追根溯源話數(shù)列

廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué)(510820)

楊偉達(dá)●

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追根溯源話數(shù)列

廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué)(510820)

楊偉達(dá)●

眾所周知，數(shù)列是每年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查內(nèi)容之一．隨著高考改革深入推進(jìn)，盡管全國(guó)卷的高考數(shù)列題有所降低，但數(shù)列的概念及通性通法依然是歷年考查的重點(diǎn)．本文就高中一些數(shù)列問題分別以“找常數(shù)”、“找鄰居”、“找配對(duì)”、“構(gòu)函數(shù)”進(jìn)行闡述、剖析，供大家參考.

一、找“常數(shù)”

在高中《數(shù)列》這一章學(xué)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特殊“差、比”數(shù)列定義中都離不開“常數(shù)” .

學(xué)生常常作差(或作比)找常數(shù)，活用定義. 而這個(gè)“常數(shù)”在解決數(shù)列問題中往往起到至關(guān)重要的作用.

解析 (1)證明因?yàn)閍n+1=3an+1，

因此，在求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)有時(shí)常數(shù)成了解決問題的關(guān)節(jié)點(diǎn).如何破解常數(shù)，把它轉(zhuǎn)化為特殊的差比數(shù)列，問題也就迎忍而解.

二、找”鄰居”

在兩個(gè)特殊“差、比”數(shù)列定義中,筆者發(fā)現(xiàn)教材都強(qiáng)調(diào)“前后”項(xiàng).這“前后”項(xiàng)往往成為列方程組消元的慣用手法.

分析 在許多高考數(shù)列題中，混合關(guān)系式既含有Sn又含有an，主要處理方法：要么消Sn變?yōu)閍n，要么消an變?yōu)镾n.在消元中常常用到an=Sn-Sn-1(n≥2).換而言之：先找“鄰居” 即找“n+1或n-1”的項(xiàng)再作減.

因?yàn)閍n>0所以an+1-an=2.

解得：a1=-1(舍去)，a1=3.

解析a1+2a2+3a3+…+nan

所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1

①-②得：

所以Tn=a1+a2+a3+…+an

三、找”配對(duì)”

解析 由S9=S4得a5+a6+a7+a8+a9=0，即5a7=0，a7=0，則ak+a4=0=2×0=2a7，從而k=10.

點(diǎn)評(píng) 本題最大的看點(diǎn)在于: “2×0=0”,巧妙地補(bǔ)形后再利用等差數(shù)列的“配對(duì)”性質(zhì),求出其參數(shù)k.

所以①+②得：

2S=2012×3,

所以S=3018.

四、構(gòu)函數(shù)

眾所周知，數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種特殊的函數(shù). 因此，運(yùn)用函數(shù)的一些性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)列問題也是順理成章的事.

所以f(n)為減函數(shù)

所以m的最小值為8.

通過這個(gè)例子可以看出，在考查數(shù)列不等式時(shí)，一些傳統(tǒng)方法解決比較困難時(shí)，不妨把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)，此時(shí)函數(shù)性質(zhì)就有用武之地.

求證：lna1+2lna2+3lna3+...+nlnan>(n-1)2(n∈N,n≥2).

解析 由已知遞推公式有：

因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,

化簡(jiǎn)： (an+1+an)(an+1-an-1)=0.

因?yàn)閍n>0，所以an+1-an=1.

又因?yàn)閍1=1,所以an=n.

所以要證的不等式轉(zhuǎn)化為ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn>(n-1)2(n∈N,n≥2).

顯然，右邊=(n-1)2=1+3+5+…+(2n-3),

所以只要證明ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn>0+1+3+5+…+(2n-3)(n∈N,n≥2).

因此，只要證：klnk>(2k-3),只要證xlnx>(2x-3)(x≥2,x∈R).

構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx-2x+3(x≥2,x∈R),

f′(x)=lnx-1.

當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)=lnx-1>0為增函數(shù)，當(dāng)0

所以f(x)min=f(e)=elne-2e+3=3-e>0,

所以f(x)>0在x>0時(shí)恒成立，即xlnx>2x-3).

所以原不等式成立.

在涉及到超越函數(shù)時(shí)，往往用導(dǎo)數(shù)法求解.同樣，數(shù)列不等式中若含有超越式，構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法求解比較方便快捷.

[1]楊偉達(dá).“0”問題的妙用[J]中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2011(8):41-42.

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