淺談中算的三次高峰及代表成就

郭鵬

上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部

【摘 要】本文主要探討了中國(guó)算學(xué)史上發(fā)展的三次高峰，秦漢時(shí)期，南北朝時(shí)期以及宋元時(shí)期，尤其探討了每個(gè)高峰期對(duì)應(yīng)的代表性的數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)成就，這充分的反應(yīng)了中國(guó)過(guò)去兩千多年數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程。

【關(guān)鍵詞】中算；籌算；高峰；；秦漢；南北朝

現(xiàn)在關(guān)于世界數(shù)學(xué)研究的書(shū)籍有很多[1][2][3]，中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展迄今為止已有幾千年的歷史，從現(xiàn)有的考古發(fā)現(xiàn)中，在殷墟出土的甲骨文中已有數(shù)字的出現(xiàn)，但是真正標(biāo)志著中算體系的形成則是在秦漢時(shí)期，這是中算發(fā)展史上的一大里程碑，在隨后的的南北朝時(shí)期中算得到了進(jìn)一步的發(fā)展，形成了第二個(gè)高峰[3]，宋元時(shí)期則是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的巔峰期，這一時(shí)期涌現(xiàn)出了不少世界性的成果及代表性人物，隨后的明清時(shí)期則是一直呈現(xiàn)出衰落的跡象，本文重點(diǎn)探討中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的三次高峰及對(duì)應(yīng)時(shí)期的代表性人物及成就。

秦漢時(shí)期，中國(guó)的算術(shù)系統(tǒng)，出現(xiàn)了一種簡(jiǎn)單地工具——算籌，這種計(jì)算手段延續(xù)了很長(zhǎng)一段時(shí)間，一直到唐朝，專(zhuān)司計(jì)算的人，名曰“籌人”。中國(guó)人已經(jīng)開(kāi)始在竹簡(jiǎn)上記錄和書(shū)寫(xiě)，很多與數(shù)學(xué)相關(guān)的文獻(xiàn)也都記錄在了竹簡(jiǎn)上，如，已經(jīng)出土的《算術(shù)書(shū)》《九九口訣》等等，都反映了這一時(shí)期的數(shù)學(xué)成就。這一時(shí)期最明顯的特征還有數(shù)學(xué)上十進(jìn)制的計(jì)數(shù)系統(tǒng)與算籌的結(jié)合，為了方便計(jì)算，中國(guó)古人規(guī)定，用縱橫兩種擺放的方法來(lái)計(jì)數(shù)，故籌算又名縱橫術(shù)，縱表示法用于個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)字，橫表示法用于表示十位、千位、數(shù)字，遇到零則空出一位。

《周髀算經(jīng)》是中國(guó)歷史上比較早的數(shù)學(xué)著作，成書(shū)時(shí)間上來(lái)講是中國(guó)“算經(jīng)十書(shū)”最早的一本，這本著作中記錄了勾股定理，及其一般形式，并且還有古人如何用勾股定理來(lái)計(jì)算的應(yīng)用。而稍晚成書(shū)的《九章算術(shù)》則是這一時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)高峰的代表性著作，《九章算術(shù)》全書(shū)分為九章，分別是：方田（分?jǐn)?shù)運(yùn)算和求面積法），粟米（糧食交易），衰分（分配比例），少?gòu)V（開(kāi)平方和開(kāi)立方法），商功（求體積法），均輸（糧食運(yùn)輸均勻負(fù)擔(dān)的計(jì)算方法），盈不足（盈虧類(lèi)問(wèn)題），方程（一次方程組解法），勾股（勾股定理及其應(yīng)用）。這本書(shū)中共計(jì)收錄了246題，每道題目都有問(wèn)有答以及解答的方法。最為關(guān)鍵的其所研究的問(wèn)題都與生產(chǎn)生活密切相關(guān)這也體現(xiàn)出了中國(guó)算學(xué)的特征——重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用性?！毒耪滤阈g(shù)》的誕生標(biāo)志著中國(guó)古代算學(xué)體系的形成，這本書(shū)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)書(shū)籍第一本具有世界性影響的巨著，迄今為止已被翻譯成幾十種文字。這部巨著后來(lái)還流傳到朝鮮、日本等國(guó)，并被作為數(shù)學(xué)的教科書(shū)使用了幾個(gè)世紀(jì)。

中算發(fā)展的第二個(gè)高峰，當(dāng)屬魏晉南北朝時(shí)期。魏晉時(shí)期中國(guó)的數(shù)學(xué)理論得到了極大地發(fā)展，其中，趙爽與劉徽兩位大家的工作，標(biāo)志著那一時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。趙爽本人是中國(guó)比較早的用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明勾股定理的數(shù)學(xué)家，他所用的弦圖方法，現(xiàn)在已廣為流傳，并在《勾股圓方圖注》一文中做了詳盡的注釋。與趙爽同時(shí)代的另一位數(shù)學(xué)大家是劉徽，現(xiàn)在劉徽最廣為人知的地方是他首先提出了求圓周率的正確方法，他系統(tǒng)的闡述了割圓術(shù)的思想，利用圓的內(nèi)接多邊形近似圓的面積，進(jìn)而求出圓周率，劉徽給出了3.1416這個(gè)圓周率的近似值，而這個(gè)值也被稱(chēng)為“徽率”。劉徽的另一個(gè)巨大的貢獻(xiàn)就是給《九章算術(shù)》做了一本注釋?zhuān)礊椤毒耪滤阈g(shù)注》，劉徽不僅將《九章算術(shù)》中的公式和定理進(jìn)行解釋和推導(dǎo)，并且系統(tǒng)的闡述了中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論體系。

南北朝時(shí)期是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要階段，這一時(shí)期比較有代表性的數(shù)學(xué)家當(dāng)屬祖沖之、祖暅父子，祖沖之在研究了前人，尤其是研究了劉徽的著作后，他找到了計(jì)算圓周率的正確道路，并沿著這條路一直走下去，直至求出圓周率小數(shù)點(diǎn)后面的七位有效數(shù)字，這在當(dāng)時(shí)來(lái)說(shuō)是一個(gè)世界級(jí)的數(shù)學(xué)成就，歐洲數(shù)學(xué)家直到十六世紀(jì)才由荷蘭人安托尼茲給出同樣的結(jié)果，祖沖之給出了圓周率的兩個(gè)近似值，疏率：22/7與密率：355/113，而祖沖之因?yàn)樵趫A周率計(jì)算上的突出貢獻(xiàn)，也被世人所推崇，月球上的月形山以及一個(gè)小行星都以祖沖之的名字命名。祖暅在劉徽的工作基礎(chǔ)上正確的推導(dǎo)出了球的體積公式，并且在歷史上首次提出了以他名字命名的“祖暅原理”——“緣冪勢(shì)既同則積不容異”，即相同高度的截面積相同那么這兩個(gè)立體的體積相同。這個(gè)原理直到十七世紀(jì)才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里給出。

在南北朝時(shí)期除了祖沖之與祖暅之外，還有很多數(shù)學(xué)著作也誕生在這一時(shí)期，如《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》，這些數(shù)學(xué)著作中的“物不知數(shù)”問(wèn)題，及“百錢(qián)買(mǎi)百雞”問(wèn)題都是歷史上非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而“物不知數(shù)”問(wèn)題更被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)在一次同余問(wèn)題上的發(fā)端，而對(duì)類(lèi)似問(wèn)題的研究歐洲則要落后好幾個(gè)世紀(jì)?！鞍馘X(qián)買(mǎi)百雞”問(wèn)題則是著名的不定方程問(wèn)題的代表性例題。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)的巔峰期，大家公認(rèn)的是宋元時(shí)期，即公元十一世紀(jì)到公元十四世紀(jì)，這段時(shí)期是中國(guó)以籌算為代表的古代數(shù)學(xué)的巔峰，這一時(shí)期，中國(guó)涌現(xiàn)出了一大批著名的數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)著作，可謂中國(guó)古代數(shù)學(xué)的璀璨時(shí)期。這一時(shí)期中數(shù)學(xué)家有北宋時(shí)期的賈憲，他首先提出了開(kāi)任意高次冪的“增乘開(kāi)方法”，而歐洲直到19世紀(jì)初才有數(shù)學(xué)家給出相同的方法，同時(shí)賈憲還給出了二項(xiàng)式定理的系數(shù)表，這被稱(chēng)為“賈憲三角形”，歐洲在十七世紀(jì)才由數(shù)學(xué)家帕斯卡給出相同的結(jié)果。宋朝時(shí)的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家沈括從從生產(chǎn)生活中觀察到“酒家積罌”數(shù)與“層壇”體積之間的關(guān)系，他提出了“隙積術(shù)”，即今天我們常說(shuō)的等差數(shù)列求和方法，沈括還給出了正確的計(jì)算公式。除此之外，沈括還提出“會(huì)圓術(shù)”，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展上第一次研究了曲線的弧長(zhǎng)計(jì)算。

南宋時(shí)期的秦九韶是這一時(shí)期有代表性的數(shù)學(xué)家，秦九韶的名著《數(shù)學(xué)九章》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的名著，這本書(shū)是秦九韶的唯一數(shù)學(xué)著作，他將所研究的問(wèn)題分為九類(lèi)：大衍類(lèi)（一次同余式組解法）；天時(shí)類(lèi)（歷法計(jì)算、降水量）；田域類(lèi)（土地面積）；測(cè)望類(lèi)（勾股、重差）；賦役類(lèi)（均輸、稅收）；錢(qián)谷類(lèi)（糧谷轉(zhuǎn)運(yùn)、倉(cāng)窖容積）；營(yíng)建類(lèi)（建筑、施工）；軍族類(lèi)（營(yíng)盤(pán)布置、軍需供應(yīng)）；市物類(lèi)（交易、利息）。《數(shù)學(xué)九章》標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰，其先后被收入《永樂(lè)大典》和《四庫(kù)全書(shū)》。秦九韶所創(chuàng)造的正負(fù)開(kāi)方術(shù)和大衍求一術(shù)長(zhǎng)期以來(lái)影響著中國(guó)數(shù)學(xué)的研究方向，秦九韶的成就不僅代表了宋元時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)的高峰，還是中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的最高水平，在世界數(shù)學(xué)史上占有崇高的地位。秦九韶還研究了高次方程的數(shù)值求解方法，他列出了幾十種數(shù)值求解方法，他求解的方程最高次數(shù)達(dá)到了十次。秦九韶還系統(tǒng)的研究了一次同余理論，這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”，他在這方面的成就領(lǐng)先歐洲達(dá)到幾百年，歐洲大數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，但是他在這個(gè)問(wèn)題上的研究還無(wú)法達(dá)到秦九韶的高度。比秦九韶稍晚的另一位大家是元朝的朱世杰，他著有數(shù)學(xué)名著《四元玉鑒》，即研究方程中含有（天元、地元、人元、物元）四個(gè)未知量，并且提出了消元的的求解思想，這種思想歐洲直到十八世紀(jì)才有數(shù)學(xué)家給出，并且朱世杰還對(duì)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題做了研究，并得到了高次內(nèi)插公式。朱世杰的工作具有重要意義.朱世杰數(shù)學(xué)思想的高度俯嫩傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，朱世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學(xué)，使之在理論上達(dá)到新的高度，因此朱世杰被譽(yù)為“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”，而他的著作《四元玉鑒》也被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)最巔峰著作。美國(guó)著名的科學(xué)史家薩頓評(píng)論說(shuō)：“朱世杰是他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家”。

中國(guó)古代的算學(xué)自宋元后便長(zhǎng)期陷入低迷，我們國(guó)家在過(guò)去兩千年中，經(jīng)歷了三次高峰，有著輝煌的歷史，但是明清時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)逐漸裹足不前，而歐洲的數(shù)學(xué)則是從中世紀(jì)開(kāi)始逐步向上發(fā)展，在經(jīng)歷了幾百年后遠(yuǎn)超我國(guó)的數(shù)學(xué)，這里面的問(wèn)題值得我們深思。

參考文獻(xiàn)

[1] 數(shù)學(xué)史，博耶，中央編譯出版社，2012年。

[2] 數(shù)學(xué)之書(shū)，克利福德，重慶大學(xué)出版社，2015年。

[3] 數(shù)學(xué)史概論，李文林，高等教育出版社，2011年

注：

本文要感謝上海市重點(diǎn)通識(shí)課程項(xiàng)目“中外數(shù)學(xué)縱橫談”（A1-0224-17-011-09）的資助和支持。