)科或?qū)嵺`生活中出現(xiàn)的問(wèn)題中選擇并確定研究性課題，運(yùn)用類似于數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)研究方法去獲取和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，從而在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，體驗(yàn)、理解、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)科學(xué)精神，發(fā)展科研能力的一種學(xué)習(xí)方式。

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)具有以下特點(diǎn)：（l） 開(kāi)放性；表現(xiàn)在內(nèi)容、方法、信息收集的渠道及研究中師生關(guān)系。（2） 探究性；主動(dòng)地提出問(wèn)題，積極地尋求解決問(wèn)題的方法，探求結(jié)論的自主學(xué)習(xí)的過(guò)程。（3） 實(shí)踐性；關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活，親身參與社會(huì)實(shí)踐性。

二、數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的培養(yǎng)要求

1、數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)有機(jī)組成部分，是在基礎(chǔ)性、拓展性課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)的和現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題的一種有意義的主動(dòng)學(xué)習(xí)，是以學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、主動(dòng)探索實(shí)踐和相互交流為主要學(xué)習(xí)方式的學(xué)習(xí)研究活動(dòng)。它能營(yíng)造一個(gè)使學(xué)生勇于探索爭(zhēng)論和相互學(xué)習(xí)鼓勵(lì)的良好氛圍，給學(xué)生提供自主探索、合作學(xué)習(xí)、獨(dú)立獲取知識(shí)的機(jī)會(huì)。

2、數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題主要是指對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入探討，或者從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行研究。要充分體現(xiàn)學(xué)生的自主活動(dòng)和合作活動(dòng)。研究性學(xué)習(xí)課題應(yīng)以所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，并且密切結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際。

三、培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的一般方法

1.教師引導(dǎo)、學(xué)生自學(xué)式方法

結(jié)合教材內(nèi)容把典型課題設(shè)計(jì)為研究性問(wèn)題.這些課題可以是數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程，知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，解題思路的探索過(guò)程，解題方法和規(guī)律的概括過(guò)程等。通過(guò)學(xué)生自學(xué)探討使這些知識(shí)形成過(guò)程讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、再創(chuàng)造的研究性活動(dòng)，以培養(yǎng)學(xué)生的能力。

如曲線的方程和方程的曲線是解析幾何的重要概念，理解辨析“兩個(gè)關(guān)系”是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生不理解規(guī)定“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”和“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”的意義何在，各自起何作用，只從字句上死記硬背，或干脆認(rèn)為同義反復(fù)，隨后面對(duì)充分必要條件、軌跡的純粹性完備性等一系列數(shù)學(xué)抽象學(xué)生更加費(fèi)解。

例1： 證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25，并判斷點(diǎn)M1（3，4），M2（-2 ，2） 是否在這個(gè)圓上。

引導(dǎo)學(xué)生借助“幾何畫(huà)板”平臺(tái)，通過(guò)上例引出兩個(gè)關(guān)系，直觀表示概念的形成過(guò)程給出正面演示：在⊙O：x2+y2=25上任取一點(diǎn)P，讓學(xué)生“測(cè)算”坐標(biāo)值后計(jì)算平方和，顯示 ，并制作動(dòng)畫(huà)讓點(diǎn)P沿⊙O移動(dòng)，學(xué)生觀察到隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)其坐標(biāo)值自動(dòng)更新，但 保持不變.另一方面，選中兩端點(diǎn)在x軸上的⊙O直徑，在其上任取一點(diǎn)A，“測(cè)算”該點(diǎn)橫坐標(biāo)x，計(jì)算 作為縱坐標(biāo)y，繪制點(diǎn)B、C，緩緩?fù)蟿?dòng)點(diǎn)A，容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B、C 總在⊙O上。這樣通過(guò)上述的動(dòng)態(tài)模擬，用學(xué)生的親身體驗(yàn)建立起“曲線上的點(diǎn)”與“方程的解”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，完成對(duì)“兩個(gè)關(guān)系”的意義構(gòu)建。

2.問(wèn)題探究式方法

數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出是一個(gè)發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，主要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)情境基本構(gòu)成要素的觀察、分析，深入挖掘隱藏于其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，大膽置疑，大膽猜想，并確定新的未知構(gòu)成要素，即提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例2：如圖，正方形截面的可能形狀，截面的形狀是什么樣的？根據(jù)此問(wèn)題我們可以設(shè)計(jì)一系列的探究問(wèn)題：

（1）給出分類的原則（例如按截面的邊數(shù)分類）。按照你的分類原則，能得到多少類不同的截面？

（2）如果截面是三角形，你認(rèn)為可以截出幾類不同的三角形？

（3）如果截面是四邊形，你認(rèn)為可以截出幾類不同的四邊形，證明上面的結(jié)果。

（4）截面多邊形的邊數(shù)最多有幾條？說(shuō)明理由。

（5）截面可能是正多邊形嗎？可能有幾種？畫(huà)出示意圖。

（6）如果截面是三角形，其面積最大為多少？畫(huà)出示意圖。

（7）你還能提出那些相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題？

上述數(shù)學(xué)問(wèn)題提出便是把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境變成一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的過(guò)程.通過(guò)從不同角度、不同側(cè)面及其實(shí)際意義進(jìn)行研究，激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神和應(yīng)變能力，可以使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)。

3.數(shù)學(xué)建模以及應(yīng)用式方法

用于數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的素材應(yīng)是建立在學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，能夠激起學(xué)生解決問(wèn)題的欲望，體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的思想方法和應(yīng)用價(jià)值，有利于營(yíng)造廣闊的思維活動(dòng)空間，使學(xué)生的思路越走越寬，思維的空間越來(lái)越大的一種研究性材料。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的材料不僅僅是教師自己提供的，而且教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)思考、調(diào)查、查閱資料等方式概括出問(wèn)題，甚至可以通過(guò)日常生活情景提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而提煉成研究性學(xué)習(xí)的材料。在研究性學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，是問(wèn)題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)W(xué)生給予幫助，起著組織和引導(dǎo)的作用。聯(lián)系實(shí)際，讓學(xué)生參與研究性學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，自己提煉數(shù)據(jù)建立模型來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

例3：一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m.一艘船從A處出發(fā)航行到河的正對(duì)岸B處，船航行的速度|v1|=10km/h，水流速度|v2|=4km/h，那么v 1與v2的夾角 （精確到1°）多大時(shí)，船才能垂直到達(dá)對(duì)岸B處？船行駛多少時(shí)間（精確到0.1min）？

教師讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上用幾何畫(huà)板建立模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型進(jìn)而獲得BC兩點(diǎn)距離與河寬 之間不同關(guān)系時(shí)， 、 、 相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再?gòu)臄?shù)據(jù)中探究 與 的關(guān)系式，并求出當(dāng) 為何值時(shí)， 的最小值，最后用幾何畫(huà)板加以驗(yàn)證。

總之，研究性學(xué)習(xí)作為一種學(xué)習(xí)方式滲透到數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)活動(dòng)中，給教師的教學(xué)觀念帶來(lái)了深刻的變化，教師不再為某個(gè)問(wèn)題講得是否透徹，學(xué)生是否真正理解而擔(dān)憂，因?yàn)橥ㄟ^(guò)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、交流、合作研究活動(dòng)已把問(wèn)題解決得趨于完美，有時(shí)雖然不甚完美但教師也只要稍加點(diǎn)撥就可把問(wèn)題徹底解決，不必多費(fèi)口舌。而給學(xué)生帶來(lái)了的更是深遠(yuǎn)的影響，因?yàn)槔蠋煛巴倌瓩M飛”“眉飛色舞”的時(shí)間少了那么勢(shì)必給學(xué)生思考學(xué)習(xí)的時(shí)間就多了，大部分的問(wèn)題可以通過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)而得以解決，留下來(lái)的少部分問(wèn)題再通過(guò)學(xué)生間、師生間的合作交流加以解決，相對(duì)來(lái)說(shuō)這樣的數(shù)學(xué)課學(xué)生較喜歡上，與“滿堂灌”“一言堂”的課相比，更易出效率。