張國(guó)勝
摘要:分類討論,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,也是一種邏輯方法。該文主要闡述了分類討論的含義,分類的規(guī)則與標(biāo)準(zhǔn),分類方法的解題步驟等。
關(guān)鍵詞:分類討論;數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象與概括,它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中,是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁,也是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)的一個(gè)重要方面。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的導(dǎo)向。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要理解、掌握數(shù)學(xué)思想和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想,因?yàn)椤皼](méi)有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想,也沒(méi)有不包含數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)知識(shí)”。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,不僅要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),同時(shí)也要重視數(shù)學(xué)思想的掌握。只有二者兼顧,才能切實(shí)培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而我們所學(xué)的分類討論思想是其中尤為重要的一種數(shù)學(xué)思想,它又稱“邏輯化分思想”,它是把所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為若干不同的情形,然后再分別進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想。有關(guān)分類討論的題目具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點(diǎn)。難度有易,有中,也有難。題型可涉及任何一種題型,知識(shí)領(lǐng)域方面,可以“無(wú)孔不入”地滲透到每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域,所以探討分類討論思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是具有實(shí)際意義的。
在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)會(huì)有多種情況而統(tǒng)一論證又比較困難,可以先確定某一條件,然后把各種可能出現(xiàn)的情況分成若干類,逐一加以論證,最后歸納各種情況作出結(jié)論,我們將這種解決問(wèn)題的思想方法稱為分類討論思想。分類討論是根據(jù)問(wèn)題的不同情況分類求解,是一種極為重要的數(shù)學(xué)解題方法。分類方法在解題中的作用體現(xiàn)在:化一為多、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化多為少、化無(wú)限為有限。換言之,要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵在于分類后得到的各個(gè)子問(wèn)題應(yīng)當(dāng)是熟悉的或易于解決的問(wèn)題,從而能通過(guò)對(duì)各個(gè)子問(wèn)題的解決而最終解決原問(wèn)題。
分類是在比較中派生出來(lái)的,更為復(fù)雜的一種思維方法。分類以比較為基礎(chǔ),通過(guò)比較將具有相同點(diǎn)的對(duì)象歸入一類,將具有相異點(diǎn)的對(duì)象歸入不同的類,從而使研究對(duì)象條理化、層次化、系統(tǒng)化,是一種重要的科學(xué)方法。分類離不開(kāi)分析與比較,只有通過(guò)分析與比較,弄清了事物的共同屬性之后,才能對(duì)事物進(jìn)行分類。分類是觀察、比較的結(jié)果,觀察、比較是分類的前提。通過(guò)觀察、比較將對(duì)象分為具有一定從屬關(guān)系、并列關(guān)系的一系列關(guān)系結(jié)果,便于逐類深入研究。
根據(jù)上述對(duì)分類含義的討論分析,分類應(yīng)滿足以下四條規(guī)則:
①分類所得的各子項(xiàng)外延的總和,應(yīng)當(dāng)與被分類概念的外延相等。即分類要完備。
②分類所得的各子項(xiàng),應(yīng)當(dāng)是互相排斥的。某一概念被分類后,其各子項(xiàng)每?jī)身?xiàng)都應(yīng)當(dāng)是并列關(guān)系,而不是交叉關(guān)系或從屬關(guān)系。比如,若把平行四邊形分為矩形、菱形和正方形,就不僅違反了規(guī)則①,而且也犯了“交叉”和“從屬”的毛病。
③分類應(yīng)取被分類概念最鄰近的屬概念,應(yīng)按步驟和層次逐步進(jìn)行,不能越級(jí)或顛倒級(jí)別的順序。
④分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在分類前,應(yīng)當(dāng)從被分類的概念的屬性中,取出一個(gè)屬性作為依據(jù)。用來(lái)類分概念的那些屬性,稱為類分的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)同一個(gè)問(wèn)題所確定的對(duì)象而言,可以有不同的標(biāo)準(zhǔn),標(biāo)準(zhǔn)不同,類分的結(jié)果也就不同。
分類有不同的標(biāo)準(zhǔn),一般而言,有現(xiàn)象分類與本質(zhì)分類兩種:
所謂現(xiàn)象分類,是以對(duì)象的外部標(biāo)志、外部聯(lián)系為依據(jù)進(jìn)行的分類。比如,在數(shù)的分類中,復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)和虛數(shù),實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù);代數(shù)式、方程和函數(shù)按運(yùn)算分類;方程和函數(shù)按次數(shù)分類;多邊形按邊數(shù)分類;多面體按面數(shù)分類;解析幾何中的曲線按方程的次數(shù)分類等,都是按對(duì)象的外部現(xiàn)象與聯(lián)系加以區(qū)分,這種分類難以反映對(duì)象間的本質(zhì)聯(lián)系。所謂本質(zhì)分類,是按對(duì)象本質(zhì)特征和內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行的分類,它能從本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律。比如,函數(shù)按單調(diào)性、有界性或周期性分類;排列組合問(wèn)題按是否與順序有關(guān)分類等均屬本質(zhì)分類。總之,根據(jù)什么原則對(duì)被研究的對(duì)象進(jìn)行分類,要具體情況具體分析。有時(shí)對(duì)一個(gè)問(wèn)題要進(jìn)行多次分類或不斷地修改、完善分類的方法,才能達(dá)到預(yù)期的目的。
分類方法的解題步驟:
①確定分類標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)分類思想的關(guān)鍵在于正確選擇分類標(biāo)準(zhǔn)。這就要運(yùn)用辯證的邏輯思維,對(duì)具體事物作具體分析,從表面上極為相似的事物之間看出它們本質(zhì)上的差異點(diǎn),從表面上差異極大的事物之間看出它們本質(zhì)上的相同點(diǎn),發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征。只有這樣才能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的規(guī)律,對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有意義的分類。
②恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類
在確定分類標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上,遵循分類的四條規(guī)則,對(duì)所討論的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤诸悺?wèn)題能否順利討論的關(guān)鍵是對(duì)所討論對(duì)象進(jìn)行正確的分類。
③逐類討論
根據(jù)分好的各類情況,逐類進(jìn)行研究的分類討論。分門別類逐一把問(wèn)題解決。
④歸納結(jié)論
對(duì)分類結(jié)果進(jìn)行討論,歸納出問(wèn)題的最終結(jié)果。討論的結(jié)論有時(shí)將其劃分為同一個(gè)可能的形式表達(dá)出來(lái),有時(shí)你需要在聲明中進(jìn)行分類,使問(wèn)題得到完美的答案。
分類方法在數(shù)學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用,這是因?yàn)橐磺惺挛锒急仨毞珠T別類加以研究,才能條理清楚、涇渭分明,區(qū)別事物間的千差萬(wàn)別,明確事物間的聯(lián)系。作為反映現(xiàn)實(shí)世界各種現(xiàn)象普遍聯(lián)系和制約關(guān)系的數(shù)學(xué),是以概念為支柱的,沒(méi)有分類,數(shù)學(xué)概念就不復(fù)存在,也就無(wú)法建立和發(fā)展。分類往往把復(fù)雜的問(wèn)題化簡(jiǎn),隱晦的條件變明,從而有助于分別思考,各個(gè)擊破。對(duì)于分類方法的分析、研究和掌握,有利于培養(yǎng)周密、全面的數(shù)學(xué)思維。有利于培養(yǎng)綜合分析問(wèn)題的能力。