基于BS模型的上證50ETF期權(quán)實證研究

張昆

摘 要：本文基于Black-Scholes定價模型對上證50ETF期權(quán)的價格進行實證研究，用控制變量法分析影響期權(quán)價格的五個因素（標的資產(chǎn)現(xiàn)價、期權(quán)執(zhí)行價格、無風險利率、波動率、期限），通過R軟件實現(xiàn)對上海證券交易所掛牌交易的上證ETF期權(quán)的實證檢驗，將利用Black-Scholes模型計算出來的期權(quán)理論價格與實際收盤價進行對比，分析實際期權(quán)價格與測算價格差異產(chǎn)生的原因。

關(guān)鍵詞：上證50ETF期權(quán) Black-Scholes定價模型 實證檢驗

中圖分類號：F724.5 文獻標識碼：A 文章編號：2096-0298（2017）09（a）-169-03

1 Black-Scholes定價模型

1.1 無套利定價原理

Black-Scholes定價模型的理論基礎(chǔ)是無套利定價原理，即如果市場上存在著兩個資產(chǎn)，將它們持有至到期可以獲得相同的收益，那么此刻他們的價格應(yīng)該相等，若不相等，投資者會進行套利，做多低估資產(chǎn)的同時做空高估資產(chǎn)，使兩個資產(chǎn)的價格又趨于平衡。

基于無套利定價原理可以構(gòu)建一個股票和借款的適當組合，使得無論股價如何變化，該投資組合的收益都與期權(quán)相同，那么構(gòu)建投資組合的成本即為該期權(quán)的價值。

令Cu=Su-X=H×Su-B×（1+r）；Cd=0=H×Sd-B×（1+r）

可得：套期保值比率H=期權(quán)價值變化/股價變化=（Cu-Cd）/（Su-Sd）

借款額=（H×Sd-Cd）/（1+r）

因此可得出期權(quán)價值=購買股票支出-借款數(shù)額=H×S0-B

1.2 Black-Scholes定價模型及參數(shù)估計

推導出的模型為

2 上證50ETF期權(quán)

2.1 上證50指數(shù)

上證50指數(shù)是從上海證券市場中挑選出最具代表性、規(guī)模達、流動性好的50只藍籌股作為樣本股，采用科學合理的方法構(gòu)建出一個反映各行業(yè)龍頭企業(yè)的整體情況的一個指數(shù)。

2.2 交易型開放式指數(shù)基金ETF

交易型開放式指數(shù)基金，通常又被稱為交易所交易基金，是一種在交易所上市交易的、基金份額可變的開放式基金。ETF基金是一種特殊的基金形式，結(jié)合了封閉式基金和開放式基金的特點。ETF基金的投資者可以像封閉式基金一樣直接在二級市場上互相直接買賣ETF份額，同時可以像開放式基金一樣直接向基金公司申請購買或者贖回基金份額，區(qū)別于一般開放式基金的是，申購贖回是在一籃子股票與基金份額之間進行交換。

2.3 上證50ETF

上證50ETF是華夏基金公司于2004年12月30日推出的一支股票型基金，是境內(nèi)首只交易型開放式指數(shù)基金。華夏上證50ETF從2004年12月30日成立以來，已取得228.44%的收益。從風險控制角度看，該基金風險較小。其近年表現(xiàn)如圖1所示。

2.4 上證50ETF期權(quán)

我國資本市場規(guī)模已經(jīng)躍居全球第二，但是產(chǎn)品結(jié)構(gòu)單一的問題仍然十分突出，而我國首個場內(nèi)期權(quán)——上證50ETF期權(quán)的推出標志著我國期權(quán)時代的來臨。2015年，50ETF期權(quán)日均合約成交面值為26.99億元，日均權(quán)利金成交額1.08億元，日均成交合約10.63萬張，日均持倉（未平倉合約數(shù)量）27.17萬張?？傮w上看，50ETF期權(quán)市場交易運行平穩(wěn)，投資者參與較為理性，未出現(xiàn)爆炒、過度投機等現(xiàn)象。

目前，上海證券交易所為上證50ETF期權(quán)合約制定了統(tǒng)一的規(guī)格，合約條款包括行權(quán)方式、行權(quán)價格、交易時間、委托類型等。

3 基于BS模型的對價格的實證研究

本文將主要利用Black-Scholes定價模型及R軟件實現(xiàn)對上海證券交易所掛牌交易的上證ETF期權(quán)的實證檢驗，將利用BlackScholes模型計算出來的期權(quán)理論價格與實際收盤價進行對比，分析兩者差異產(chǎn)生的原因。

3.1 上證50ETF期權(quán)影響因素分析

Black-Scholes定價模型中包含了影響期權(quán)價格的五個因素（標的資產(chǎn)現(xiàn)價、期權(quán)執(zhí)行價格、無風險利率、波動率、期限），它們都對期權(quán)價格具有重要的影響，下面保持其中四個因素不變，觀察另一個變量對期權(quán)價格的影響方向及程度。

（1）標的資產(chǎn)價格：上證50ETF的變動是上證50ETF期權(quán)價格變化的主要因素，選取執(zhí)行價格2.2元、到期日為10月26日為期2個月的認購期權(quán)，無風險利率選定一年期定期存款，波動率選用上證50ETF2015年的歷史波動率，得到該份期權(quán)合約的價格與標的ETF的價格走勢圖，見圖2。

從圖2可以看出該份認購期權(quán)與標的資產(chǎn)上證ETF的變化一致，50ETF價格上漲期權(quán)價格上漲，反之，期權(quán)價格下跌。

（2）執(zhí)行價格：上證50ETF期權(quán)的執(zhí)行價格根據(jù)標的資產(chǎn)價格設(shè)置了5個檔位，一個是依據(jù)標的資產(chǎn)的價格推出的平值期權(quán)，再按照合約條款規(guī)定的行權(quán)價格間隔分別設(shè)置兩個實值期權(quán)和兩個虛值期權(quán)。本文選取執(zhí)行價格分別為2.1、2.15、2.2、2.25、2.3、2.35、2.4元，到期日為10月26日為期2個月的認購期權(quán)，無風險利率選定一年期定期存款，波動率選用上證50ETF2015年的歷史波動率，繪制出認購期權(quán)執(zhí)行價格與期權(quán)價格的價格走勢圖，如圖3所示。

由圖3可以看出，隨著執(zhí)行價格的上升，認購期權(quán)的價格下跌，由此可以印證，認購期權(quán)價格與執(zhí)行價格呈反向變化。

（4）波動率：本文采用的波動率是上證50ETF2015年的歷史波動率，波動率分為歷史波動率和隱含波動率，由于隱含波動率是用實際交易中的期權(quán)價格反求，不再具有價格發(fā)現(xiàn)和預(yù)測的功能，因此并未采用。在整個實證過程中保持波動率不變，在期權(quán)估值過程中，價格的變動性是最重要的因素，而標的資產(chǎn)的波動率代表了價格的變動性，如果一個標的資產(chǎn)的價格變動很小，那么它的期權(quán)相對應(yīng)的價值也會較小。

（5）期限：如果期權(quán)承擔套期保值的功能，期權(quán)到期的時間越長，那么套保的時間也就越長，期權(quán)具有的套保的價值就越高，相應(yīng)的期權(quán)價格也就越高。選取到期日為10月26日為期2個月的認購期權(quán)，無風險利率選定一年期定期存款，波動率選用上證50ETF2015年的歷史波動率，繪制出認購期權(quán)到期日與期權(quán)價格的價格走勢圖，如圖4所示。

3.3 認購期權(quán)實證檢驗

本文選取了到期日為2016年10月26日的一份認購期權(quán)合約進行實證檢驗，該期權(quán)合約的執(zhí)行價格為2.2元，無風險利率選用一年期定期存款利率1.75%，波動率采用前文測算的0.02515，如圖5所示。

此處的差異率=（真實期權(quán)價格—模擬計算價格）/真實期權(quán)價格，該認購期權(quán)合約實證檢驗的結(jié)果表明，實際價格與模擬價格平均差異率為17.43%，差異率較小，說明Black-Scholes定價模型能夠較好的反映我國上證50ETF認購期權(quán)價格。

3.4 認沽期權(quán)實證檢驗

本文選取了到期日為2016年10月26日的一份認沽期權(quán)合約進行實證檢驗，該期權(quán)合約的執(zhí)行價格為2.4元，無風險利率選用一年期定期存款利率1.75%，波動率采用前文測算的0.02515，如圖6所示。

此處的差異率=（真實期權(quán)價格—模擬計算價格）/真實期權(quán)價格，該認沽期權(quán)合約實證檢驗的結(jié)果表明，實際價格與模擬價格平均差異率為9.41%，差異率很小，說明Black-Scholes定價模型能夠較好的反映我國上證50ETF認沽期權(quán)價格。

4 差異分析及結(jié)論

本文通過對比實際期權(quán)價格和模擬期權(quán)價格發(fā)現(xiàn)，兩者總體上變化趨勢一致，誤差大致在10%左右。這種差異是可以接受的，因為理論上的Black-Scholes定價模型有著嚴格的限制條件，包括所有證券交易連續(xù)發(fā)生，股價隨機游走和不存在交易成本，這些嚴苛的條件在實際交易中無法達到，自然也就導致了理論與實際的差異，通過逐步放松限制條件、擴展現(xiàn)有模型能夠在一定程度上縮小差異。

除了模型的假設(shè)條件不能得到很好的滿足外，模型中使用的參數(shù)也是導致差異產(chǎn)生的一個很重要的因素。影響期權(quán)價格的五大因素中執(zhí)行價格、無風險利率、到期日期在本文中假設(shè)不變，這與實際情況比較符合，標的資產(chǎn)上證50ETF的價格在實際交易中是可觀測的變量，不存在誤差，因此波動率是導致差異的最大原因。

波動率對期權(quán)價格的影響之大毋庸置疑，甚至有學者指出，投資者做期權(quán)實質(zhì)上就是在做波動率。模擬測算的期權(quán)價格就是將五個參數(shù)輸入模型得到價格，其中與實際有差異的就是波動率δ，輸入的波動率與實際的差異就導致了期權(quán)價格的最終差異。真實的差異率是通過將除波動率以外的參數(shù)與期權(quán)實際價格輸入模型，從而反求，它是一個變動的量，而不是定量。期權(quán)價格反映投資者對未來的預(yù)期，假設(shè)投資者認為作為標的資產(chǎn)的ETF被高估，這將導致認購期權(quán)的購買減少，從而使得隱含波動率小于標的。反之，投資者認為標的ETF被低估，購買認購期權(quán)增加，從而使得隱含波動率大于標的。隱含波動率與標的資產(chǎn)的歷史波動率的差異導致了實際交易中的期權(quán)價格與通過模型計算出來的模擬價格有所差異。

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