擴(kuò)散過(guò)程占位時(shí)的雙Laplace變換

陳晨,陳曄,周林

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙,410114;2.湖南文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 常德,415000)

擴(kuò)散過(guò)程占位時(shí)的雙Laplace變換

陳晨1,陳曄2,周林1

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙,410114;2.湖南文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 常德,415000)

用文獻(xiàn)提出的方法,探討了一維時(shí)齊擴(kuò)散過(guò)程,當(dāng)c＜a＜b時(shí),在離開(kāi)區(qū)間(c,b)之前,分別在區(qū)間(c,a)或(a,b)的占位時(shí)與停時(shí)τc和τb的雙Laplace變換。Laplace變換的表達(dá)式用擴(kuò)散過(guò)程對(duì)應(yīng)的微分方程的解表示。

時(shí)齊擴(kuò)散過(guò)程;占位時(shí);Laplace變換

占位時(shí)是隨機(jī)過(guò)程在某個(gè)區(qū)域內(nèi)逗留的時(shí)間總和,它是隨機(jī)過(guò)程理論研究的熱門(mén)問(wèn)題之一,被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)理論和金融模型。近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隨機(jī)過(guò)程占位時(shí)的研究取得了一些成果[1-10]。計(jì)算占位時(shí)的Laplace變換表達(dá)式主要有3種方法,經(jīng)典的方法是在文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]中使用的求解過(guò)程對(duì)應(yīng)的隨機(jī)微分方程的方法。Cai等[4]用這種方法得到了帶雙邊指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程占位時(shí)的Laplace變換。Landriault等[5]首次提出了逼近占位時(shí)的方法,結(jié)合游程理論,得到了譜負(fù)Lévy過(guò)程的占位時(shí)的Laplace變換。Li和Zhou[6]運(yùn)用文獻(xiàn)[5]的方法,研究了一維時(shí)齊擴(kuò)散過(guò)程的聯(lián)合占位時(shí)的Laplace變換。Li等[7]用同樣的方法,求出了時(shí)齊擴(kuò)散過(guò)程的占位時(shí)的雙Laplace變換。為了克服隨機(jī)過(guò)程的路徑無(wú)變差性,Li和 Zhou[8]首次提出了利用泊松過(guò)程的性質(zhì),將占位時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某個(gè)隨機(jī)事件的概率,并得到了譜負(fù)Lévy過(guò)程的聯(lián)合占位時(shí)的Laplace 變換。Li等[9]用這種方法得到了譜負(fù)Lévy過(guò)程的雙邊折扣位勢(shì)測(cè)度的表達(dá)式。Chen等[10]用同樣的方法,求出了時(shí)齊擴(kuò)散過(guò)程的聯(lián)合占位時(shí)的Laplace變換。本文用文獻(xiàn)[8]的方法,考慮一維時(shí)齊擴(kuò)散過(guò)程。當(dāng)c＜a＜b時(shí),在離開(kāi)區(qū)間(c,b)前,分別呆在區(qū)間(c,a)和(a,b)上的占位時(shí)與停時(shí)τc和τb的雙Laplace變換,其結(jié)論用擴(kuò)散過(guò)程對(duì)應(yīng)的微分方程的解表示。

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

采用泊松方法研究一維時(shí)齊擴(kuò)散過(guò)程X,當(dāng)c＜a＜b時(shí),在離開(kāi)區(qū)間(c,b)之前,分別在區(qū)間(c,a)或(a,b)的占位時(shí)與停時(shí)τc和τb的雙Laplace變換。在下文中始終定義λ?,λ+為2個(gè)非負(fù)整數(shù)。在本節(jié)的證明中,將用到擴(kuò)散過(guò)程的位勢(shì)測(cè)度理論,把它作為引理給出。由文獻(xiàn)[10]中引理2.1,有以下結(jié)論。

[1]Borodin A N,Salminen P.Handbook of Brownian Motion-Facts and Formulae [M].2nd edition.Basel:Birkh?user Verlag,2002.

[2]Pitman J,Yor M.Laplace transforms related to excursions of a one-dimensional diffusion [J].Bernoulli,1999,5(3):249-255.

[3]Pitman J,Yor M.Hitting,occupation and inverse local times of one-dimensional diffusions:martingale and excursion approaches [J].Bernoulli,2003,9(1):1-24.

[4]Cai N,Chen N,Wan X.Occupation times of jump-diffusion processes with double exponential jumps and the pricing of options [J].Mathematics of Operations Research,2010,35(4):412-437.

[5]Landriault D,Renaud J F,Zhou X.Occupation times of spectrally negative Lévy processes with applications [J].Stochastic Process Appl,2011,121(2):629-2 641.

[6]Li B,Zhou X.The joint Laplace transforms for diffusion occupation times [J].Adv Appl Probab,2013,45(1):1-19.

[7]Li Y Q,Wang S,Zhou X,Zhu N.Diffusion occupation time before exiting [J].Frontiers of Mathematics in China,2014,9(4):843-861.

[8]Li Y Q,Zhou X.On pre-exit joint occupation times for spectrally negative Lévy processes [J].Statistics and Probability Letters,2014,94(1):48-55.

[9]Li Y Q,Zhou X,Zhu N.Two-side discounted potential measure for spectrally Lévy process [J].Statistics and Probability Letters,2015,100(1):67-76.

[10]Chen Y,Yang X,Li Y Q et al.A joint Laplace transform for pre-exit diffusion of occupation times [J].Acta Math Sinica,English Series,2017,33(4):509-525.

(責(zé)任編校:劉剛毅)

Double Laplace transform of occupation times for diffusion process

Chen Chen1,Chen Ye2,Zhou Lin1
(1.College of Mathematics and Statistics,Changsha University of science and Technology,Changsha 410114,China;2.College of Mathematics and Computational Science,Hunan University of Arts and Science,Changde 415000,China)

The approach of Li and Zhou (2014)is adopted to discuss double Laplace transform of one-dimensional time-homogeneous diffusion process.Whenc＜a＜b,double Laplace transforms of stopping timeτcorτband occupation times over intervals (c,a)and (a,b)are found out before exiting interval (c,b).The results are expressed in terms of solutions to the differential equations associated with the diffusions generator.

time-homogeneous diffusion process;occupation time;Laplace transform

O 211.6

A

1672-6146(2017)02-0001-04

陳晨,908108839@qq.com。

2017-02-18

國(guó)家自然科學(xué)基金(11571052,11171044);湖南省自然科學(xué)基金(2016JJ4061);湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2016B417);湖南文理學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目(15ZD05)。

10.3969/j.issn.1672-6146.2017.02.001