雙分數(shù)跳-擴散過程下后定選擇權(quán)定價

薛紅,王銀利

(西安工程大學 理學院，西安 710048)

雙分數(shù)跳-擴散過程下后定選擇權(quán)定價

薛紅,王銀利

(西安工程大學 理學院，西安 710048)

假定股票價格服從雙分數(shù)布朗運動和泊松過程共同驅(qū)動的隨機微分方程,股票預(yù)期收益率,無風險利率和股價波動率均為常數(shù),建立雙分數(shù)跳-擴散環(huán)境下金融數(shù)學模型,利用保險精算方法,結(jié)合雙分數(shù)跳-擴散隨機分析理論研究后定選擇權(quán)定價問題,得出了雙分數(shù)跳-擴散環(huán)境下后定選擇權(quán)定價公式。

后定選擇權(quán);雙分數(shù)布朗運動;跳-擴散過程;保險精算方法

隨著期權(quán)市場的發(fā)展,期權(quán)定價成為金融工程學研究的核心問題。后定選擇權(quán)是一種允許持有人在特定時間點選擇看漲或者看跌的新型期權(quán)。由于股票價格會因為一些突發(fā)狀況而出現(xiàn)跳躍,近年來不少學者考慮用Poisson過程和布朗運動或分數(shù)布朗運動共同驅(qū)動的隨機微分方程來描述股票價格變化,文獻[1]假定股票價格服從分數(shù)布朗運動和非時齊Poisson過程共同驅(qū)動的隨機微分方程,且無風險利率和波動率為時間的非隨機函數(shù)的條件下,得出了歐式期權(quán)的定價公式。文獻[2]在布朗運動環(huán)境下假定股票價格滿足跳擴散過程驅(qū)動的隨機微分方程,利用測度變換方法給出了歐式任選期權(quán)的定價公式。由于布朗運動的增量具有平穩(wěn)性和獨立性,使得它只能描述未來股價與過去無關(guān)的股票價格變化過程,這使得對期權(quán)價格的研究具有很大的局限性。文獻[3]假定股票價格服從分數(shù)跳-擴散過程驅(qū)動的隨機微分方程,利用分數(shù)跳-擴散理論及保險精算方法,得出了分數(shù)跳-擴散過程下后定選擇權(quán)的定價公式。雙分數(shù)布朗運動是一種比分數(shù)布朗運動更一般的高斯過程,其既不具有平穩(wěn)增量,也不具有獨立增量,使得它可用來描述股票價格變化。文獻[4-5]闡述了雙分數(shù)布朗運動的概念和性質(zhì)。文獻[6]假定股票價格服從雙分數(shù)布朗運動和跳過程驅(qū)動的隨機微分方程,運用保險精算方法得出了雙分數(shù)跳-擴散過程下歐式期權(quán)定價公式。文獻[7]首次提出保險精算方法,與鞅方法或測度變換方法相比,保險精算方法將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)化為等價的公平保費問題,不存在任何經(jīng)濟假設(shè),在計算數(shù)學期望時使用的是股票價格過程的實際概率測度,這樣使得它不僅對均衡,無套利,完備的市場有效,并且對非均衡,有套利,不完備的市場也有效。關(guān)于保險精算方法在期權(quán)定價中的應(yīng)用見文獻[8-10]。本文假定股票價格服從雙分數(shù)布朗運動和Poisson過程共同驅(qū)動的隨機微分方程,運用雙分數(shù)跳-擴散隨機分析理論,利用保險精算方法得出了后定選擇權(quán)的定價公式。

1 金融數(shù)學模型

假定股票價格St滿足隨機微分方程

(1)

引理1.1 隨機微分方程(1)的解為

(2)

假定只在t1∈[0,t]時刻發(fā)生了一次跳躍,則在[0,t1)時間段內(nèi)有

同理在(t1,t]時間段內(nèi)有

由(1)式有

從而有

所以,當跳躍次數(shù)服從Poisson過程時可得結(jié)果。

定義1.2[7]股票價格過程{St,t≥0}在[t,T]上的期望回報率βu,u∈[t,T]定義為

證明 由(2)式有

又因為{Ui,i≥1}為獨立同分布列,有

所以有E[ST]=Stexp{μ(T-t)}, 從而可得結(jié)果。

2 后定選擇權(quán)權(quán)定價

定義2.1[7]歐式看漲期權(quán)在t時刻的保險精算價格定義為

(3)

其中r表示無風險利率,

歐式看跌期權(quán)在t時刻的保險精算價格定義為

定理2.2 歐式看漲期權(quán)在t時刻的保險精算價格

歐式看跌期權(quán)在t時刻的保險精算價格

其中N(x)為標準正態(tài)分布函數(shù),且

證明 先來證明歐式看漲期權(quán)的定價公式。 由定義2.1有

令

則A={ξ>-d}.由(3)式及保險精算定義可知

其中

且X～N(0,1),同時

同理可得歐式看跌期權(quán)的定價公式。

推論2.3 當K=1時,可得文獻[1]的結(jié)果。

推論2.4 歐式看漲、看跌期權(quán)的平價關(guān)系式為

其中C(St*,t*)和P(St*,t*)分別表示歐式看漲、看跌期權(quán)在t*時刻的保險精算價格。

由歐式看漲、看跌期權(quán)平價關(guān)系可知,后定選擇權(quán)在t*時刻的現(xiàn)金流為

(4)

定理2.6 在t*時刻選擇看漲或看跌期權(quán)的后定選擇權(quán)在選擇時點前任意時刻t(0

其中N(x)為標準正態(tài)分布函數(shù),且

證明 令

其中

且Y～N(0,1),同時

從而定理得證。

推論2.7 當K=1時,可得到分數(shù)跳-擴散過程下的后定選擇權(quán)定價(見文獻[3])。

推論2.8 當λ=0時,可得雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下后定選擇權(quán)定價公式。

[1] 隋梅真,張元慶.分數(shù)布朗運動和泊松過程共同驅(qū)動下的歐式期權(quán)定價[J].山東建筑大學學報,2008,23(1):70-73.

[2] 黃國安,鄧國和,霍海峰.跳-擴散過程下歐式任選期權(quán)的定價[J].山西大學學報(自然科學版),2008,31(3):438-442.

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Pricing Chooser Option Under Bi-fractional Jump-diffusion Process

XUE Hong,WANG Yinli

(SchoolofScience,Xi’anPolytechnicUniversity,Xi’an710048，China)

Assume that the stock price satisfy the stochastic differential equation driven by Bi-fractional Brownian and jump process, the expected return rate, interest rate and volatility rate are constant, the financial mathematics model is built, and the pricing problem of the chooser option is discussed by the theory of bi-fractional Brownian and jump process. The pricing formula of the chooser option is obtained by the actuarial approach.

chooser option;bi-fractional Brownian motion;jump-diffusion process;actuarial approach

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.01.009

2016-03-30；

2016-10-20

陜西省自然科學基金(2016JM1031)；陜西省教育廳專項科研基金(14JK1299)

薛紅(1964-),男,山西萬榮人,博士,教授,從事隨機分析與金融數(shù)學研究,E-mail:xuehonghong@sohu.com

F830;O211

A

0253-2395(2017)01-0051-06