分類討論思想的應(yīng)用

文/肖麗

智慧數(shù)學(xué)

分類討論思想的應(yīng)用

文/肖麗

在解題過程中，將某一數(shù)學(xué)對象按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，逐類進行討論并解決，把各類的結(jié)論匯總，得出問題的答案.這種解題方法就是分類討論.分類討論用的是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略.

一、對絕對值的分類討論

A．2個. B．3個. C．4個. D．5個.

解：按a、b的符號可分4種情況.

責(zé)任編輯：王二喜

綜合①②③④可知，代數(shù)式的值為3或-1.選A．

溫馨小提示：化簡含有絕對值符號的代數(shù)式，因代數(shù)式的正負(fù)不確定，要分情況討論.

二、研究函數(shù)的性質(zhì)，若圖象的位置不確定，需分類討論

例2（2016年天津卷）已知二次函數(shù)y=（x-h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（ ）

A．1或-5. B．-1或5. C．1或-3. D．1或3.

解：由解析式可知,當(dāng)x=h時，y取得最小值1,當(dāng)1≤x≤3時，y的最小值為5，

所以3＜h或h＜1.

①當(dāng)h＜1時，此時x=1，對應(yīng)的y取得最小值5，即（1-h）2+1=5，

解得h=-1或h=3（舍去）；

②當(dāng)3＜h時，此時x=3，對應(yīng)的y取得最小值5，

即（3-h）2+1=5，解得h=5或h=1（舍去）.

綜上可得，h的值為-1或5.選B.

溫馨小提示：對于二次函數(shù)區(qū)間中的最值問題，要分區(qū)間包含對稱軸、在對稱軸的左側(cè)和右側(cè)進行討論.

三、當(dāng)三角形高的位置不確定時需分類討論

例3（2016年通遼卷）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 ______.

解：分兩種情況討論：

①∠A＜90°，如圖1所示,

圖1

∵BD⊥AC，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵∠ABD=48°，

∴∠A=90°-48°=42°，

∵AB=AC，

②若∠A＞90°，如圖2所示，∠DBA=48°，

圖2

同①可得∠DAB=90°-48°=42°，

∵AB=AC，

綜上所述,等腰三角形底角為69°或21°．

溫馨小提示：對于三角形的主要線段（角平分線、中線、高）來說，高的位置具有多變性，可在三角形內(nèi)、三角形外或三角形的邊上，當(dāng)條件中出現(xiàn)高時，要注意分類討論.

四、圓內(nèi)圖形位置關(guān)系不確定時需分類討論

例4（2016年龍東卷）若點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為（ ）

解：如圖3所示，存在兩種情況：

圖3

①當(dāng)△ABC為△A1BC時，連接OB，OC，

∵點O是等腰△A1BC的外心，且∠BOC=60°，

BC=2，OB=OC，

∴△OBC為等邊三角形，

OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于點D，

②當(dāng)△ABC為△A2BC時，

A2D=A2O+OD=

溫馨小提示：與圓相關(guān)的分類討論有點與圓的位置關(guān)系（點在圓外、圓內(nèi)，還是圓上），平行弦間的距離（平行弦在圓心的同側(cè)還是異側(cè)），弦所對的圓周角（要分劣弧和優(yōu)弧所對的圓心角），弦所在弓形的高（如本題）等.

五、遇到等腰三角形、平行四邊形、相似三角形的存在性問題時需分類討論

例5（2016年臨沂卷）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，BC.

自2013年中國宣布“一帶一路”倡議以來，盡管美國不是“一帶一路”沿線國家，但美國政府、戰(zhàn)略界及媒體對“一帶一路”倡議的興趣和關(guān)注與日俱增。鑒于美國的全球政治、經(jīng)濟、軍事及輿論影響力，美國的態(tài)度、立場及政策，無疑會對“一帶一路”倡議的順利實施產(chǎn)生重要影響。因而，詳細考察美國政府、戰(zhàn)略界乃至美國主流媒體對“一帶一路”倡議的認(rèn)知、態(tài)度乃至政策舉措，無疑具有重要價值。

（1）求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

（2）動點P從點O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，PA=QA？

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

圖4

解：（1）略；（2）略；

（3）存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形．

①當(dāng)BM=BA時，

②當(dāng)AM=AB時，

∴m=5，

溫馨小提示：分類討論思想在中考壓軸題中每年都會涉及到，限于篇幅，本文僅舉一例.一般地，對于等腰三角形的存在性問題，若三角形的三條邊長分別為a，b，c，要分a=b，a=c，b=c三種情況討論；相似三角形的分類討論：若△ABC與△DEF相似，它與△ABC∽△DEF是不同的，要分對應(yīng)關(guān)系討論；平行四邊形的分類討論：以A，B，C，D為頂點的平行四邊形與平行四邊形ABCD是不同的，要分AB是平行四邊形的邊還是對角線等情況討論.