一種簡便的剛度矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

古雨 杜鵬 余忠儒 李叔容

摘 要：本文分析了矩陣位移法中基本的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法，發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一定規(guī)律，提出一種更為簡便的剛度矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。并以坐標(biāo)轉(zhuǎn)換90度為例進(jìn)行驗證，證明此方法簡便可行。

關(guān)鍵詞：矩陣位移法；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；剛度矩陣

0 引言

解決結(jié)構(gòu)力學(xué)問題時，常常使用矩陣位移法，運用“電算”的方法計算桿端力、支座反力，最后畫出受力圖。其中，在求總剛矩陣Ke時，必須列出單元剛度矩陣Ke，再將各單元坐標(biāo)系下剛度矩陣進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，疊加后得到整體坐標(biāo)系下的總剛矩陣。

1 問題提出

由于單元坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系不同，故需進(jìn)行剛度矩陣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，通過下式進(jìn)行運算：

Ke=TTKT

其中：Ke——整體坐標(biāo)系下剛度矩陣；K——單元坐標(biāo)系下剛度矩陣；

T——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；TT——單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T的轉(zhuǎn)置矩陣。

上式計算時至少是3個6×6的矩陣相乘，計算量大且容易出錯，并且不同角度的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換沒有統(tǒng)一的計算模板，所以怎樣能夠使剛度矩陣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換變得簡便，成為本文探究的問題。

2 方法提出與問題求解

本文以單元坐標(biāo)體系與整體坐標(biāo)體系夾角為90°時為例進(jìn)行研究，有桿件①②、整體坐標(biāo)系XOY與單元坐標(biāo)系X①OY①如圖所示：

易知Y①=-X，X①=Y，即局部坐標(biāo)系下X和Y所對應(yīng)行和列互換，且Y所對應(yīng)行和列項各取一次負(fù)號，以桿②為例，單元坐標(biāo)系下剛度矩陣如下：

用整體編碼替換單元編碼，且對第2、5行、第2、5列所對應(yīng)項各取一次負(fù)號，對應(yīng)變化后K②，如下：

特別說明：局部剛度矩陣變化時，其中K22、K25、K52、K55進(jìn)行兩次取負(fù)號處理，即正負(fù)號與原來保持一致。

對矩陣編碼進(jìn)行整理，得到整體坐標(biāo)系下②桿的剛度矩陣K②e：

3 總結(jié)與分析

與原有基于線性代數(shù)知識推導(dǎo)得出的求解方法相比，此方法計算量明顯減小，不易出錯，且更易理解。但是，本文僅對單元坐標(biāo)體系與整體坐標(biāo)體系夾角為90°時的情況進(jìn)行研究與分析，驗證此方法的可行性；當(dāng)角度變化為其他角度時，此方法的推導(dǎo)思路仍然適用，但推導(dǎo)過程計算量仍然較大，適用性較差。

參考文獻(xiàn)

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（作者單位：西華大學(xué)）