獨(dú)立水準(zhǔn)網(wǎng)中常用抗差估計(jì)方法的抗差性分析

姜佃高　許珊娜

摘要：抗差估計(jì)方法是一種很好的抵抗粗差的方法。但是，不同的抗差估計(jì)方法具有不同的抗差特性。文章以三種不同網(wǎng)形、不同觀測值數(shù)量和粗差數(shù)量、不同粗差數(shù)值的不等權(quán)水準(zhǔn)網(wǎng)為例，采用仿真實(shí)驗(yàn)的方法比較了常用13種抗差估計(jì)方法的抗差特性。研究結(jié)果表明，抗差特性更優(yōu)的估計(jì)方法為L1法、Danish法、German-McClure法和IGGIII方案。

關(guān)鍵詞：水準(zhǔn)網(wǎng)；不等權(quán)；粗差；抗差估計(jì)

水準(zhǔn)網(wǎng)是高程控制網(wǎng)中常見布網(wǎng)方式，水準(zhǔn)網(wǎng)平差中的未知參數(shù)可以通過傳統(tǒng)的最小二乘法求得。在生產(chǎn)實(shí)踐中粗差的出現(xiàn)是不可避免的，此時(shí)通常采用抗差估計(jì)方法來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。當(dāng)觀測值受到粗差影響時(shí)，抗差估計(jì)方法能夠給出最為合理的估計(jì)結(jié)果。

但是，不同的抗差估計(jì)方法具有不同的抗差特性。Mitra等認(rèn)為，當(dāng)觀測噪聲來源于重尾分布時(shí)，Huber法和Andrews法好于L1法。Pennacchi研究表明，在具體算例中，Cauchv法比German-McClure法、Welsch法和Tukey法效果好。那么，當(dāng)水準(zhǔn)網(wǎng)中高差觀測值相互獨(dú)立且不等權(quán)時(shí)，各種常用抗差估計(jì)方法的抗差效果如何呢？

本文以三種不同網(wǎng)形、不同觀測值數(shù)量和粗差數(shù)量、不同粗差數(shù)值的獨(dú)立不等權(quán)水準(zhǔn)網(wǎng)為例，采用仿真實(shí)驗(yàn)的方法比較了常用13種抗差估計(jì)方法的抗差特性，最終確定了若干抗差特性更優(yōu)的估計(jì)方法。

1抗差估計(jì)方法及評價(jià)指標(biāo)

常用的13種抗差估計(jì)方法的權(quán)函數(shù)式及其抗差特性的比較指標(biāo)參見文獻(xiàn)。

2水準(zhǔn)網(wǎng)仿真實(shí)驗(yàn)

2.1仿真實(shí)驗(yàn)方案

采用Monte Carlo法構(gòu)造包含粗差的獨(dú)立不等權(quán)隨機(jī)誤差。S為仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)，S=1000；n為觀測值的數(shù)量；p_j為觀測值的權(quán)，在[p_a，p_b]上服從均勻分布。δ_ij為隨機(jī)誤差，服從正態(tài)分布N（0，σ²₀），σ²₀=1.0，|δ_ij|≤2.5σ₀；ε表示粗差，取值為5.0σ₀和10.0σ₀。包含若干粗差的隨機(jī)誤差△_ij如下：

（1）

用觀測值的真值三減去對應(yīng)的隨機(jī)誤差得到模擬觀測值L_ij：

（2）

對于模擬觀測值，用各種抗差估計(jì)方法和最小二乘法計(jì)算相應(yīng)的觀測值改正數(shù)v_ij和殘余真誤差均方誤差，從而計(jì)算各種抗差估計(jì)方法相對于最小二乘法的相對增益。

2.2獨(dú)立不等權(quán)模擬水準(zhǔn)網(wǎng)

本文采用了如下圖1所示三個(gè)不同網(wǎng)形的模擬水準(zhǔn)網(wǎng)。網(wǎng)中，A是已知高程水準(zhǔn)點(diǎn)，其他為未知水準(zhǔn)點(diǎn)。圖1a中，觀測值總數(shù)n=9，必要觀測值個(gè)數(shù)t--4，多余觀測值個(gè)數(shù)r=-5；圖1b中，觀測值總數(shù)n=15，必要觀測值個(gè)數(shù)t=6，多余觀測值個(gè)數(shù)r=9；圖1c中，觀測值總數(shù)n=22，必要觀測值個(gè)數(shù)t=8，多余觀測值個(gè)數(shù)r=14。網(wǎng)中高差觀測值獨(dú)立不等權(quán)，觀測值的權(quán)在[0.4，1.6]上服從均勻分布。

3結(jié)果與討論

對于圖1所示的三個(gè)模擬水準(zhǔn)網(wǎng)，粗差ε=-5.0σ₀和ε=10.0σ₀時(shí)，13種不同抗差估計(jì)方法相對于最小二乘法的平均相對增益如圖2所示。

當(dāng)觀測值中包含粗差時(shí)，各種抗差估計(jì)方法具有不同的平均相對增益。由圖2可知，當(dāng)粗差ε=5.0σ₀時(shí)，除Hampel法外，各種抗差估計(jì)方法的平均相對增益均大于等于9%。其中，L1法的平均相對增益最大（20%）。當(dāng)粗差ε=10.0σ₀時(shí)，各種抗差估計(jì)方法的平均相對增益均大于等于11%。其中，L1法（50%）、Danish法（54%）、German-McClure法（49%）和IGGIII方案（53%）的平均相對增益較大。

4結(jié)語

本文以三種不同網(wǎng)形、不同觀測值數(shù)量和粗差數(shù)量、不同粗差數(shù)值的不等權(quán)水準(zhǔn)網(wǎng)為例，采用仿真實(shí)驗(yàn)的方法比較了常用13種抗差估計(jì)方法的抗差特性。

研究結(jié)果表明，當(dāng)觀測值中包含粗差時(shí)，抗差特性更優(yōu)的估計(jì)方法是L1法、Danish法、German-McClure法和IGGIII方案。當(dāng)粗差為5.0σ₀時(shí)，這四種估計(jì)方法的平均相對增益大于等于15%；當(dāng)粗差為10.0σ₀時(shí)，它們的平均相對增益大于等于49%。L1法、Danish法、German-McClure法和IGGIII方案是獨(dú)立不等權(quán)觀測值水準(zhǔn)網(wǎng)中相對更為有效的抗差估計(jì)方法。