對(duì)高校近世代數(shù)課程教學(xué)的思考

陳文兵 解曉娟

摘要：本文針對(duì)高校近世代數(shù)課程教學(xué)中存在的問(wèn)題，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法及手段等方面進(jìn)行闡述，提出了對(duì)近世代數(shù)課程教學(xué)改革的一點(diǎn)思考.

關(guān)鍵詞：近世代數(shù)；教學(xué)；群；環(huán)；域

近世代數(shù)也叫抽象代數(shù)，是師范類(lèi)院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)即信息計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。它也是代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)涞日n程的一門(mén)基礎(chǔ)課程. 另外，近世代數(shù)在現(xiàn)代物理學(xué)、現(xiàn)代化學(xué)、編碼密碼學(xué)和通信領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。長(zhǎng)期的實(shí)踐教學(xué)表明，近世代數(shù)是一門(mén)非常抽象的課程，也是一門(mén)較難的課程，筆者根據(jù)個(gè)人的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)剬?duì)該課程的一些教學(xué)體會(huì)。

一、教學(xué)內(nèi)容

近世代數(shù)課程是高等代數(shù)的后續(xù)課程，一般安排在第三個(gè)學(xué)期開(kāi)設(shè)，共68學(xué)時(shí)。 我們學(xué)校選取了朱平天等人編著的文獻(xiàn)[1]。文獻(xiàn)[1]中安排了四章內(nèi)容，內(nèi)容比較多，想要在較短的時(shí)間內(nèi)將所有的內(nèi)容全部學(xué)完是不太可能的，所以我們?cè)诟鶕?jù)實(shí)際和后繼課程的需要，在不降低教學(xué)要求的前提下，對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行大膽的處理和取舍，例如在講域的擴(kuò)張的時(shí)候，我們只是講解關(guān)于單擴(kuò)展的一些結(jié)果，不給出證明，僅僅讓學(xué)生心里知道有這樣一個(gè)概念。另外還需充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，提高課堂教學(xué)效果。

文獻(xiàn)[1]主要包括群、環(huán)、域三大塊內(nèi)容。在介紹這幾部分內(nèi)容的時(shí)候需要把握住它們內(nèi)在的聯(lián)系。例如在講解群論這一部分內(nèi)容的時(shí)候，主要通過(guò)子群、正規(guī)子群、商群、群同態(tài)來(lái)研究群的結(jié)構(gòu)；在講解環(huán)論部分時(shí)，主要是通過(guò)子環(huán)、理想、商環(huán)、環(huán)同態(tài)來(lái)研究環(huán)的結(jié)構(gòu)。其次，我們還需要將這幾種代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行比較。群、環(huán)、域都是具有一些代數(shù)運(yùn)算的非空集合，群是只有一種代數(shù)運(yùn)算的非空集合，而環(huán)和域是具有兩種代數(shù)運(yùn)算（加法和乘法）的非空集合，而且環(huán)關(guān)于加法構(gòu)成一個(gè)交換群，關(guān)于乘法構(gòu)成一個(gè)半群，兩種運(yùn)算通過(guò)分配率聯(lián)系起來(lái)。域是一類(lèi)特殊的環(huán)，它不僅要求關(guān)于加法構(gòu)成一個(gè)交換群，還要求非零元關(guān)于乘法構(gòu)成一個(gè)乘法群。因此環(huán)和域關(guān)于加法都具有交換群的性質(zhì)，環(huán)關(guān)于乘法只有半群的性質(zhì)，而域關(guān)于乘法具有群的所有性質(zhì)。教師在教學(xué)中還應(yīng)該要提醒學(xué)生注意環(huán)和域所具有的與群所不相同的性質(zhì)，例如環(huán)不一定具有單位元，每個(gè)非零元未必可逆等等。

近世代數(shù)是一門(mén)非常抽象的學(xué)科，針對(duì)近世代數(shù)課程的概念抽象、難于理解的特點(diǎn)，教師在教學(xué)中可以列舉一些學(xué)過(guò)的具體的例子來(lái)幫助學(xué)生理解概念。例如，關(guān)于主理想整環(huán)我們可以列舉一元多項(xiàng)式環(huán)和整數(shù)環(huán)，關(guān)于主理想整環(huán)的許多結(jié)論都是通過(guò)推廣關(guān)于多項(xiàng)式和整數(shù)的結(jié)論得到；一個(gè)無(wú)零因子交換環(huán)的商域就是模仿整數(shù)環(huán)和有理數(shù)環(huán)間的關(guān)系構(gòu)造的；整環(huán)里的因式分解理論就是整數(shù)中數(shù)的分解和多項(xiàng)式的因式分解理論的推廣等等。在講解一些命題、性質(zhì)和定理時(shí)，不能讓學(xué)生去死記硬背，要讓學(xué)生正真的理解，清楚這些命題、性質(zhì)和定理的前提條件為什么是必要的。達(dá)到這個(gè)目的的最有效的方法就是構(gòu)造反例。例如，關(guān)于素理想和極大理想的關(guān)系有定理：在有單位元的交換環(huán)R中，極大理想一定是素理想。那么這個(gè)結(jié)論的條件“含有單位元”是必要的嗎？這個(gè)問(wèn)題的答案可從下面的例子容易得到。例：設(shè)R是偶數(shù)環(huán)，Z表示整數(shù)環(huán)，則4Z是R的極大理想，但4Z不是R的素理想。

在近世代數(shù)的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，還需要將理論與應(yīng)用相結(jié)合，讓學(xué)生多了解這門(mén)課程的一些具體的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如我么在講解有限域的時(shí)候，可以介紹一些有限域在編碼、密碼、通信等領(lǐng)域的一些應(yīng)用。在編碼理論中需要考慮有限域上的線(xiàn)性碼和循環(huán)碼，及利用有限域上的指數(shù)和去計(jì)算循環(huán)碼的重量分布等等；在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息科學(xué)中的信息都是用二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示，本質(zhì)上就是在二元域中的一些運(yùn)算，所以有限域理論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有著重要的應(yīng)用。興趣是最好的老師，在教學(xué)過(guò)程中還需要穿插一些名人趣事來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如在講解交換群的時(shí)候，書(shū)本上只有簡(jiǎn)單的交換群的定義。其實(shí)交換群也叫Abel群，是以挪威的數(shù)學(xué)家Abel命名的，此時(shí)可以介紹一下數(shù)學(xué)家Abel的生平和主要貢獻(xiàn)，Abel在19歲的時(shí)候就解決了五次和五次以上的一般方程不能用根式求解問(wèn)題。再講解著名的Caylay定理的時(shí)候，可以介紹數(shù)學(xué)家Caylay對(duì)數(shù)學(xué)的一些貢獻(xiàn)等等。這些名人軼事在講解相應(yīng)的課程時(shí)讓學(xué)生了解，可以激勵(lì)學(xué)生探索新知識(shí)的欲望。

二、教學(xué)方法及手段

在講解近世代數(shù)課程時(shí)盡量采用啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生多思考，引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)。例如在講解商群的定義時(shí)，我們可以這樣來(lái)講授：設(shè)G是一個(gè)群，H是G的正規(guī)子群，H在G中的左陪集構(gòu)成的集合為{gH|g∈G}，在這個(gè)集合中定義運(yùn)算aH·bH=abH，則該集合關(guān)于這個(gè)乘法構(gòu)成一個(gè)群，我們稱(chēng)為G關(guān)于H的商群。 此時(shí)，需要向?qū)W生提問(wèn)這個(gè)乘法運(yùn)算的定義是否合理？為了驗(yàn)證運(yùn)算的合理性，需要說(shuō)明運(yùn)算與代表元選取無(wú)關(guān)。即需要證明若

所以我們希望b1可以和hg交換，此即由正規(guī)子群可得。這也表明了H是G的正規(guī)子群的必要性。然后讓學(xué)生回憶群的判定，再去證明這個(gè)集合關(guān)于所定義的乘法構(gòu)成一個(gè)群。

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，多媒體教學(xué)在教學(xué)中具有舉足輕重的作用。在近世代數(shù)課程教學(xué)中，我們可以借助一些軟件來(lái)幫助教學(xué)，如Magma軟件， GAP軟件等等。例如在講解Lagrange定理的時(shí)候，教材上說(shuō)明了這個(gè)定理的逆定理不正確，給出了這樣一個(gè)反例：12階的四次交錯(cuò)群沒(méi)有6階子群，但沒(méi)有給出證明，這個(gè)反例的證明對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是比較難的，我們就可以利用Magma軟件來(lái)驗(yàn)證等等。

三、小結(jié)

近世代數(shù)是一門(mén)非常抽象的課程，教師要站在學(xué)生的角度來(lái)考慮如何教學(xué)。另外，教師要在平時(shí)的教學(xué)中不斷總結(jié)、吸取教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以便讓學(xué)生能更好地掌握和學(xué)好近世代數(shù)這門(mén)課程，為以后的后續(xù)課程做好準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱平天，李伯葓，鄒園.近世代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[2]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]卓澤鵬，崇金風(fēng). “近世代數(shù)”課程的教學(xué)探討[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，33（3）：8083.

[4]宋薔薇，李錄蘋(píng). Magma在近世代數(shù)中的應(yīng)用[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，31（1）：67.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金（11626032）；

安徽省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2016A426）

作者簡(jiǎn)介：陳文兵，男，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，講師；解曉娟，女，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，助教。