脈沖隨機(jī)Cohen—Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性

孫云霞 程培 李殿強(qiáng) 尚蕾

摘 要：研究帶有脈沖的隨機(jī)Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性問題， 基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用隨機(jī)分析技巧和線性矩陣不等式工具，得到系統(tǒng)基于矩陣不等式的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性充分條件， 并通過(guò)一個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證結(jié)論的有效性.

關(guān)鍵詞：Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；脈沖；線性矩陣不等式；Lyapunov函數(shù)；幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O231 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（簡(jiǎn)稱CGNN）是由Cohen等[1]于1983年首次提出的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，它包括種群生物學(xué)、神經(jīng)生物學(xué)、進(jìn)化理論等學(xué)科中許多著名模型作為其特例. 作為一類廣義的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，CGNN模型在模式識(shí)別、系統(tǒng)辨識(shí)、信號(hào)處理、圖像處理、最優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)以及控制等方面都有廣泛的應(yīng)用.

在實(shí)際神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，突觸之間信息的傳遞往往會(huì)受到由神經(jīng)遞質(zhì)或其它隨機(jī)因素的釋放而導(dǎo)致的隨機(jī)噪聲的影響. 隨機(jī)噪聲的存在可能使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生振蕩行為或其它失穩(wěn)現(xiàn)象甚至出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，從而影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的整體性能[2]. 另外， 在電子網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行過(guò)程中，其狀態(tài)可能會(huì)受到由切換、頻率變化或其它突發(fā)噪聲引起的瞬時(shí)擾動(dòng)，從而在特定時(shí)刻經(jīng)歷瞬時(shí)突變，這種瞬時(shí)突變現(xiàn)象稱為脈沖擾動(dòng). 近年來(lái)， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3-4]、隨機(jī)CGNN[5-9]以及帶有脈沖的隨機(jī)CGNN [10-12]的穩(wěn)定性問題吸引了大批學(xué)者的關(guān)注，并取得了很多的研究成果. 但是，目前關(guān)于帶有脈沖的隨機(jī)CGNN穩(wěn)定性方面的研究主要都集中于均方穩(wěn)定性分析方面，而關(guān)于幾乎必然（a.s.）指數(shù)穩(wěn)定性方面的研究結(jié)果不多見.

本文將基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用It？觝公式、指數(shù)鞅不等式和Borel-Cantelli 引理等隨機(jī)分析技巧，結(jié)合線性矩陣不等式（LMI）工具，研究帶有脈沖的隨機(jī)CGNN的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性，建立系統(tǒng)幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子及仿真模擬來(lái)驗(yàn)證所獲結(jié)果的有效性.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

本文采用以下記號(hào)：記（Ω，{Ft}t≥0，P）為帶有σ代數(shù)流{Ft}t≥0的完備概率空間，w（t）=（w1（t），…，wm（t））T為定義于該空間上的m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，N為正整數(shù)集，Rn為n維歐氏空間，Rn×m為n×m實(shí)矩陣，I為合適維數(shù)的單位矩陣，符號(hào)diag表示對(duì)角矩陣.上標(biāo)T表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置，符號(hào)*表示矩陣中由對(duì)稱性得到的元素.

考慮帶有脈沖的隨機(jī)CGNN：

dx（t）=-a（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]dt+σ（x（t））dw（t），t≠tkx（tk）= （1）

其中：x（t）=[x1（t），…，xn（t）]T為n維神經(jīng)元狀態(tài)向量，矩陣a（x（t））=diag（a1（x1（t）），…，an（xn（t）））為放大函數(shù)，b（x（t））=

[b1（x1（t）），…，bn（xn（t））]T為神經(jīng)元形為函數(shù)，A∈Rn×n為連接權(quán)矩陣，g（x（t））=[g1（x1（t）），…，gn（xn（t））]T為神經(jīng)元激勵(lì)函

數(shù)，σ（x（t））∈Rn×m為噪聲強(qiáng)度矩陣函數(shù).x（tk）= 表示系統(tǒng)在脈沖時(shí)刻tk的狀態(tài)跳變，Ck為脈沖強(qiáng)度矩陣. 假設(shè)脈沖時(shí)刻tk滿足0=t0假設(shè)1 存在正常數(shù)hi和li（i=1，2，…，n），使得：0

證：由假設(shè)1可知，函數(shù)a（x（t））滿足：

a（x（t））·a（x（t））≤l2I

線性矩陣不等式（3）兩邊分別乘以diag（a（x（t））， I）得：

Φ=-2hQ△+γD-（k0-■-α）Q a（x（t））QA+a（x（t））K？撰 * -2h？撰<0 （7）

定義Lyapunov函數(shù)V（x（t））=xT（t）Qx（t）. 由系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程及不等式（6）可知：

（8）

對(duì)任意t≠tk， 由It？觝公式可得：

dV（x（t））=LV（x（t））dt+HV（x（t））dw（t） （9）

其中：

LV（x（t））=-2xT（t）Qa（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]+trace[σT（x（t））Qσ（x（t））]≤

-2xT（t）Qa（x（t））b（x（t））+2xT（t）a（x（t））QAg（x（t））+γxT（t）Dx（t），

HV（x（t））=2xT（t）Qσ（x（t））.

由假設(shè)3知：

-■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）≥0 （10）

由假設(shè)1和假設(shè)2知：

-2xT（t）Qa（x（t））b（x（t））≤-2hxT（t）Q△x（t） （11）

將式（10）和式（11）代入式（9）可得：

LV（x（t））≤xT（t）-2hQ△+γD-（k0-■-α）Qx（t）+2xT（t）a（x（t））QAg（x（t））-

2■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）+（k0-■-α）xT（t）Qx（t）≤ξT（t）Φξ（t）+（k0-■-α）V（x（t）），

其中：ξT（t）=[xT（t）， gT（x（t））].

由Φ<0， 知：

LV（x（t））≤（k0-■-α）V（x（t）） （12）

由式（5）知：

HV（x（t））■=2xT（t）Qσ（x（t））■=4xT（t）Qσ（x（t））■≥2k0V2（x（t）） （13）

對(duì)任意t∈[tk-1， tk）， k∈N，由It？觝公式可得：

lnV（x（t））=lnV（x（tk-1））+■■ds-■■■ds+■■dw（s） （14）

對(duì)于t=tk，由式（8）可知：

（15）

因此，對(duì)于任意t≥t0， 由式（12）～式（15）并利用迭代技巧可得：

lnV（x（t））≤lnV（x0）+■lnμ+（k0-■-α）（t-t0）-■■■ds+M（t） （16）

其中：

M（t）=■■dw（s）

是一個(gè)連續(xù)鞅并且滿足初值M（t0）=0， 其二次變差過(guò)程=■■ds.

任意取定ε∈（0，1），由指數(shù)鞅不等式，對(duì)k∈N

由Borel-Cantelli 引理可得對(duì)幾乎所有的樣本點(diǎn)ω∈Ω，都存在一個(gè)整數(shù)k0=k0（ω），當(dāng)k≥k0時(shí)有：

因此，對(duì)任意t0≤t≤k都有：

M（t）≤■lnk+■

證：由假設(shè)1及式（23）知

Φ1=-2hQ△+BTQB-（k0-■-α）Q a（x（t））QA+a（x（t））K？撰 * -2h？撰<0.

定義Lyapunov函數(shù)V（x（t））=xT（t）Qx（t）. 由條件（24）可知：

對(duì)任意t≠tk，由It？觝公式可得：

dV（x（t））=LV（x（t））dt+HV（x（t））dw（t），

其中：

2■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）+（k0-■-α）xT（t）Qx（t）≤ξ1T（t）Φ1ξ1（t）+（k0-■-α）V（x（t）），

. 由Φ1<0，知：

LV（x（t））≤（k0-■-α）V（x（t））

由式（25）知：

以下證明過(guò)程與定理1相同，故省略. 證畢.

3 數(shù)值例子

考慮如下脈沖隨機(jī)CGNN：

dx（t）=-a（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]dt+σ（x（t））dw（t）， t≠tkx（tk）=Cx（tk-），k∈N （26）

其中，a（x（t））=3+sinx1（t） 0 0 3+sinx2（t），b（x（t））=2x1（t）2x2（t），A=1 00 1，σ（x（t））=4x1（t）4x2（t），g（x（t））=tanh（x1（t））tanh（x2（t）），C=1.2I，

tk=0.1k.

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可選取：

h=2， l=4， k0=32， Δ=diag（2，1）， K=0.5I， D=16I.

令ρ=0.386 7， α=0.01， 利用MATLAB工具箱求解可得滿足線性矩陣不等式（3）和式（4）的可行解：

γ=25.930 3， Q=19.212 3 0 0 20.443 3，？撰=11.943 5 0 0 12.922 3.

由脈沖強(qiáng)度矩陣C=1.2I知，脈沖對(duì)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性起擾動(dòng)作用，選取μ=1.44，則矩陣不等式（6）成立.

由定理1知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（26） 在lmin（0.386 7）上一致幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定. 選取脈沖時(shí)間間隔tk-tk-1=0.4， 初始值x0=[0.5， 0.1]T，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（26）的單個(gè)樣本軌跡如圖1所示：

4 結(jié)論

本文對(duì)一類隨機(jī)脈沖Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.通過(guò)選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)和利用線性矩陣不等式工具，得到判定其幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的充分性條件.最后，通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子和仿真模擬驗(yàn)證了結(jié)論的有效性.

參考文獻(xiàn)

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Abstract： This paper focuses on the analysis of almost sure exponential stability of stochastic Cohen-Grossberg neural networks with impulse. Based on the Lyapunov stability theory， by using some stochastic analysis techniques and linear matrix inequality tool， we establish a set of sufficient conditions of almost sure exponential stability of system in terms of matrix inequalities. Finally， we give a numerical example to illustrate the effectiveness of the results obtained.

Key words： Cohen-Grossberg neural networks； impulse； linear matrix inequality； Lyapunov function； almost sure exponential stability

（學(xué)科編輯：張玉鳳）