圓錐曲線高考命題的熱點(diǎn)變遷

贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院(341000) 曾建國

圓錐曲線高考命題的熱點(diǎn)變遷

贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院(341000) 曾建國

隨著新課程的推進(jìn)、高考改革的不斷深化,數(shù)學(xué)高考題命題的熱點(diǎn)也隨之變化.考察課改前后高考解析幾何大題命題的情況后發(fā)現(xiàn),高考圓錐曲線大題命題熱點(diǎn)的變遷過程呈現(xiàn)以下特點(diǎn):雙曲線大題淡出“江湖”;定點(diǎn)定值問題逐漸升溫;軌跡問題考查熱度不減;極線背景已成為命題新寵.

圓錐曲線;高考命題;熱點(diǎn)

隨著新課程的推進(jìn)、高考改革的不斷深化,數(shù)學(xué)高考命題也經(jīng)歷了全國大綱卷、分省自主命題、新課程卷等改革歷程,數(shù)學(xué)高考題命題的熱點(diǎn)也隨之變化.作為高考解析幾何大題命題的主要內(nèi)容形式—圓錐曲線大題,其命題的熱點(diǎn)及變化規(guī)律一直以來都備受人們關(guān)注.本文主要考察高考數(shù)學(xué)圓錐曲線大題命題熱點(diǎn)的變遷過程,對(duì)近年來圓錐曲線大題命題的特點(diǎn)、熱點(diǎn)作一個(gè)回顧和總結(jié),供讀者參考.考慮到節(jié)省篇幅及試題的代表性,除特殊注明外,本文討論的高考題均為理科試題.

1.雙曲線大題—淡出“江湖”

考察三種圓錐曲線—橢圓、拋物線、雙曲線在高考解析幾何大題中出現(xiàn)的情況,我們發(fā)現(xiàn),課改(2004年)前后有明顯的差異和變化(以全國卷為例):

課改前的解析幾何大題,呈現(xiàn)橢圓、拋物線、雙曲線輪番上陣的規(guī)律.如表1、圖1可以看出,課改前這三種圓錐曲線在解析幾何大題中出現(xiàn)的次數(shù)大致相近.(?1999年試題為含參數(shù)的二次方程討論參數(shù)的取值使二次方程為橢圓、拋物線和雙曲線.)

圖1 課改前內(nèi)容分布

表1 課改前解析幾何大題內(nèi)容分布情況

表2 2004—2016全國卷I解析幾何大題內(nèi)容分布

圖2 全國卷I內(nèi)容分布

圖3 全國卷II內(nèi)容分布

而在新課程高考數(shù)學(xué)試卷解析幾何大題中,拋物線、橢圓、雙曲線三分天下的狀態(tài)就不再出現(xiàn),雙曲線逐漸淡出解析幾何大題的“江湖”.其根本原因是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)及新課程高考考試說明發(fā)生了變化.課改前的“大綱”中,雙曲線與橢圓、拋物線在考查要求中處于平等地位,而在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)及新課程數(shù)學(xué)高考考試說明中,雙曲線的考查要求降低為“了解其定義、圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程;知道它的簡單幾何性質(zhì)”[1].從表2、圖2可以看出,在2004年新課程實(shí)施后的高考數(shù)學(xué)全國I卷中,橢圓和拋物線試題已成為解析幾何大題的主角,而雙曲線逐漸淡出解析幾何大題的“江湖”.而在全國II卷(新課標(biāo)卷)中,解析幾何大題已不見雙曲線的蹤影,與此同時(shí),涉及圓的解答題較課改前則有所增加(見表3、圖3).

表3 2004—2016全國卷II解析幾何大題內(nèi)容分布

2.定點(diǎn)定值—逐漸升溫

涉及定點(diǎn)定值問題的試題,其結(jié)論揭示了運(yùn)動(dòng)變化中的不變性,展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美.這類試題由于其綜合性較強(qiáng),求解過程往往需要應(yīng)用到多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)基本思想和方法,因此考查定點(diǎn)定值的試題難度較大,一般具有較好的區(qū)分度.新課程高考解析幾何大題中,定點(diǎn)定值問題頗受命題者青睞,呈現(xiàn)出逐漸升溫的趨勢(shì).

在課改前的1990-2004年全國卷中,僅出現(xiàn)過1次定點(diǎn)問題,且試題比較簡單:

例1(2001年全國卷理19題)設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC//x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

新課程高考解析幾何大題中,定點(diǎn)定值問題逐漸多起來.以全國卷為例,在2004-2016年全國卷I中出現(xiàn)了4次;全國卷II中出現(xiàn)了2次,所考查的內(nèi)容如表4、表5所示:

表4 全國卷I解析幾何大題考查的定點(diǎn)定值問題內(nèi)容

表5 全國卷II解析幾何大題考查的定點(diǎn)定值問題內(nèi)容

隨著自主命題的省市區(qū)增多,定點(diǎn)定值問題在解析幾何大題中出現(xiàn)的頻率也越來越高,甚至可以說“層出不窮”.由于近年來全國高考數(shù)學(xué)試卷數(shù)量龐大,我們僅考察近6年高考數(shù)學(xué)試卷(2011-2014年,全國高考數(shù)學(xué)理科試卷每年大約有19-20套;2015年16套;2016年9套)中解析幾何大題涉及定點(diǎn)定值問題的情況.

表6 近6年高考解析幾何大題考查的定點(diǎn)定值問題內(nèi)容

圖4 近6年解析幾何大題考查定點(diǎn)定值問題的省市區(qū)個(gè)數(shù)

從表6和圖4(圖4統(tǒng)計(jì)時(shí)已將使用全國卷的省市區(qū)個(gè)數(shù)累加起來)可以看出,解析幾何大題對(duì)定點(diǎn)定值問題考查有兩大特點(diǎn):

一是逐漸升溫.在近6年高考數(shù)學(xué)試卷中,解析幾何大題中出現(xiàn)定點(diǎn)定值問題的試卷大約占所有試卷的30%,最多的一年是2012年,共有8份試卷出現(xiàn)定點(diǎn)定值問題,占比達(dá)40%.值得注意的是,采用全國卷的省市區(qū)分別增加到18個(gè)和26個(gè)的2015年和2016年,全國卷均出現(xiàn)了定點(diǎn)定值問題,2015年、2016年高考解析幾何大題考查定點(diǎn)定值問題的省市區(qū)分別達(dá)到21個(gè)和11個(gè)(圖4),足見命題者對(duì)定點(diǎn)定值問題的青睞,應(yīng)引起使用全國卷的省市區(qū)高度重視.

二是考查的題型、形式和內(nèi)容豐富多樣、推陳出新.從題型看,有證明題也有求解題,有開放型問題也有封閉型問題.從考查的形式和內(nèi)容看,定值問題的形式豐富多樣自不必說,定點(diǎn)問題除了諸如:動(dòng)直線(曲線)過定點(diǎn)、動(dòng)直線(曲線)交于定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)在定直線上等常見的考查形式外,近幾年的考查形式不斷創(chuàng)新,如:2015年全國卷I、北京卷探求“是否存在定點(diǎn)使兩個(gè)相關(guān)的動(dòng)角總相等”(見例2)、2015年湖南卷“證明動(dòng)三角形恒為鈍角三角形”,2014年福建卷探求“是否存在一雙曲線與動(dòng)直線總相切”等.由于這些試題仍屬于探求幾何元素在運(yùn)動(dòng)變化中的不變性質(zhì),因此將它們歸為“定點(diǎn)問題”是恰當(dāng)?shù)?

例2. (2015全國卷I理20)在直角坐標(biāo)系中,曲線與直線y=kx+a(a＞0)交與M,N兩點(diǎn). (I)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程; (II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

3.軌跡問題—熱度不減

軌跡問題就是探求曲線的軌跡方程,即求曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的代數(shù)條件.課改前,軌跡問題就在高考數(shù)學(xué)試卷中頻繁出現(xiàn),全國卷在2000年之前壓軸題都是解析幾何大題,其中1985、1986、1991、1993、1994、1995、1999年壓軸題均為軌跡問題,可見那時(shí)軌跡問題已相當(dāng)“熱”.2001-2004年4年中全國卷仍有2年(2002年、2003年)的解析幾何大題涉及求軌跡方程.新課程實(shí)施后,軌跡問題這一熱點(diǎn)的熱度并未減退.表7統(tǒng)計(jì)了2005-2016年解析幾何大題考查了軌跡問題的高考數(shù)學(xué)試卷.

我們將表7中使用全國卷I的省市區(qū)個(gè)數(shù)累加起來進(jìn)行統(tǒng)計(jì),新課程高考解析幾何大題考查軌跡問題的省市區(qū)個(gè)數(shù)如圖5所示.

表7和圖5表明,近年來,軌跡問題作為高考解析幾何考查的一個(gè)熱點(diǎn),其熱度不減當(dāng)年.眾所周知,探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的難點(diǎn)之一,而全國卷I被公認(rèn)為是新課標(biāo)全國卷中難度最大的一套試卷,在2005-2016年中,全國卷I就有4次(2006、2011、2013、2016)解析幾何大題考查了軌跡問題,這值得使用全國卷I的省市區(qū)老師們特別關(guān)注.

圖5 解析幾何大題考查軌跡問題的省市區(qū)個(gè)數(shù)

4.極線背景—命題新寵

早在公元前4世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家就開始研究圓錐曲線,可想而知,經(jīng)過兩千多年,圓錐曲線的性質(zhì)已被研究得如何完善了.近幾十年來的高考又被人們不斷研究、挖掘,命制的圓錐曲線高考題及模擬題可以說已經(jīng)形成了題海.現(xiàn)在想要命制有新意的高考圓錐曲線大題其實(shí)很不輕松.于是人們另辟蹊徑,尋找圓錐曲線命題的新素材.

近年來,人們開始挖掘高等幾何的二次曲線理論中的一些素材來命制高考圓錐曲線大題.高考試卷中具有極線背景的圓錐曲線試題越來越多,可以說極線已成為高考解析幾何大題的命題“新寵”.此類試題一般依據(jù)二次曲線極線的定義、極線的性質(zhì)以及極線的作圖來構(gòu)造問題,下面舉例說明這一新的命題熱點(diǎn).

4.1 依據(jù)極線定義命題定義1[2]設(shè)兩點(diǎn)P、Q的連線與圓錐曲線Γ相交于M1、M2,如果M1、M2被P、Q調(diào)和分割(即這里的線段均為有向線段),則稱P、Q關(guān)于圓錐曲線Γ成調(diào)和共軛.

定理1[2]一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線p,稱p為點(diǎn)P(關(guān)于Γ)的極線,點(diǎn)P稱為直線p(關(guān)于Γ)的極點(diǎn)(簡稱為極).

特別地,圓錐曲線焦點(diǎn)的極線就是與之對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線.當(dāng)P在Γ外時(shí),其極線p是曲線Γ從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn)弦所在直線).

(I)求橢圓C的方程;

評(píng)注此題(II)中的換成有向線段就如定義1所述的:Q是P關(guān)于橢圓的調(diào)和共軛點(diǎn),根據(jù)定理1知:點(diǎn)Q的軌跡是點(diǎn)P關(guān)于橢圓的極線.根據(jù)極線的定義命題還可以有多種變化,如定義1中,當(dāng)PQ經(jīng)過有心圓錐曲線Γ的中心O時(shí)(PQ與Γ交于點(diǎn)R),有[4]:P、Q關(guān)于曲線Γ成調(diào)和共軛??OP·OQ=OR2.全國卷1995年的圓錐曲線大題就是依據(jù)這一特殊情形命題的.

4.2 依據(jù)極線性質(zhì)命題極與極線具有奇特的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如下所述:

定理2[2,3,4](配極原則)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的極線p經(jīng)過點(diǎn)Q??點(diǎn)Q關(guān)于Γ的極線q經(jīng)過點(diǎn)P;直線p關(guān)于Γ的極點(diǎn)P在直線q上??直線q關(guān)于Γ的極點(diǎn)Q在直線p上.

由此可知,共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn);共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.

據(jù)此性質(zhì),可以構(gòu)造有關(guān)圓錐曲線的各種共線點(diǎn)、共點(diǎn)線及軌跡等問題.

例4(2008年山東理22)如圖6,設(shè)拋物線方程為x2=2px(p＞0),M為直線y=?2p上任意一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.

(I)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

圖6

(II)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,?2p)時(shí),求此時(shí)拋物線的方程;

(III)略.

例4中,M在定直線l:y=?2p上移動(dòng),根據(jù)定理2知,其極線AB必過定點(diǎn)(直線l的極,如圖6).這一特殊關(guān)系解題者不一定清楚但命題者應(yīng)該是清楚的.

像這種具有極線性質(zhì)背景的圓錐曲線高考題還有許多,如:2005年江西卷理22題、2006年全國卷(II)理21題、2010年江蘇卷理18題等.

4.3 依據(jù)極線作圖命題

下面的定義給出了極線的尺規(guī)作圖方法:

定義2[2,4]如圖7,P是不在圓錐曲線上的點(diǎn),過P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若P為圓錐曲線上的點(diǎn),則過P點(diǎn)的切線即為極線.

圖7

圖8

定義3[4](極線方程公式)已知圓錐曲線Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則點(diǎn)P(x0,y0)與直線p:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是Γ的一對(duì)極與極線.由上述公式易知,圓錐曲線對(duì)稱軸上的點(diǎn)的極線垂直于該對(duì)稱軸(參見圖8).

高考命題時(shí)常選取焦點(diǎn)與準(zhǔn)線這一極與極線的特例、并且選擇特殊情形的構(gòu)圖來構(gòu)造試題,因?yàn)檫@樣設(shè)計(jì)可簡化運(yùn)算、使解題難度適中.

圖8中的兩割線關(guān)于圓錐曲線的一條軸對(duì)稱,點(diǎn)F與直線l是一對(duì)極與極線.這種特殊的構(gòu)圖在圓錐曲線高考大題中出現(xiàn)過多次,如:2004年天津卷理科22題(例5)、2008福建卷文22題、2010全國卷I理21題、2015年全國卷I理20題、2015年四川卷理20題.

例5(2004年天津卷理科22題)如圖8,橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長為相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(c＞0)的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程及離心率;

下面的試題選取了另一種特殊情形的構(gòu)圖—取圖7中的一條割線恰為圓錐曲線的一對(duì)稱軸.除了下面的例6、例7外,2013年江西卷文20題也采用了此圖.

例6(2011年四川卷理科21題)如圖9,橢圓有兩頂點(diǎn)A(?1,0)、B(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

(II)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí),求證:為定值.

圖9

圖10

例7(2012北京卷理科19題)已知曲線C:(5?m)x2+ (m?2)y2=8(m∈R).

(I)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓,求m的取值范圍;

(II)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(圖10),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線.

從圓錐曲線極線的定義及作圖的角度看,上面幾道試題中的某些結(jié)論(如例5與例7欲證的三點(diǎn)共線)是顯而易見甚至是不證自明的,而應(yīng)用高考范圍內(nèi)的方法解決此問題時(shí),就具有一定的難度,其運(yùn)算量也恰到好處.在高觀點(diǎn)指導(dǎo)下圓錐曲線試題的構(gòu)造相對(duì)輕松些,其初等解法又符合高考考查范圍且難度適中,也許這就是具有極線背景的圓錐曲線大題在高考命題中逐漸熱起來的緣故.

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[s].北京:人民教育出版社,2003

[2]朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1998

[3]邵瓊.極點(diǎn)與極線背景下高考圓錐曲線試題研究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2016(4)

[4]王文彬.極點(diǎn)、極線與圓錐曲線試題的命制[J].數(shù)學(xué)通訊,2015(4)