自然數(shù)的記數(shù)

張新春

題外話

前面，我們花了很長(zhǎng)時(shí)間，把自然數(shù)的定義、自然數(shù)加法、乘法的定義及性質(zhì)做了很嚴(yán)格的闡述。有人不禁要問：有必要這么做嗎？特別是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)老師有什么意義嗎？以下一段文字引自趙煥光先生《數(shù)的家園》一書（科學(xué)出版社，2008年5月版），作為題外話。

對(duì)于不專門研究數(shù)學(xué)的人們而言，根本不需要了解得那么細(xì)，什么序數(shù)、后繼、基數(shù)、歸納集，都不是“好東西”，這些“貨色”不經(jīng)過仔細(xì)琢磨，離生活太遙遠(yuǎn)了。我們這里所說的話當(dāng)然是針對(duì)抽象理論而言的，但千萬不要把隱藏在它們背后的那些非常深刻而又淺顯的偉大真理跟“污水”一起潑出去了呀！像“就這樣繼續(xù)下去”、“一一對(duì)應(yīng)”這些偉大而深刻的思想能用則盡量用，如果你能用得上，一點(diǎn)都不會(huì)讓我們吃虧。

對(duì)于中小學(xué)生來說（大學(xué)生不同），認(rèn)識(shí)自然數(shù)還是采用“老祖宗”的高招合適。也就是說，利用“有限集”的元素“個(gè)數(shù)”理解自然數(shù)不會(huì)有太多的壞處，真正去追問什么叫1，2，3的話，太困難了！中小學(xué)生在求學(xué)期間應(yīng)該把寶貴的時(shí)間投身到其他更需要應(yīng)急的東西上，等到將來有一天對(duì)這類問題有興趣了，再慢慢探究也不遲！但話又得說回來，中小學(xué)生也必須明白自然數(shù)具有基數(shù)和序數(shù)兩重性質(zhì)的基本道理。

對(duì)于創(chuàng)造與傳承數(shù)學(xué)文化的各個(gè)階段的數(shù)學(xué)老師來說，我們建議你至少要認(rèn)認(rèn)真真地了解上述自然數(shù)定義中的一種（其實(shí)都是相通的），否則一旦碰到“天才”學(xué)生追根問底，如果我們不能給他說出個(gè)所以然來，我們自己心里會(huì)感到不踏實(shí)而緊張的！

從今天開始，我們討論新的問題———

自然數(shù)的記數(shù)

自然數(shù)的概念遠(yuǎn)在有文字記載之前就已經(jīng)有了。若考察一下人類認(rèn)數(shù)的歷史，最初應(yīng)該是“有”和“無”的概念。就遠(yuǎn)古人類而言，今天去打獵，回來打到獵物還是沒有打到獵物，可是一件關(guān)乎一天甚至更長(zhǎng)時(shí)間是否要餓肚子的大事，有時(shí)甚至是生死攸關(guān)的大事。正是在一次次“飽”與“餓”及其他強(qiáng)烈的對(duì)比與沖擊中，原始人類形成了“有”和“無”的概念。出去打獵時(shí)，每人一件武器（或是石頭，或是木棍），武器夠不夠的問題同樣值得關(guān)注。他們解決這個(gè)問題的辦法，就是我們今天提到的一一對(duì)應(yīng)：每人發(fā)一件，夠與不夠的問題立即得到解決。正是這一次次的體驗(yàn)，先人們有了“多”和“少”的概念，繼而有了“一”、“二”和“多”的概念。人類學(xué)上關(guān)于原始民族的研究，讓我們有機(jī)會(huì)了解到原始人類關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)的“活化石”?！澳戏侵薜牟柬毬˙ushmen）族，除了一、二和多之外，再?zèng)]有別的數(shù)字了，而這三個(gè)數(shù)字又是那么語調(diào)含糊，那些土人是否賦與了它們以明晰的意義，也還是個(gè)疑問……試看各種歐洲語言，幾乎都帶有這種早期局限性的痕跡。英文的thrice和拉丁文的ter，同樣有雙重意義：三倍和許多。拉丁文的tres（三）和trans（超過）之間有著可信的聯(lián)系；而法文的très（甚）和trois（三）也是如此。

人類需要的數(shù)總歸會(huì)越來越多。于是，我們必須學(xué)會(huì)叫出和寫出任何自然數(shù)，不管它大到怎樣的程度。如果每個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)特殊的名稱，并用特殊的符號(hào)表示，那么，要記住這些名稱和寫法，任何人都是做不到的。于是，幾乎和數(shù)的概念產(chǎn)生同步，人類開始了探究如何記數(shù)。

結(jié)繩記數(shù)及其他

正如語言在文字之前就產(chǎn)生了一樣，數(shù)的概念也產(chǎn)生和形成于文字之前。有了數(shù)的概念，自然就需要把數(shù)記錄下來。最開始的記錄方式可能就是用實(shí)物記數(shù)。所選實(shí)物因地制宜———也許有石子、堅(jiān)果之類。后來即有結(jié)繩記數(shù)。所謂“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契”，“結(jié)繩而治”一般解釋為“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”，而“書契”則是物體上的刻痕，后來發(fā)展為文字。元朝周伯琦的《六書指訛》中指出“契”是“……像刀刻畫竹木以記事者”。

原始的實(shí)物記數(shù)、結(jié)繩記數(shù)或刻痕記數(shù)，大多是“有多少記多少”，是多少數(shù)就撿多少石子，或打多少繩結(jié)，或刻多少道痕?？梢韵胂?，當(dāng)數(shù)比較大時(shí)，這種記數(shù)法將十分麻煩。明代劉無卿撰寫的《應(yīng)諧錄》中有這樣一個(gè)“奈何姓萬”的故事：汝有田舍翁，聘楚士訓(xùn)其子。書一畫，訓(xùn)曰：“一字?！睍嫞?xùn)曰：“二字?！睍?，訓(xùn)曰：“三字。”其子擲筆歸告其父曰：“兒得矣！請(qǐng)謝去?！庇鈺r(shí)，其父擬征召萬姓者飲，令子于晨起治狀。久之，其子恚曰：“天下姓字多矣，奈何姓萬？自晨起至今，才完五百畫也！”按刻痕記數(shù)的辦法，“萬”就得畫10000橫，難怪田舍翁的兒字要埋怨———有這么多姓，為什么偏偏要姓萬呢？

順便說說，從數(shù)學(xué)教育的角度看，這個(gè)笑話至少有兩個(gè)意義：一是說明改進(jìn)記數(shù)方法的必要性———不能是幾就畫幾橫；二是不完全歸納法有時(shí)候靠不住———由“一字一橫，二字二橫，三字三橫”推得“幾字就是幾橫”是一種不完全歸納法，是合情推理，結(jié)果可能靠不住。

正因?yàn)閷?shí)物記數(shù)、結(jié)繩記數(shù)或刻痕記數(shù)的局限性，先人們需要發(fā)明新的記數(shù)法。新的記數(shù)法有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是使用符號(hào)，不同的符號(hào)表示不同的數(shù)，而不僅僅是同一個(gè)符號(hào)重復(fù)幾次就表示幾。

某教師教學(xué)“認(rèn)識(shí)角”時(shí)，為了讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，配合設(shè)計(jì)的“我們?nèi)ヂ糜巍钡那榫尘€索，出示了一系列與交通標(biāo)志相關(guān)的實(shí)物：出口指示牌（長(zhǎng)方形），轉(zhuǎn)彎指示牌（三角形），限速警示牌（圓形）等，讓學(xué)生比較它們的不同（長(zhǎng)方形、三角形都有角，而圓形沒有角）。接著師生之間有了如下的對(duì)話———

師：這些是什么？

生：交通標(biāo)志。

師：它們有什么不同？

生1：有些是圓的，有些是方的。

師：還有嗎？

生2：它們表示的意義不同。

師：什么不同？

生2：轉(zhuǎn)彎指示牌表示……，限速警示牌表示……

生3：我不同意……

學(xué)生爭(zhēng)論起來。

在這種滿堂問的課堂里，教學(xué)氣氛是活躍了，但時(shí)間浪費(fèi)了，新知卻未呈現(xiàn)，教學(xué)效果自然不好。一些教師總是想讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，千方百計(jì)創(chuàng)設(shè)情境，引出問題，結(jié)果拋出了一些與教學(xué)內(nèi)容無關(guān)的問題。案例中，當(dāng)生1已經(jīng)講到“要害”時(shí)，教師的那句“還有嗎？”本是想讓更多的學(xué)生來敘述，提高課堂的參與度，未料這一發(fā)問是畫蛇添足?？梢姡處煹奶釂柸绻麤]有明確的目的，就不能發(fā)揮相應(yīng)的作用。教師的問提得好，學(xué)生才不會(huì)偏離思維方向，課堂才會(huì)精彩。

課始問應(yīng)該明確教學(xué)內(nèi)容和方向。上述案例

中教師之所以失敗，正是因?yàn)樘釂枦]有明確的目的，隨意提問。本堂課的教學(xué)內(nèi)容是角的認(rèn)識(shí)，教師在出示圖片后，提問應(yīng)該直指數(shù)學(xué)圖形———角。這樣學(xué)生的回答才不會(huì)天馬行空，不知所云。

課中問應(yīng)有利于突破難點(diǎn)。數(shù)學(xué)教材每章節(jié)

都有重難點(diǎn)，教學(xué)中處理重難點(diǎn)時(shí)，教師的提問應(yīng)該有利于學(xué)生突破重難點(diǎn)，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生迅速掌握新知。

如，上“圓”的練習(xí)課時(shí)，教師出示：一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大3倍，它的直徑擴(kuò)大（）倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大（）倍，面積擴(kuò)大（）倍。

然后提問：假設(shè)圓的半徑是1厘米，你能完成表格的填寫嗎？如果一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大4倍，它的直徑、周長(zhǎng)、面積會(huì)怎么變化？如果圓的直徑擴(kuò)大5倍，你能想到什么？如果圓的周長(zhǎng)擴(kuò)大a倍呢？

由于習(xí)題中沒有具體的數(shù)據(jù)，學(xué)生思考時(shí)找不到解決問題的突破口。于是教師在難點(diǎn)處層層設(shè)問，步步引導(dǎo)。學(xué)生最終找到突破口，順利解決了問題。

課尾問應(yīng)畫龍點(diǎn)睛。課堂小結(jié)在課堂教學(xué)中往往起著提綱挈領(lǐng)、畫龍點(diǎn)睛的作用。教師在結(jié)尾處可以提出本節(jié)課還沒有完全解決的問題，或者提出與本節(jié)課相關(guān)的后續(xù)性問題，或者提出與下節(jié)課學(xué)習(xí)相關(guān)的前瞻性問題，讓學(xué)生帶著問題，進(jìn)行下一步的學(xué)習(xí)。

如，一位教師上“同類項(xiàng)”這一節(jié)，在課后小結(jié)時(shí)，先舉了一個(gè)例子：“上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了降冪排列，如果說降冪排列好比是同學(xué)們按照個(gè)子高低排隊(duì)，那么今天學(xué)習(xí)的同類項(xiàng)可以比作什么？”學(xué)生們立即開展了討論，小結(jié)時(shí)發(fā)言異常踴躍：“同類項(xiàng)好比是按照男生、女生來排隊(duì)。”“同類項(xiàng)好比是賣水果時(shí)橘子歸一類，香蕉歸一類，蘋果歸一類?！苯處熥穯枺骸澳敲赐愴?xiàng)的分類應(yīng)該注意些什么呢？”我想學(xué)生們一定會(huì)對(duì)同類項(xiàng)的分類留下深刻的印象。

（作者單位：永州市零陵區(qū)徐家井小學(xué)）