高中輔助角公式的教學(xué)

李興波

摘 要：輔助角公式是對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)、三角恒等變換章節(jié)的一個(gè)拓展和延伸，新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修4中以習(xí)題的形式出現(xiàn)，并未單獨(dú)作為教材章節(jié)，以致于教師在教學(xué)中通常直接給出公式，學(xué)生記憶時(shí)常混淆或不知道怎么來(lái)的。本文試圖通過(guò)自然的推導(dǎo)來(lái)闡釋教材編寫者的意圖。

關(guān)鍵詞：探析 輔助角公式 推導(dǎo) 教學(xué)

一、教材中隱藏的輔助角公式模型

1. 輔助角公式在教材中的出現(xiàn)

《高中數(shù)學(xué)必修4人教A版》教材P132練習(xí)第6題以化簡(jiǎn)的形式出現(xiàn)，使得形如（是明確給出的實(shí)數(shù)）的4個(gè)式子都能化簡(jiǎn)成一個(gè)角的三角函數(shù)形式，繼而教材在P144習(xí)題3.2 B組第6題，提出：是否能用表示函數(shù)的最大值和最小值？其本質(zhì)就是問(wèn)：形如能否化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式？下面引用教材中的P132練習(xí)第6題（2）式，稍作探討。[1]

例1

化簡(jiǎn)：（1）；（2）

分析：在剛學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦公式之后，觀察（1）式的結(jié)構(gòu)，注意到兩個(gè)數(shù)值比較特殊，容易想到將，，從而拼湊成之和的正弦公式；再者，只需（2）式提個(gè)2倍出來(lái)便得（1）式，所以可做如下解答.

解：

（2）

可見(jiàn)， （1）、（2）式都可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式.

那么，一般地，形如是否都可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢？

二、形如可化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式的理論證明

思考輔助角公式在教材的位置，觀察非常符合的結(jié)構(gòu)，那么自然而然想到兩個(gè)向量的數(shù)量積.推理如下：

證明：構(gòu)造，則有：

，

（）

即 （為之間的夾角） （I）

由（I）式可得一定可以化成一個(gè)角的三角函數(shù)形式.考慮到三角變換。

則 （II）

說(shuō)明：構(gòu)造是考慮到可以利用單位圓的性質(zhì)，先定再定。

三、確定的值（數(shù)形結(jié)合）

1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，如示意圖1所示，點(diǎn)在單位圓上；則總有一個(gè)角且，它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).依據(jù)必修4中P13右上角的小知識(shí)，可設(shè)，由三角函數(shù)的定義知：[2]

可令

所以

.（其中） （III）

此時(shí)對(duì)比（II）式可設(shè) .

說(shuō)明：（III）式與教材必修四P125—P125利用向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程非常符合。

2.在平面直角坐標(biāo)系中，注意到點(diǎn)與到原點(diǎn)的距離相等.因此一定有一個(gè)角且的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，依據(jù)必修4中P13右上角的小知識(shí)，同樣可設(shè)，由三角函數(shù)的定義知：

令

所以

.（其中） （IV）

此時(shí)對(duì)比（II）式可設(shè) .

四、輔助角的范圍

前面論述當(dāng)中，首先設(shè)定了，主要是基于三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的性質(zhì)，這為我們的研究帶來(lái)了便利.在中，通過(guò)示意圖2可知點(diǎn)的位置決定了角所在的象限，的具體位置由和共同決定，并可由計(jì)算出值.

類似地，中，通過(guò)示意圖1可知點(diǎn)的位置決定了角所在的象限，的具體位置由和共同決定，并可由計(jì)算出值.注意：通常.

五、一點(diǎn)實(shí)用技巧

實(shí)際使用中由于教材對(duì)正弦函數(shù)著墨較多，學(xué)生更喜歡或更習(xí)慣選擇使用這種形式.但在計(jì)算過(guò)程中容易忽視的象限由確定，而直接套用計(jì)算出值，另外考慮到學(xué)生對(duì)特殊角三角函數(shù)值的記憶要求.可先對(duì)常數(shù)的正負(fù)進(jìn)行處理，即將的系數(shù)調(diào)整成正值后再化簡(jiǎn)，因?yàn)榇_保的范圍限制在區(qū)間上，而在該區(qū)間上是單調(diào)遞增的，所以值可以唯一確定，方便運(yùn)算和的取值。

結(jié)語(yǔ)

引入輔助角公式的主要目的是化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.在實(shí)際中結(jié)果是化為正弦還是化為余弦要具體問(wèn)題具體分析，有時(shí)也需結(jié)合兩角和與差的正弦、余弦公式靈活應(yīng)用.本文旨在說(shuō)明推導(dǎo)輔助角公式的方式方法在教材中早有隱藏，而不是憑空而來(lái).

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社，數(shù)學(xué)4必修A版11-14，44，103-104，124-129，132，142-144.

[2]鄭傳根，輔助角公式教學(xué)應(yīng)注意的的幾個(gè)問(wèn)題.