關(guān)于一種函數(shù)最值的解法以及數(shù)學(xué)思想

林逸彬

函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問題，其作用不僅在于問題的解決，而且可以讓學(xué)生最函數(shù)的性質(zhì)有更深刻的認(rèn)識，是高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容，諸如三角函數(shù)、線性規(guī)劃等方面均有涉及。

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會遇到各種形式的最值問題。最值問題的解決方法有很多，例如數(shù)形結(jié)合、向量法、基本不等式法等……而形如或者的函數(shù)最值問題是學(xué)生會遇到的一個(gè)難點(diǎn)。本篇本章講分享這種函數(shù)最值問題的三種解法，并分析其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

在這里先討論的函數(shù)最值，其中a，b，c，d，e都為常數(shù)，dx+e>0且不妨設(shè)a>0，d>0。

第一種解法為構(gòu)造基本不等式法。具體的方法是將分子與分母相聯(lián)系起來，設(shè)ax?+bx+c=k1（dx+e）2+k2（dx+e）+k3，通過解出待定參數(shù)k1、k2和k3，再將上式代入，把原式化為k1（dx+e）++k2，在k1、k3都為正數(shù)的情況，可以用基本不等式算出該式的最小值，即為函數(shù)的最小值。以“求的最小值”為例：設(shè)x?+4x+8=k1（2x+1）2+k_2（2x+1）+k3，得k1=、k2=和k3=，再將其代入原式，模仿上文的步驟，由基本不等式得原式≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2或者x=﹣3時(shí)等號成立，再結(jié)合2x+1>0可知當(dāng)x=2時(shí)原式有最小值，最小值為4。

事實(shí)上這種解法用到了高中所學(xué)習(xí)的基本不等式的知識，以及構(gòu)造基本不等式的方法，將最值與基本不等式聯(lián)系起來，是一種應(yīng)用廣泛的解題技巧。而且本題在構(gòu)造基本不等式的過程事實(shí)上用到了待定系數(shù)法，也是高中數(shù)學(xué)的一種解題技巧。當(dāng)然在此過程中要注意一些細(xì)節(jié)，如等號成立的充要條件等。

第二種解法為根的判別式法。其具體的步驟是：令=k，由于該方程有解，所以進(jìn)行移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，可知方程ax?+（b-kd）x+c-ke=0也是有解的。根據(jù)根的判別式，在這個(gè)二次方程中，?≥0，在a，b，c，d給定的情況下，可以解出k的取值范圍，進(jìn)一步知道k的最小值，即為函數(shù)的最小值。還是用上文的例子，用根的判別式法來求最小值：設(shè)=k，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x?+（4-2k）x+8-k=0。由于這個(gè)方程有解，所以?=（4-2k）2-4（8-k）≥0，解得k≤-1或k≥4，由于2x+1>0，x?+4x+8>0，所以k>0，所以k≤-1不合題意，舍去。所以k≥4，即k的最小值為4，所以原式的最小值為4。

這種方法事實(shí)上是用到了函數(shù)與方程的思想，將函數(shù)=k有解轉(zhuǎn)化為二次方程有解，再由二次函數(shù)根與系數(shù)的判別式可以知道?≥0，再進(jìn)一步求出k的取值范圍。這需要學(xué)生將函數(shù)與方程有一定的認(rèn)識，并很好地結(jié)合起來應(yīng)用。

第三種解法為求導(dǎo)法。具體的解題步驟為：對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再由導(dǎo)函數(shù)的圖像分析原函數(shù)在區(qū)間的單挑性，從而分析出y的最小值。例如，令y= ，對y進(jìn)行求導(dǎo)，可知當(dāng)x∈（-∞，-3），y'>0，y單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，y'<0，y單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，y'>0，y單調(diào)遞增。結(jié)合2x+1>0可知x>，所以當(dāng)x=2時(shí)，原函數(shù)有最小值。令x=2，得y=4，所以原函數(shù)的最小值為4。

這種方法實(shí)際上是導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的典型例子。把要求某個(gè)函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間的最低點(diǎn)，通過求導(dǎo)的方式求出函數(shù)的單調(diào)遞增遞減性，進(jìn)而分析出函數(shù)的最低點(diǎn)，再求出函數(shù)的最值。這種用導(dǎo)數(shù)來分析最值的方法，不僅可以應(yīng)用在這種分式型的最值問題，對于許多函數(shù)最值問題都是最基礎(chǔ)、應(yīng)用最廣泛的方法，只是求解過程、計(jì)算量等方面相對簡單或復(fù)雜而已。

分析完型的最值問題后，的最值問題也就迎刃而解了。如求后者的最大值，只需要求出前者的最小正值t，就可以得到后者的最大值為1/t。

我們回過頭來看一下剛才解決函數(shù)最值問題的三種方法——基本不等式法、根的判別式法、求導(dǎo)法。

對于基本不等式法來說，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)基本不等式時(shí)，只知道基本不等式的公式，但在實(shí)際題目的運(yùn)用中卻常常遇到瓶頸，主要表現(xiàn)在不知道如何構(gòu)造基本不等式的形式。除了上文基本不等式的構(gòu)造方法外，如“已知a+b=1，求+的最小值”，用到的方法是利用a+b=1，將其與原式相乘，再用乘法分配律即可得到基本不等式的形式。類似的關(guān)于不等式構(gòu)造的題目還有很多，學(xué)生可以舉一反三。

對于根的判別式法來說，其主要應(yīng)用的是方程解的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，這在高中數(shù)學(xué)人教版必修一第三章有所涉及。上文通過移項(xiàng)，把方程的解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，是題目的一個(gè)特殊解法，也是學(xué)生在面對最高項(xiàng)系數(shù)為2的方程時(shí)可以考慮的一個(gè)解法。

對于求導(dǎo)法，主要是考察學(xué)生對函數(shù)本身的理解程度。應(yīng)用好求導(dǎo)法，除了學(xué)生本身要掌握好求導(dǎo)法則以外，還要善于分析導(dǎo)數(shù)問題。對于等號兩邊分別是兩個(gè)函數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù)，一般來說有兩種思路：一是直接判斷兩函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這建立在兩個(gè)函數(shù)圖像都可以簡便地畫出來的基礎(chǔ)上；二是通過移項(xiàng)，使得等號的一邊是關(guān)于自變量x的函數(shù)f（x），另一邊是0，從而把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，既可以通過f（x）自身的特殊性質(zhì)（如上文f（x）是一個(gè)二次函數(shù)，可用根的判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)），也可以通過求導(dǎo)（也就是上文提到的求導(dǎo)法），分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)一步判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。兩種思路，第一種具有簡便性，第二種具有一般性。

函數(shù)最值問題，作為高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，需要我們不斷探究，挖掘其背后的數(shù)學(xué)思想，掌握其本質(zhì)，方能百戰(zhàn)不殆！