函數(shù)思想在解題中的應用

劉彥姍

【摘 要】函數(shù)對于數(shù)學體系來說就像一把鑰匙，能夠幫助我們打開很多其他問題的大門，函數(shù)簡單來說就是一種特殊的映射，是一種特殊的對應關(guān)系。通過對函數(shù)的介紹了解到函數(shù)的大致分類，并對其應用做了簡單的舉例說明。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；分類；應用

前言

在數(shù)學學習中構(gòu)建起函數(shù)思想非常重要，函數(shù)就是一種工具，通過一些轉(zhuǎn)換關(guān)系可以把很多問題都用函數(shù)關(guān)系表示，使得問題簡單化，從而得到解決。善于運用函數(shù)思想能夠拓寬解題的思路，幫助我們分析問題，更好的去解決問題。所以要學會用函數(shù)思想去思考數(shù)學問題。

1.函數(shù)的概述

1.1什么是函數(shù)及函數(shù)思想

函數(shù)從其本質(zhì)上來說是一種對應關(guān)系，這種對應關(guān)系建立在輸入值與輸出值之間。從集合的角度來說，就是一個集合里的每一項都能從另一個集合里找到唯一的與之對應項，即兩個非空數(shù)集上的單值對應，這就體現(xiàn)出了函數(shù)的一種特性，一一對應，如圖1-1所示。函數(shù)輸入值所在的集合叫做這個函數(shù)的定義域（圖1-1中 A），輸出值的集合叫做這個函數(shù)的值域（圖1-1中 B）。通常函數(shù)用f（x）表示。

A 圖 1-1 B

在我們的數(shù)學教材上是這樣定義函數(shù)的，設(shè)x，y是兩個變量，當x在某個數(shù)集D內(nèi)取任意一個定值，按照某個確定的對應關(guān)系f，y都有唯一的值與x對應，那么我們就說x是自變量，y是變量x的函數(shù)。我們通常將y是x的函數(shù)記作：y=f（x），x∈D。這樣就體現(xiàn)出了構(gòu)成函數(shù)的三要素，定義域、值域、對應法則。

在了解什么是函數(shù)之后，我們來討論一下函數(shù)思想，函數(shù)思想就是一種數(shù)學思想，它是一個動態(tài)的過程，利用這樣的思想我們能夠分析和解決許多數(shù)學中常見的問題。首先要構(gòu)建起相應的函數(shù)模型，找到它們一一的對應關(guān)系，去分析、解決問題。所以說，函數(shù)思想在很多時候都能簡化我們所遇到的數(shù)學問題，我們要學會綜合利用函數(shù)思想解答問題。

1.2常見的函數(shù)分類及性質(zhì)

在解題過程中有很多函數(shù)是我們常見的函數(shù)，包括反函數(shù)，隱函數(shù)，多元函數(shù)，二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)。

在解題中我們經(jīng)常會用到函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)的有界性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的凹凸性。

2.函數(shù)思想在解題中的應用

2.1利用函數(shù)圖像解決問題

常用的函數(shù)圖像變換有：平移變換、對稱變換、翻折變換。

舉例說明：若f（x）的圖象過（0，1）點，則f-1（x）的圖象過____點，f（x+1）的圖象過____點，f-1（x+1）的圖象過____點。

分析：由于f（x）的圖象與f-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以f-1（x）的圖象過（1，0）點。

f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移一個單位得到，而f（x）的圖象過（0，1）點，所以f（x+1）的圖象過（-1，1）點。f-1（x+1）的圖象是由f-1（x）的圖象向左平移一個單位得到，而f-1（x）的圖象過（1，0）點，所以f-1（x+1）圖象過（0，0）點。

這道題就是通過平移變換的方法快速找到答案。

2.2利用函數(shù)解決數(shù)列問題

首先對于什么是數(shù)列做一個大概的介紹，數(shù)列就是按一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是由項構(gòu)成的，項就是數(shù)列中的每一個數(shù)。在一個數(shù)列中，排在第一位的叫做數(shù)列的第一項，以此類推，排在第n位的叫這個數(shù)列的第n項。在解決數(shù)列的相關(guān)問題時候，我們常常采用函數(shù)而思維方法，對數(shù)列進行分析。

2.3利用函數(shù)解決解析幾何的問題

解析幾何就是曲線關(guān)系，曲線方程中有兩個相關(guān)變量x和y，所以可以構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系，是問題變得簡單。

舉例說明：過曲線M的右焦點F作直線l，交M于A、B，求AB的最值

所以，函數(shù)思想是解決解析幾何問題最快速最有效的方法，而且能夠保證較高的正確率。

2.4應用函數(shù)性質(zhì)求解含參方程

舉例說明：已知P是圓x+y=1上任意一點，點P關(guān)于點A（2，0）的對稱點為Q，點P繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)900到達R點，問當P點在圓上哪個位置時，線段QR的長度的最大值與最小值各是多少？

解析：設(shè)圓x2+y2=1的參數(shù)方程為：x=cosθ（O≤θ≤2π）y=sinθ各點參數(shù)坐標如圖所示則RQ2=（4- cosθ+sinθ）2+（-sinθ-cosθ）2=16+1+1-8cosθ+8sinθ-2

cosθsinθ+2sinθcosθ=18+（sinθ-cosθ）=18+8sin（θ-r）

∵O≤θ≤2π時sin（θ-cosθ）=1

∴|RQ|max=4此時P（-9，3）θ-=θ= 時sin（θ）=-1

∴|RQ|min=4此時P（4，-3）

要用參數(shù)方程來解決這道題目，首先也是要正確地確定參數(shù)，并且把直角坐標系中所有點的坐標都用同一個參數(shù)準確地表示出來，先利用兩點間的距離公式給出長度的參數(shù)表示，并根據(jù)參數(shù)的范圍，運用三角函數(shù)的有關(guān)知識，最后通過代數(shù)運算來求得長度的最值。

結(jié)束語

綜上所述，函數(shù)是一門獨立的數(shù)學知識，同時又是數(shù)學領(lǐng)域中一項有效的工具，在解決很多問題的時候都能夠用到。所以建立起函數(shù)思想十分重要，構(gòu)建起來函數(shù)的框架，對其的應用熟練掌握，并且學會擴展思維，能夠做到舉一反三，這樣才能利用好函數(shù)思想，幫助我們解決各類能夠轉(zhuǎn)換為函數(shù)關(guān)系的問題。

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