多元積分學(xué)教學(xué)演示系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)

倪中宇

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

多元積分學(xué)教學(xué)演示系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)

倪中宇

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

計(jì)算機(jī)多媒體教學(xué)演示系統(tǒng)在我國(guó)各高校的課堂教育中扮演著重要的角色，通過將書本的理論知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閳D文并茂的可見形式，加入聲音與動(dòng)畫，充分展示教學(xué)內(nèi)容的變化和發(fā)展.多元積分的學(xué)習(xí)不僅使學(xué)生掌握一門新的技能工具，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維方式，促進(jìn)學(xué)生辯證的看待問題.多元積分在教學(xué)內(nèi)容上分為概念和計(jì)算，由于計(jì)算過程的復(fù)雜以及多元積分中各個(gè)概念的迥然不同，因此傳統(tǒng)的黑板教學(xué)以及圖書等并不能較為高效的讓學(xué)生快速理解并掌握其相關(guān)概念和運(yùn)用.隨著CAI技術(shù)的日益進(jìn)步，運(yùn)用計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展來創(chuàng)新教學(xué)形式，輔助教學(xué)以提高教學(xué)質(zhì)量的手段已經(jīng)成為了教學(xué)改革的趨勢(shì)和發(fā)展.

多元積分；教學(xué)演示；Mathcad

微積分的產(chǎn)生標(biāo)志著近代數(shù)學(xué)的開始，高等數(shù)學(xué)中，研究函數(shù)的微分和積分以及其相關(guān)的概念和應(yīng)用數(shù)學(xué)分支成為了數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，其中多元積分是微積分學(xué)科的重要組成部分之一，是一元函數(shù)分微分學(xué)和積分學(xué)的總稱，多元積分包含著以上的學(xué)科概念，更重要的是涉及了一系列的算法.通過以一元微積分為基礎(chǔ)，闡述積分中的相關(guān)概念和計(jì)算規(guī)律，同時(shí)分析由于變量個(gè)數(shù)的增多而帶來的特點(diǎn).因此，不論是在高校的課堂教學(xué)中還是日常對(duì)微積分的實(shí)踐運(yùn)用中，多元積分都具有重要的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值.

1 多元積分

多元微積分學(xué)主要是在微分和積分中起到運(yùn)算和應(yīng)用的作用，為了能夠更恰當(dāng)?shù)拿枋龊头治鑫锢憩F(xiàn)象以及數(shù)學(xué)規(guī)律，產(chǎn)生了一系列復(fù)雜的算法.其中牛頓提出的偏導(dǎo)數(shù)和重積分，以及歐拉提出的二重積分和累次積分與換元計(jì)算，以及拉格朗日的三重積分都是多元積分的重要組成部分，而多元積分的產(chǎn)生也并不是以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算為最初目標(biāo)，而是將其付諸于物理的力學(xué)研究和計(jì)算中，之后逐漸納入數(shù)學(xué)計(jì)算范疇.

多元函數(shù)積分是高校微積分教育教學(xué)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要涉及了二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的平面曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的平面曲線積分、對(duì)弧長(zhǎng)的空間曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的空間曲線積分、對(duì)面積的空間曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的空間曲線積分、對(duì)面積的曲面積分、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分等八種形式.從其形式上來看，多元積分的教學(xué)勢(shì)必要明確這一系列設(shè)計(jì)了面積、空間、曲面以及坐標(biāo)等復(fù)雜概念的明確，但通過傳統(tǒng)的黑板教學(xué)和教師講解無法直觀的體現(xiàn)這些概念，造成學(xué)生在多元積分的學(xué)習(xí)過程中因?yàn)樾畔⒌牟蝗婊虺霈F(xiàn)誤差而降低學(xué)習(xí)效果.

其次，多元積分可以分為對(duì)測(cè)度的積分和對(duì)坐標(biāo)的積分兩大類.第1類積分包括了一重積分、二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的平面曲線積分、對(duì)弧長(zhǎng)的空間曲面積分以及對(duì)面積的曲面積分，在公式的表達(dá)上可以體現(xiàn)為：

第1類積分具有相同的符號(hào)并有統(tǒng)一的記號(hào)，而第2類積分則包括定積分、對(duì)坐標(biāo)的平面曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的空間曲線積分和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，可以表示為：

2 傳統(tǒng)課堂教學(xué)的難點(diǎn)

不論是第1類積分還是第2類積分，在方程公式上都十分復(fù)雜，而除了學(xué)習(xí)這些基本的多元積分的概念和分類等理論知識(shí)外，最重要的是通過教學(xué)使學(xué)生充分掌握多元積分對(duì)生活和實(shí)踐的重要作用，使學(xué)生能夠充分的掌握微積分的計(jì)算與演變.但不難看出，微積分在公式表現(xiàn)和演變計(jì)算過程上具有復(fù)雜性和精確性，通過傳統(tǒng)的黑板教學(xué)和教師講授很難快速高效的完成一系列公式的演變計(jì)算過程，同時(shí)十分容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤而影響多元積分的應(yīng)用.因此多元積分學(xué)的教學(xué)過程必須采用更加直觀且快捷的方式和手段以實(shí)現(xiàn)課堂內(nèi)容的充分展示.

我國(guó)傳統(tǒng)的班級(jí)在進(jìn)行多元積分教學(xué)的過程中，展現(xiàn)出了諸多弊端.首先，在教育教學(xué)手段上存在著明顯的局限，對(duì)多元積分這類難度較大的教學(xué)內(nèi)容，傳統(tǒng)的班級(jí)教學(xué)往往只能通過老師對(duì)概念的講解和利用板書進(jìn)行內(nèi)容反映，既不直觀，又無法將內(nèi)容完整的、高效的展現(xiàn).其次，傳統(tǒng)的教學(xué)模式無法改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)多元積分的現(xiàn)狀，內(nèi)容難度較大的教學(xué)內(nèi)容很容易造成學(xué)生因?yàn)殡y度高學(xué)習(xí)困難而讓其學(xué)習(xí)，學(xué)生完全處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，產(chǎn)于度有限，無法充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維能力和參與能力，造成學(xué)習(xí)效果的減弱.再者，傳統(tǒng)的教學(xué)模式效率低下，多元積分涉及十分廣闊的概念、定義、定理和公示、計(jì)算，使用板書演示公示計(jì)算或者作圖往往會(huì)占用大部分的課堂時(shí)間，而我國(guó)高校的整體教學(xué)課程安排也并不允許教師提早在教師中進(jìn)行作圖和公式的準(zhǔn)備，使課堂的時(shí)間容量大大降低，無法在有限的課時(shí)內(nèi)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入的講解.

3 多元積分教學(xué)的演示系統(tǒng)設(shè)計(jì)

多元積分的教學(xué)演示系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要是通過計(jì)算機(jī)多媒體教學(xué)演示系統(tǒng)在多元積分學(xué)的應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)理論知識(shí)和復(fù)雜公式的直觀體現(xiàn)，通過計(jì)算機(jī)多媒體多變的展現(xiàn)形式和直觀的圖文聲畫，極大程度的提高多元積分的表現(xiàn)力，同時(shí)吸引了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣提高，在知識(shí)獲取的能力和知識(shí)獲取的途徑上都有了較好的提升.

伴隨著互聯(lián)網(wǎng)和電子科技的發(fā)展，多元積分教學(xué)課堂中能夠使用到的多媒體教學(xué)和演示系統(tǒng)越來越多樣，通過程序設(shè)計(jì)語言，設(shè)計(jì)開發(fā)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)課件，即CAI課件，隨著CAI技術(shù)的日益普及和成熟，利用計(jì)算機(jī)輔助多元積分教學(xué)的模式已經(jīng)成為高校教師普遍接受并運(yùn)用的手段，也成為教育教學(xué)改革的整體趨勢(shì).通過計(jì)算機(jī)演示系統(tǒng)的運(yùn)用，改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)模式的局限性，并能夠通過程序設(shè)計(jì)保證了教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性.

常用的多元積分教學(xué)演示系統(tǒng)主要是借助Delphi和 MathCad兩個(gè)系統(tǒng)的相互結(jié)合，通過課堂的軟件使用對(duì)多元積分從概念、計(jì)算到演變和作圖的展示，能夠更加直觀的反映多元積分的特點(diǎn).在演示軟件的邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上，設(shè)計(jì)了積分區(qū)域分割的動(dòng)態(tài)演示和微元法積分過程的動(dòng)態(tài)演示，MathCad演示系統(tǒng)從積分的概念出發(fā)，對(duì)坐標(biāo)系和積分的計(jì)算做出了邏輯化的建構(gòu)，邏輯結(jié)構(gòu)如下圖：

MathCad教學(xué)軟件具有極為豐富的科學(xué)計(jì)算函數(shù)，涉及矩陣分解和求特征值、曲線擬合和微分方程數(shù)值解等，數(shù)據(jù)類型十分豐富且運(yùn)算符號(hào)完整，能夠滿足微積分、矩陣運(yùn)算等多個(gè)數(shù)學(xué)分學(xué)科的計(jì)算和演示.其中二維和三維圖形動(dòng)畫功能能夠更加直觀的、形象化的展現(xiàn)多元積分在曲面積分和空間坐標(biāo)上的展示.

運(yùn)用MathCad使程序和運(yùn)行結(jié)果出現(xiàn)在同一個(gè)畫面，在多元積分上課前，教師可以自己提前準(zhǔn)備公示和圖表的展示，在教學(xué)過程中，程序和運(yùn)行結(jié)果是活動(dòng)的，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并當(dāng)場(chǎng)改變，尤其是在多元積分的演變和計(jì)算中，通過Mathcad的展示能夠靈活的改變程序中的公式、符號(hào)，然后快速的的輸出與科學(xué)計(jì)算相應(yīng)的公式和圖標(biāo)，為學(xué)生提供了實(shí)驗(yàn)和探索的重要工具.

以多元積分中的雙曲拋物面為例，Mathcad通過編寫函數(shù)M3D（F,X1，X2，△X，Y1，Y2，△Y）生成數(shù)據(jù)矩陣，根據(jù)矩陣特點(diǎn)獲得雙曲拋物面，并直觀的表達(dá).同時(shí)將函數(shù)中的自變量X,Y的取值作為函數(shù)的輸入?yún)?shù)范圍，通過后臺(tái)計(jì)算輸出運(yùn)算的結(jié)果，并將得到的運(yùn)算結(jié)果保存在矩陣中，進(jìn)一步得到雙曲拋物面.通過Mathcad的計(jì)算和作圖結(jié)果可以轉(zhuǎn)化為Contourplot模式、3D Scatterplot、3D Barplot等形式，并進(jìn)一步根據(jù)課堂內(nèi)容要求進(jìn)行應(yīng)用.最終運(yùn)用到實(shí)踐教學(xué)過程中.這一過程很好的利用了軟件的程序靈活性，利用圖形的旋轉(zhuǎn)，從不同的角度展示雙曲拋物面的馬鞍面彩色圖形，（如下圖所示）將多元積分的抽象二次圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g內(nèi)的三維圖形，提高學(xué)生的積極性.

以Mathcad為代表的CAI教學(xué)演示系統(tǒng)主要是借助互聯(lián)網(wǎng)和計(jì)算機(jī)算法輔助，實(shí)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)，尤其是數(shù)學(xué)公式的計(jì)算，通過教學(xué)演示系統(tǒng)在數(shù)據(jù)和演變過程中的直觀體現(xiàn)，能夠提供學(xué)生討論教學(xué)內(nèi)容，并積極參與到教學(xué)進(jìn)程中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì).CAI相比于傳統(tǒng)的課堂教學(xué)和口語化傳授方式，能夠更加提高學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的自主性，也能夠使學(xué)生借助電腦和軟件自行了解數(shù)學(xué)公式的演變過程，提供了一個(gè)良好的個(gè)性化學(xué)習(xí)環(huán)境.CAI教學(xué)演示系統(tǒng)的運(yùn)用具有交互性、多樣性、個(gè)別性、靈活性等特點(diǎn)，在一定程度上克服了口口相傳以及板書形式的傳統(tǒng)教學(xué)方式所產(chǎn)生的方法單一、內(nèi)容片面的缺點(diǎn).同時(shí)方便快捷且準(zhǔn)確度高的特點(diǎn)促使系統(tǒng)的使用者能夠節(jié)省學(xué)習(xí)時(shí)間，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，提升了教學(xué)的總體效率，促進(jìn)了教學(xué)目標(biāo)的優(yōu)化和教學(xué)過程的科學(xué)化.

4 多元積分學(xué)的教學(xué)演示系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的重要意義

4.1 計(jì)算機(jī)輔助演示系統(tǒng)運(yùn)用可以激發(fā)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣

多元積分的教學(xué)本身具有較高的教學(xué)難度，且數(shù)字的計(jì)算和公式的使用過程也較為枯燥，一旦教學(xué)模式上淪入枯燥和呆板，容易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)的熱情和欲望.但以Mathcad為主這一類CAI演示系統(tǒng)的運(yùn)用不僅方便了教師的課堂展示，而且能夠讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行多元積分公式的演練和程序設(shè)計(jì)，自己通過實(shí)踐在CAI程序中獲得多元積分的相關(guān)結(jié)果，在數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是難點(diǎn)教學(xué)的過程中，必須要保證學(xué)生有較為積極的學(xué)習(xí)興趣，因此創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，使用靈活的教學(xué)形式和教學(xué)方法，為學(xué)生的持續(xù)學(xué)習(xí)和效率提升創(chuàng)造良好的分為，才能夠最終激發(fā)學(xué)生自我學(xué)習(xí)和主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力.教學(xué)演示系統(tǒng)的運(yùn)用從聽、學(xué)、練的三個(gè)層面都提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

4.2 運(yùn)用多媒體計(jì)算機(jī)教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和創(chuàng)新能力

多元積分涉及眾多從平面到立體、從二維到三維的數(shù)據(jù)模型和圖形公式，通過教學(xué)演示系統(tǒng)將傳統(tǒng)教學(xué)手段無法展現(xiàn)的多樣性通過直觀的圖畫或動(dòng)畫展現(xiàn)出來，尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)中的平面和立體的區(qū)別，外部形態(tài)和內(nèi)部構(gòu)造的區(qū)別.同時(shí)，計(jì)算機(jī)的算法更加具有穩(wěn)定性和可控性，教師在運(yùn)用多媒體演示系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，能夠避免課堂環(huán)境影響造成的計(jì)算錯(cuò)誤，提高計(jì)算和傳授的精準(zhǔn)度；學(xué)生也可以借助系統(tǒng)分步驟演算的過程，準(zhǔn)確把握關(guān)鍵信息，并進(jìn)一步掌握基本的原理和方法.因此，演示系統(tǒng)的使用一方面有利于學(xué)生對(duì)多元積分概念和運(yùn)算的細(xì)節(jié)性能力培養(yǎng)，同時(shí)還能夠創(chuàng)造性的為學(xué)生構(gòu)建真實(shí)的立體的計(jì)算環(huán)境，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的提高以及探索問題的能力的提高.通過課堂演示的運(yùn)用，老師積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推算和討論，也能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力.

教學(xué)演示系統(tǒng)對(duì)多元積分的推演和教學(xué)能夠帶動(dòng)學(xué)生積極參與到課堂學(xué)習(xí)中，以形式新穎的方式最大程度的提高學(xué)生對(duì)枯燥的數(shù)字計(jì)算和公示推演的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的成就感，并培養(yǎng)一系列的相應(yīng)能力和素質(zhì).

4.3 計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)可以幫助通用技術(shù)教師把握課堂效率

傳統(tǒng)的多元積分教學(xué)課堂經(jīng)常出現(xiàn)為了完整的表達(dá)公式和圖形，教師花費(fèi)半節(jié)課甚至更多的時(shí)間為同學(xué)們?cè)诤诎迳线M(jìn)行板書和作圖的現(xiàn)象，大大的占用了教學(xué)課時(shí)，擠壓了教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)安排，在重點(diǎn)環(huán)節(jié)的講解上往往會(huì)因?yàn)闀r(shí)間不夠而放棄，但是我們借助計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，由教師通過多媒體和演示系統(tǒng)提早準(zhǔn)備演示內(nèi)容，可以有效的節(jié)省在課堂上板書和作圖的時(shí)間，大大提高數(shù)學(xué)教學(xué)課堂的效率，借用計(jì)算機(jī)教室，老師帶動(dòng)學(xué)生一同對(duì)多元積分的每一環(huán)節(jié)進(jìn)行動(dòng)手探討，通過網(wǎng)絡(luò)和程序設(shè)計(jì)開拓獨(dú)立思考的能力，在自主的探索和發(fā)現(xiàn)中，同學(xué)們也能更好的掌握多元積分的難點(diǎn)和重點(diǎn)，對(duì)有問題的地方做到及時(shí)發(fā)現(xiàn)，及時(shí)補(bǔ)充和學(xué)習(xí).這樣的教學(xué)方式，不僅提高了單一課堂的教學(xué)效率和質(zhì)量，同時(shí)也為學(xué)校節(jié)省了創(chuàng)辦通用技術(shù)教師的成本和資源.

4.4 教學(xué)演示系統(tǒng)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的提升

隨著素質(zhì)教育的深入，社會(huì)對(duì)人才的需求不再是簡(jiǎn)單的掌握知識(shí)，而是需要全面的綜合性人才，既有專業(yè)的知識(shí)理論素養(yǎng)，又有較快的理解能力和較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力.而不論是從學(xué)校教育功能的目標(biāo)出發(fā)，還是為了適應(yīng)社會(huì)的需求和對(duì)人才素質(zhì)的要求而言，當(dāng)前的教育過程中都必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，尤其是互聯(lián)網(wǎng)能力和計(jì)算機(jī)技術(shù)的掌握.在運(yùn)用教學(xué)演示系統(tǒng)的同時(shí)，不僅能夠完成知識(shí)的傳遞和學(xué)習(xí)的過程，保證學(xué)生專業(yè)能力的提供，最重要的是，通過互聯(lián)網(wǎng)教育和計(jì)算機(jī)教學(xué)的運(yùn)用，教育資源能夠得到有效的整合以及合理的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)目標(biāo)和現(xiàn)代教學(xué)手段的額有機(jī)統(tǒng)一，在教育的意識(shí)和觀念上，這是一種極大程度的進(jìn)步.

為了適應(yīng)社會(huì)對(duì)綜合性人才的培養(yǎng)，為了促進(jìn)教育現(xiàn)代化的發(fā)展以及信息化的要求，多媒體計(jì)算機(jī)在教育課堂上的使用是不可回避和忽視的社會(huì)趨勢(shì)，教師應(yīng)該努力提高自身的現(xiàn)代化教學(xué)手段學(xué)習(xí)能力，充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)交匯的重要作用，通過對(duì)演示系統(tǒng)的使用提高教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生培養(yǎng)的效率和質(zhì)量.才能使多元積分的教學(xué)，使整個(gè)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)更加科學(xué)化和高效化.

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2016-12-22