博弈論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

陳筱

摘 要：介紹了數(shù)學(xué)建模與博弈論的基本定義，并給出一個(gè)數(shù)學(xué)建模中的實(shí)例，介紹了博弈論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，并給出了不完全信息靜態(tài)博弈的理論。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；博弈論；靜態(tài)

一、數(shù)學(xué)建模與博弈論

（一）數(shù)學(xué)建模

按通俗意義講是通過生活中的實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型去解決各種問題，但數(shù)學(xué)建模并不是生活中所有解決問題方法的代名詞，它是運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)理論以及工具找尋問題原型中的內(nèi)在規(guī)律，建立一個(gè)數(shù)學(xué)方程或模型去解決求解并得到最優(yōu)結(jié)果。數(shù)學(xué)建模理論中需要用到的基礎(chǔ)學(xué)科例如圖論、線性代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等等，這都是常見的數(shù)學(xué)學(xué)科。但在實(shí)際應(yīng)用或比賽中，很多問題的綜合性與抽象性使得數(shù)學(xué)這門理論學(xué)科在應(yīng)用方面顯得格外艱難，很多案例都不能具體直觀的建立模型，特別是對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，他們只學(xué)過高等數(shù)學(xué)、概率論等基礎(chǔ)理論，另外的運(yùn)籌學(xué)與優(yōu)化問題、泛函分析等專業(yè)數(shù)學(xué)知識(shí)并未涉及。另一方面，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對其他應(yīng)用專業(yè)的認(rèn)知和涉及也是非常淺的，即便數(shù)學(xué)專業(yè)理論知識(shí)很扎實(shí)，也不能很好的與其他學(xué)科結(jié)合應(yīng)用，這樣就造成了數(shù)學(xué)建模的短板，所以數(shù)學(xué)建模需要綜合許多應(yīng)用學(xué)科和專業(yè)型人才結(jié)合應(yīng)用。近年來，越來越多的前沿科學(xué)與數(shù)學(xué)建模交叉應(yīng)用，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、小波分析、圖像處理、博弈理論等等，這樣數(shù)學(xué)建模才可以廣泛被應(yīng)用于各類生活問題中。

（二）博弈論

博弈論是由游戲規(guī)則理論演變而來的，在我們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見的棋牌、彩票等各種不同類型的游戲中，當(dāng)然我們也可以將博弈論看作是一個(gè)游戲的原型理論，但不管是哪種形式的游戲都有一個(gè)相似之處，也就是游戲中參與者選擇的策略方式，我們都知道在任何游戲中，計(jì)謀是最重要的，語氣說游戲是看概率的大小或運(yùn)氣的好壞，還不如說是選擇計(jì)謀的好壞。在許多軍事策略和市場經(jīng)濟(jì)中，所謂的競選和談判都和游戲相似，都是需要依賴提前選好優(yōu)化的策略和方式才可能有較好的結(jié)果。博弈論分為合作博弈與非合作博弈，在現(xiàn)代更多地方提到的是非合作博弈，并且合作博弈與非合作博弈是互斥的，二者只能存在其一，至于合作博弈與非合作博弈在本文中就不再詳細(xì)作介紹。在非合作博弈中又分為：完全信息靜態(tài)博弈、完全信息動(dòng)態(tài)博弈、不完全信息靜態(tài)博弈、不完全信息動(dòng)態(tài)博弈。在任何一個(gè)博弈活動(dòng)中，除了具備滿足博弈過程的四個(gè)條件以外，還要具備能有利用數(shù)學(xué)建模等專業(yè)知識(shí)對其進(jìn)行分析的先前條件。

二、博弈論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

在許多的數(shù)學(xué)建模問題中，雖然有不少設(shè)計(jì)博弈論的實(shí)際問題，但大部分都展示的不夠直觀，解題者不能從問題中清晰的了解其問題指向性，這就更加需要學(xué)生多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模與博弈論的相關(guān)理論。舉一個(gè)數(shù)學(xué)建模中的經(jīng)典實(shí)例：

問題提出：某人帶狗、羊以及蔬菜渡河，一小船除需人劃外，每次只能載一物過河.而人不在場時(shí)，狗要吃羊，羊要吃菜，問此人應(yīng)如何過河？此問題可化為狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題，用四維向量來表示狀態(tài)，當(dāng)一物在此岸時(shí)相應(yīng)分量取為1，而在彼岸時(shí)則取為0，第一分量代表人，第二分量代表狗，第三分量代表羊，第四分量代表菜。根據(jù)題意，井不是所有狀態(tài)都是可取的.通過窮舉法列出來，可取狀態(tài)是：

總共有十個(gè)可取狀態(tài).

模型求解：引入一個(gè)四維轉(zhuǎn)移向量，用它來反映擺渡情況.用1表示過河，0表示未過河. 此狀態(tài)只有四個(gè)允許轉(zhuǎn)移向量：（1，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）規(guī)定狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之間的運(yùn)算為0+0=1，1+0=1，0+1=1，1+1=0問題化為，由初始狀態(tài)（1，1，1，1）出發(fā)，經(jīng)過奇數(shù)次上述運(yùn)算轉(zhuǎn)移為狀態(tài)（0，0，0，0）的轉(zhuǎn)移過程。

則可得兩種等優(yōu)方案

這是一個(gè)重復(fù)的博弈問題，通過重復(fù)的博弈來說明在數(shù)學(xué)建模的過程中可供選擇的方案是多樣的，重點(diǎn)就在于選擇最優(yōu)的策略方案解決具體問題，運(yùn)用博弈理論的建模案例有很多，本文就不一一詳盡。總之，數(shù)學(xué)建模需要用到的專業(yè)知識(shí)太多，我們應(yīng)該不斷學(xué)習(xí)與進(jìn)步。

參考文獻(xiàn)：

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[2]張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].上海：上海人民出版社，1996