高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略探討

江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué)(214000)

童 嫣●

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高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略探討

江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué)(214000)

童 嫣●

一、巧用換元、間接解決問題

二、數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造問題框架

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，一些較為簡單的函數(shù)恒成立問題，如一元一次、多元一次、一元兩次、多元兩次等問題一般出現(xiàn)在選擇填空中，而在需要運(yùn)用綜合知識(shí)的解答題中往往出現(xiàn)的是二次函數(shù)和指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)等等，這一類的問題要想直接通過計(jì)算解決有一定難度，不僅是計(jì)算麻煩，而且需要列出一些技巧性的不等式，具有一定的挑戰(zhàn)性.因此，應(yīng)該進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，按照不等式的兩邊分別畫出圖象再求解問題.例如，已知有函數(shù)f(x)=logax,g(x)=(x-1)2,且當(dāng)x在區(qū)間(1,2)內(nèi)，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范圍.對(duì)于這樣的題目，學(xué)生們?nèi)绻苯又诌M(jìn)行計(jì)算整道題目都會(huì)變得十分復(fù)雜，但采取數(shù)形結(jié)合的辦法，如圖畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，就可以很快地根據(jù)圖象解決問題.如圖可以看到當(dāng)01.其次，若要在區(qū)間(1,2)范圍內(nèi)滿足不等式f(x)>g(x)恒成立，則必須要讓f(x)圖象位于g(x)圖象上方，則可以確定一個(gè)不等式，即f(2)≥g(2)，可以很輕松需要1≤loga2,則當(dāng)x在(1,2)范圍內(nèi)，若使不等式成立，必須要使1

三、分類討論、深層探討問題

一般來說，二次函數(shù)在不同的主元素取值范圍內(nèi)其增減性是不同的，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中常常以是否存在定點(diǎn)，或說求出最大值、最小值為解決目標(biāo).最值問題一般都在整個(gè)函數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)探討增減性分解的某些點(diǎn)，因此在探討二次函數(shù)恒成立問題中，應(yīng)該將函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象特點(diǎn)和分類討論作為解題的三個(gè)思路，分別切入.結(jié)合圖象在上文已經(jīng)簡略介紹過，但這樣的方法并不能適用于多元二次函數(shù)問題，例如，當(dāng)遇到g(x)=mx2+nx+q>0恒成立，x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，且m不等于0.則首先需要m>0且Δ<0.當(dāng)在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)g(x)<0恒成立，則必須要m和Δ同時(shí)<0.像這樣分情況討論，在具體的一元二次型函數(shù)問題中，根據(jù)已知條件，以未知條件為依據(jù)，討論二次項(xiàng)系數(shù)和Δ的取值條件解決問題可以將復(fù)雜問題簡單化.除此之外，還可以將分類討論和換元法結(jié)合在一起解決數(shù)學(xué)問題，例如，已知函數(shù)f(x)在x<0時(shí)的表達(dá)式為3x-2,當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為2x，求在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能使得f(x)≥1的所有x的值.在剛接觸到題目時(shí)，學(xué)生們通常會(huì)對(duì)出現(xiàn)的復(fù)雜關(guān)系感到一頭霧水，這時(shí)可以運(yùn)用換元法，在x<0使令t=3x-2,因此需要解答的方程變成了t≥1，同理當(dāng)x>0時(shí)，令t=2x.這樣十分便于學(xué)生們進(jìn)行方程的計(jì)算.在計(jì)算這個(gè)方程的過程中引入圖象，在直角坐標(biāo)系中觀察會(huì)更加直觀.

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不僅要學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念和課本上的知識(shí)，還應(yīng)該形成較為成熟的數(shù)學(xué)思想，能夠通過數(shù)形結(jié)合、換元等方法解決多樣性的數(shù)學(xué)問題，多加練習(xí)，在練習(xí)過程中不斷歸納、總結(jié)，以此鍛煉學(xué)生們的恒成立問題的解題能力，擊破恒成立問題這一大障礙.

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