關(guān)于求解數(shù)列通項公式的方法

廣東省肇慶市百花中學(xué)(526000)

何正文●

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關(guān)于求解數(shù)列通項公式的方法

廣東省肇慶市百花中學(xué)(526000)

何正文●

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而求數(shù)列通項公式是高中數(shù)學(xué)中的堡壘，具有一定的技巧性，是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要素之一.它的求解方法是靈活多變的,構(gòu)造的技巧性也很強,但是此類題目也有很強的規(guī)律性,存在著解決問題的通法.

歸納猜想；公式法；策略

一、歸納猜想法：由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式

(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想.(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著從特殊到一般的思想，由不完全歸納提出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負(fù)符號變化，可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.

例1 寫出下面數(shù)列的一個通項公式.

二、公式法：這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目

高中重點學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列，當(dāng)題目中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來求通項，只需求得首項及公差或公比.

1.等差數(shù)列通項公式an=a1+(n-1)d

例2 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10，求數(shù)列{an}的通項公式.

為an=2-n.

2.等比數(shù)列通項公式an=a1·qn-1

3.由an與Sn的關(guān)系求an

解析a1=S1=0.

當(dāng)n≥2時an=Sn-Sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1.

三、由遞推公式求數(shù)列通項公式

對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.

類型1 ：遞推公式為an+1=an+f(n)

其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.

解析 由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1則

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+(n-1)+1

=n2

類型2：遞推公式為an+1=anf(n)

兩邊分別相乘得，得an=f(n-1)f(n-2)…f(2)f(1)a1,

∵an+1=f(n)an

∴an=f(n-1)an-1，an-1=f(n-2)an-2，…，a2=f(1)a1

依次向前代入，得an=f(n-1)f(n-2)…f(1)a1.

類型3： 遞推公式為an+1=can+d,(c≠0).

(1)若c=1時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

(2)若d=0時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

(3)若c≠1d≠0時，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，

其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.

推理如下：(待定系數(shù)法)設(shè)an+1+λ=c(an+λ),得an+1=can+(c-1)λ,與題設(shè)an+1=can+d,比較系數(shù)得

(相減法)：在遞推關(guān)系an+1=can+d中把n換成n-1有an=can-1+d,兩式相減有an+1-an=c(an-an-1)從而化為公比為c的等比數(shù)列{an+1-an},進而求得通項公式.an+1-an=cn(a2-a1),再將an+1=can+d代入，即可解出an.

解法一 ∵an=2an-1+1(n≥2),

∴an+1=2(an-1+1).

∴an+1=2×2n-1，即an=2n-1.

解法二 ∵an=2an-1+1(n≥2),

∴an+1=2an+1.

(倒數(shù)變換法)利用兩邊取倒數(shù)求通項公式.

(對數(shù)變換法 )這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an+1=pan+q，再利用待定系數(shù)法求解.

類型7： 遞推公式為an+2=pan+1+qan(其中p，q均為常數(shù))

解析 3an+2-5an+1+2an=0的特征方程是：3x2-5x+2=0.

類型8：遞推公式為an+1=pan+an+b(p≠1,0,a≠0)

解析 設(shè)bn=an+An+B則an=bn-An-B，將an,an-1代入遞推式，得

∴bn=an+n+1…(1),則bn=3bn-1.

又b1=6，故bn=6×3n-1=2×3n.

代入(1)得an=2×3n-n-1.

評注 (1)若f(n)為n的二次式，則可設(shè)bn=an+An2+Bn+C;

(2)本題也可由an+1=3an+2n+1與原式相減得an+1-an=3(an-an-1)+2.記an+1-an=bn，則有bn=3bn-1+2,轉(zhuǎn)化為類型3.

類型9：雙數(shù)列型

根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解.

所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=…=a2+b2=a1+b1=1,

即an+bn=1. (1)

由(1)、(2)得：

類型10：含根式的遞推關(guān)系式(換元法)

類型11：(數(shù)學(xué)歸納法 )

通過首項和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項，猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

由此可知，當(dāng)n=k+1時等式也成立.

根據(jù)(1)，(2)可知，等式對任何n∈N*都成立.

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1008-0333(2017)13-0023-04