□吳志鵬
(德化第一中學(xué),福建德化 362500)
養(yǎng)成習(xí)慣 克服定式
——談數(shù)學(xué)解題過(guò)程中因定式造成的偏差校正
□吳志鵬
(德化第一中學(xué),福建德化 362500)
數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的定式包含思維定式,圖形定式,解題的方向、順序、步驟、模式、方法等多種類(lèi)型的定式.要克服定式造成的解題偏差,應(yīng)養(yǎng)成良好的審題、作圖、解題、思維、反思等習(xí)慣.
定式;解題偏差;習(xí)慣
定式是指由先前的活動(dòng)造成的一種對(duì)活動(dòng)特殊的心理準(zhǔn)備狀態(tài)或活動(dòng)的傾向性,在環(huán)境不變的情況下,定式使人能夠應(yīng)用已掌握的方法迅速地解決問(wèn)題,而在情境發(fā)生改變時(shí),它則會(huì)阻礙人采用新的方法,束縛人的創(chuàng)造性.
在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中,定式是如何產(chǎn)生的呢?它是通過(guò)對(duì)一類(lèi)問(wèn)題或方法,作多次定向的強(qiáng)化訓(xùn)練,使得學(xué)生能“一見(jiàn)如故”地產(chǎn)生條件反射,不自覺(jué)地應(yīng)用已有的結(jié)論或相似的方法解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的定式包含有思維定式,圖形定式,解題的方向、順序、步驟、模式、方法等多種類(lèi)型的定式,在條件不變的情況下,定式確實(shí)對(duì)解題起到很好的幫助作用;可在條件發(fā)生改變,哪怕是微小的變化,定式有可能造成解題方向的偏差.要克服定式造成的解題偏差,應(yīng)養(yǎng)成下面幾種習(xí)慣.
例1甲去銀行辦理儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù),已知銀行的營(yíng)業(yè)時(shí)間為9:00~17:00,設(shè)甲于當(dāng)天13:00~18:00之間的任一時(shí)刻去銀行的可能性相同,那么甲去銀行恰好能辦理儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)的概率為().
分析 變量的維數(shù)是判斷問(wèn)題是何種幾何概型的關(guān)鍵,再利用“一維空間線段比、二維空間面積比、三維空間體積比”求相應(yīng)概型的概率.本題的變量是時(shí)間,很多學(xué)生在題目中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)時(shí)間誤認(rèn)為是二維變量而用面積比進(jìn)行求解.這是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤在于存在“兩個(gè)時(shí)間即是二維”這種定式思維.其實(shí)銀行的營(yíng)業(yè)時(shí)間9:00~17:00并非變量,而甲當(dāng)天13:00~18:00之間的任一時(shí)刻去銀行,這個(gè)時(shí)間才是變量,理解了這一點(diǎn),易知本題乃一維型的幾何概型,其概率為甲去銀行能辦理業(yè)務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)度4小時(shí)與甲去銀行的時(shí)間長(zhǎng)度5小時(shí)的比值即4∶5,選擇D.
例2(由2015年山東高考題改編)在區(qū)間[0,2] 上 隨 機(jī) 取 一 整 數(shù) x,則 事 件發(fā)生的概率為( ).
分析 大部分學(xué)生選擇錯(cuò)誤的答案A,造成解題偏差的原因是:學(xué)生見(jiàn)到題目中的區(qū)間[0,2]以及不等式化簡(jiǎn)的結(jié)果得x所在的區(qū)間為聯(lián)系幾何概型的概率可用區(qū)間的長(zhǎng)度進(jìn)行表示,并由此而產(chǎn)生的定式,即用幾何概型求解,得到的錯(cuò)誤結(jié)論.本題實(shí)際為古典概型,即在區(qū)間[0 ,2]取一整數(shù)有0、1、2三種情況,而滿足條件的只有0、1兩種情況,所以P=,選擇B.
上述兩例均是由概念或條件的相似或相近而引發(fā)的定式導(dǎo)致的解題偏差,因此在解題時(shí),應(yīng)鍛煉學(xué)生在接收題目信息時(shí),不急于作出判斷,把一些數(shù)或式的特征不假思索地聯(lián)系起來(lái),而要先花時(shí)間去閱讀、審題,厘清知識(shí)要點(diǎn),少一些“先入為主”的思想.克服定式造成的解題偏差應(yīng)養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.
∴f(x)min=f(10)<0,
∴f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn).
觀察學(xué)生對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)后作出的草圖,即只有一個(gè)極小值點(diǎn),且極小值小于零的圖象為圖1,從圖象可直接獲得 f(x)的圖象與x軸僅有兩個(gè)交點(diǎn),即僅有兩個(gè)零點(diǎn).這是一個(gè)典型的由開(kāi)口向上二次函數(shù)的圖象的形態(tài)特征產(chǎn)生的圖形定式造成的解題偏差,實(shí)際上函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)且在x軸的下方,此時(shí)函數(shù)圖象,有如圖1到圖4四種情形而不僅僅是圖1的情況.
圖1
圖2
圖3
圖4
由此本題的解答還應(yīng)做以下的補(bǔ)充:
∴f(1)×f(10)<0.
∵x∈(1,10),f(x)的圖象單調(diào)遞減,∴x∈(1,10),f(x)有唯一零點(diǎn).
同理:
f(10)×f(e4)<0.
∵x∈(10,e4),f(x)的圖象單調(diào)遞增,
∴x∈(10,e4),f(x)有唯一零點(diǎn).
綜上可得,f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn).
《水利工程混凝土耐久性技術(shù)規(guī)范》提出的水利工程混凝土設(shè)計(jì)、施工、運(yùn)行管理等階段的耐久性技術(shù)要求,有利于促進(jìn)資源節(jié)約利用,提高水利工程興利減災(zāi)效果,有利于更好地實(shí)現(xiàn)水利工程設(shè)計(jì)使用年限目標(biāo),適應(yīng)水利現(xiàn)代化的需要。
要克服圖形造成的定式,在平時(shí)作圖訓(xùn)練時(shí),即使是作草圖也必須謹(jǐn)慎對(duì)待而不能隨意馬虎,特別是圖形有多種情況時(shí),作圖時(shí)更應(yīng)該做到“心中有形”.如橢圓、雙曲線不能只作焦點(diǎn)在x軸上的圖形,而拋物線也不能都作開(kāi)口向右和向上的圖形,這樣很容易造成圖形定式,導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)偏差,因此要克服之,就必須養(yǎng)成良好的作圖習(xí)慣.
例4執(zhí)行如圖5所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
分析 記錄每一次運(yùn)算結(jié)果得:①n=8,i=2;②n=31,i=3;③n=123,i=4.不少學(xué)生運(yùn)算到第三次時(shí),就不再往下運(yùn)算即獲結(jié)論i=5,選A.這是錯(cuò)誤的,正確的答案應(yīng)為B.導(dǎo)致解題偏差的原因是學(xué)生在做算法問(wèn)題時(shí),對(duì)程序結(jié)束判定認(rèn)識(shí)的定式,即當(dāng)n=123不滿足算法結(jié)束,那么下一次運(yùn)算即可滿足,基于這樣一種認(rèn)識(shí)的定式,而造成的解題偏差,實(shí)際上因?yàn)?n=123是3的倍數(shù),再一次運(yùn)行得n=119,算法并未結(jié)束.因此要克服定式造成的解題偏差,就必須規(guī)范解題,不急于下結(jié)論,應(yīng)養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.
圖5
例5兩戶人家A,B在馬路CD的同側(cè),且分別距馬路CD是4千米和5千米,AB相距7千米,現(xiàn)從馬路上接電到A、B,問(wèn)電線至少要多長(zhǎng)?
分析 對(duì)于這樣的問(wèn)題,大部分的學(xué)生會(huì)類(lèi)比下面的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解:A,B兩點(diǎn)在直線CD的同側(cè),且到直線CD的距離分別為4和在 CD上 找 一 點(diǎn) E,使 得的值最小,并求最小值.即作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,連接BA′交直線CD于一點(diǎn),此點(diǎn)即為我們所求作的點(diǎn)E,此時(shí)取得最小值為.本題是由熟悉的幾何原型引發(fā)的定式導(dǎo)致解題的偏差.這是一種模型范式的定式,解題時(shí)如不加以思考,套用之就會(huì)出現(xiàn)解題方向的偏差.這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,拉電線并不一定從CD上的一點(diǎn)直接拉到A,B兩點(diǎn),本題應(yīng)轉(zhuǎn)化成“在銳角三角形ABE內(nèi)求一點(diǎn),使得這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”[1],如圖6所示,這一點(diǎn)為三角形的費(fèi)爾馬點(diǎn),即這一點(diǎn)對(duì)三邊的視角均為120°,找一點(diǎn)O,過(guò)O點(diǎn),OH⊥CD且∠AOB=∠BOH=∠AOH=120°,由此算出距離之和的最小值(結(jié)果為10.5).有興趣的讀者可自行解決.解題時(shí)利用定式進(jìn)行方法類(lèi)比,要注意條件是否發(fā)生變化,模式是否恰當(dāng)、合理,這樣才能克服定式造成的解題方向的偏差,因此養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣是很有必要的.
圖6
例6 f(x)=log2(x2+ax-a)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析 大部分學(xué)生會(huì)把真數(shù)x2+ax-a>0恒成立與真數(shù)取到一切大于零的實(shí)數(shù)作等價(jià)處理,即Δ=a2+4a<0,得-4<a<0.要克服這類(lèi)由于思維方向定式造成的解題失誤,平時(shí)解題訓(xùn)練時(shí)要有意識(shí)地讓學(xué)生在解完題時(shí)進(jìn)行及時(shí)的反思,對(duì)“等價(jià)”轉(zhuǎn)化進(jìn)行必要的質(zhì)疑,如可取a=-2代入進(jìn)行檢驗(yàn),得 f(x)=值域?yàn)閇0,+∞)而非R,因此這個(gè)解法是錯(cuò)誤的.
即(ax-1)(x-b)>0的解集為(- 1,1),
轉(zhuǎn)化得(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1,
即ax2-abx-x+b=0的根為-1和1.
所以a+2b=-1或a+2b=1.
本題利用“不等式的解集可轉(zhuǎn)化為方程的根”這一思維定式解決問(wèn)題,反思這一轉(zhuǎn)化是否有條件限制?如果“(ax-1)(x-b)>0的解集為(- 1,1)”與“(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1”是等價(jià)的,那么“(ax-1)(x-b)<0的解集為(- 1,1)”與“(ax-1)(x-b)=0的根為-1和1”是否也會(huì)等價(jià)?如等價(jià),上述的兩種情形有無(wú)區(qū)別,又如何進(jìn)行區(qū)別?反思之,可得本題“不等式的解集與相應(yīng)方程的根”等價(jià)是有條件的,還有必要完善,即保證a<0,所以結(jié)論為{a=-1,得a+2b=-1.因此要克服定式造b=1,成的解題偏差,還應(yīng)養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣.
[1]鄭馨春.數(shù)學(xué)解題中的策略性錯(cuò)誤分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2008(5):27.