例談數(shù)學(xué)概念教學(xué)問(wèn)題情景的創(chuàng)設(shè)途徑

王麗??

摘 要：數(shù)學(xué)概念有些是由生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際，但又依賴(lài)已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生。根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以用多種方法來(lái)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；問(wèn)題情景；創(chuàng)設(shè)途徑

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）24-057-1

一、回顧已有相似概念，創(chuàng)設(shè)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景

中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過(guò)的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。

例1 異面直線(xiàn)的距離的教學(xué)

1.展示概念背景：向?qū)W生指出：刻劃兩條異面直線(xiàn)的相對(duì)位置的一個(gè)幾何量——異面直線(xiàn)所成的角，這只能反映兩異面直線(xiàn)的傾斜程度，若要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個(gè)量——異面直線(xiàn)之間的距離。

2.創(chuàng)設(shè)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景：先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下過(guò)去學(xué)過(guò)的有關(guān)距離的概念（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、平行線(xiàn)之間的距離），并概括出它們的共同點(diǎn)：各種距離概念都?xì)w結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。

3.啟迪發(fā)現(xiàn)階段：指出定義兩異面直線(xiàn)的距離也必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：異面直線(xiàn)a、b上哪兩點(diǎn)之間的距離最??？為什么？進(jìn)一步誘導(dǎo)：如右圖，過(guò)直線(xiàn)a上一點(diǎn)B作AB⊥直線(xiàn)b，垂足為點(diǎn)A，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為異面直線(xiàn)a，b間的距離，對(duì)嗎？因?yàn)檫^(guò)A作AC⊥直線(xiàn)a，垂足為C，在Rt△ABC中有AB>AC，即AB不具有最小性。再過(guò)C作CD⊥直線(xiàn)b，如此下去…，線(xiàn)段只垂直于a、b中的一條時(shí)，總是某直角三角形的斜邊，不可能是a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者，那么，異面直線(xiàn)a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者到底應(yīng)該是哪條線(xiàn)段的長(zhǎng)呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：可能是與異面直線(xiàn)a、b都垂直相交的線(xiàn)段。

4.表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：異面直線(xiàn)a、b的公垂線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度具有最小性，又公垂線(xiàn)是唯一的，所以，可以把線(xiàn)段MN定義為異面直線(xiàn)a，b之間的距離。

以上通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生研究已有“距離”概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以類(lèi)比方法獲得異面直線(xiàn)距離的概念，學(xué)生覺(jué)得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多。

這類(lèi)數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過(guò)與熟悉的概念類(lèi)比（類(lèi)比的形式多樣，如平面與空間的類(lèi)比、高維與低維的類(lèi)比、有限與無(wú)限的類(lèi)比，還有方法類(lèi)比、結(jié)構(gòu)類(lèi)比、形式類(lèi)比等等），可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類(lèi)比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類(lèi)比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。

二、聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)引發(fā)猜想的問(wèn)題情景

許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。

例2 異面直線(xiàn)所成角的概念教學(xué)

1.展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請(qǐng)學(xué)生觀(guān)察圖中有幾對(duì)異面直線(xiàn)？接著提問(wèn)：從位置關(guān)系看，同為異面直線(xiàn)，但它們的相對(duì)位置，是否就沒(méi)有區(qū)別？教師緊接著說(shuō)：既然有區(qū)別，說(shuō)明僅用“異面”來(lái)描述異面直線(xiàn)間的相對(duì)位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線(xiàn)間的這種相對(duì)位置，或者說(shuō)，引進(jìn)一些什么數(shù)量來(lái)刻劃這種相對(duì)位置？

2.情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“距離”來(lái)刻劃兩平行直線(xiàn)間的相對(duì)位置，用“角”來(lái)刻劃兩相交直線(xiàn)間的相對(duì)位置，那么用什么來(lái)刻劃兩異面直線(xiàn)的相對(duì)位置呢？我們還知道兩異面直線(xiàn)不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個(gè)角，用它的大小來(lái)度量異面直線(xiàn)的相對(duì)傾斜程度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們研究一道題：一張紙上畫(huà)有兩條能相交的直線(xiàn)a、b（但交點(diǎn)在紙外）。現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長(zhǎng)紙上的線(xiàn)段，問(wèn)如何能量出a、b所成的角的大??？

3.猜想發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問(wèn)題的方法是過(guò)一點(diǎn)分別作a，b的平行線(xiàn)，該方法能否遷移到兩異面直線(xiàn)的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線(xiàn)的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)的角（即過(guò)一點(diǎn)分別作a、b的平行線(xiàn)，這兩條平行線(xiàn)所成的角）。

4.表述論證階段：教師提問(wèn)，這角（或平行線(xiàn)）一定可以作出來(lái)嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？（以上即是存在性和確定性問(wèn)題）通過(guò)解決以上兩個(gè)問(wèn)題得到：兩異面直線(xiàn)所成角的范圍規(guī)定在（0，π2]內(nèi)，那么它的大小，由異面直線(xiàn)本身決定，而與點(diǎn)O（一線(xiàn)的平行線(xiàn)與另一線(xiàn)的平行線(xiàn)的交點(diǎn)）的選取無(wú)關(guān)，點(diǎn)O可任選.一般總是將點(diǎn)O選在特殊位置。至此，兩異面直線(xiàn)所成角的概念完全建立了，在這個(gè)過(guò)程中滲透了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法。

這類(lèi)數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新、舊數(shù)學(xué)概念間的本質(zhì)屬性，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)墓讨c(diǎn)，使其孕育新的數(shù)學(xué)概念的形成。

以上列舉的兩種方法不是獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的，有些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與形成過(guò)程需要綜合運(yùn)用多種方法才能創(chuàng)設(shè)出利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景。