α穩(wěn)定分布噪聲下數(shù)字頻移鍵控信號的分數(shù)低階循環(huán)譜分析

劉高輝 張娟娟

(西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

α穩(wěn)定分布噪聲下數(shù)字頻移鍵控信號的分數(shù)低階循環(huán)譜分析

劉高輝 張娟娟

(西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

針對α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下數(shù)字通信信號的二階與高階循環(huán)統(tǒng)計特征顯著退化問題,結(jié)合分數(shù)低階矩和共變理論對二進制頻移鍵控(Frequency Shift Keying, FSK)信號的分數(shù)低階循環(huán)譜公式進行了理論推導(dǎo),并對2FSK信號在不同混合信噪比、分數(shù)階因子和特征指數(shù)條件下的分數(shù)低階循環(huán)譜進行了詳細的仿真分析. 理論和仿真結(jié)果表明:2FSK信號分數(shù)低階與二階的循環(huán)譜結(jié)構(gòu)相同,其譜峰對應(yīng)的循環(huán)頻率相同,譜峰的幅度值不同,取決于循環(huán)譜的階因子. 相對于在低混合信噪比下失效的二階循環(huán)譜,分數(shù)低階循環(huán)譜對α穩(wěn)定分布噪聲具有更強的抗干擾性和適用性.

α穩(wěn)定分布噪聲;2FSK信號;分數(shù)低階矩;共變理論;混合信噪比

DOI 10.13443/j.cjors.2017011001

引 言

在傳統(tǒng)的通信信號處理和雷達信號處理領(lǐng)域,信號的背景噪聲都被假定服從高斯分布,這種假設(shè)在大多數(shù)情況下是合理的. 近年來,隨著無線電技術(shù)的飛速發(fā)展,各種各樣的無線通信系統(tǒng)、雷達系統(tǒng)等信息化電子設(shè)備的數(shù)量與日俱增,導(dǎo)致無線系統(tǒng)接收信號的背景噪聲和干擾的強度日益增強,其統(tǒng)計特性在一些極端條件下具有非高斯性和非平穩(wěn)性,如無線系統(tǒng)接收信號中出現(xiàn)的多用戶干擾、大氣低頻噪聲、自然界或人為產(chǎn)生的電磁脈沖噪聲通常表現(xiàn)出非高斯性,其時域波形具有顯著的尖峰特性,其幅度分布的概率密度函數(shù)具有較厚的拖尾特性. 因此,如果在無線通信系統(tǒng)中全部采用高斯分布模型來描述背景噪聲和干擾,將會由于模型與實際噪聲和干擾不匹配而導(dǎo)致所設(shè)計的信號處理算法性能嚴重退化. 利維(Levy)在1925年研究廣義中心極限定理時,首次提出α穩(wěn)定分布的概念,它能夠很好地描述在時域具有顯著尖銳脈沖特性的非高斯噪聲. 因此α=0穩(wěn)定分布的概念在數(shù)學(xué)界得到了廣泛應(yīng)用,但是在信號處理領(lǐng)域并沒有得到發(fā)展和應(yīng)用. 直到1993年經(jīng)由C.L.Nikias等的系列論文[1-3],α穩(wěn)定分布的概念和理論才開始在信號處理領(lǐng)域得到了重視,并且在近十年中得到了迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用.

在無線通信中的各種通信信號由于載波調(diào)制、編碼、分數(shù)采樣等因素,通常為循環(huán)平穩(wěn)信號,其二階和高階循環(huán)統(tǒng)計量是目前進行信號檢測和調(diào)制識別的有力工具[4-9]. 1987年,W.A.Gardner等人詳細介紹了調(diào)幅(Amplitude Modulation, AM)、頻率調(diào)制(Frequency Modulation, FM)、相位調(diào)制(Phase Modulation, PM)、二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)、四進制相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying, QPSK)以及頻移鍵控(Frequency Shift Keying, FSK)等不同類型通信調(diào)制信號的頻譜相關(guān)函數(shù)[4-6]. 但是,在α=0穩(wěn)定分布噪聲背景下,其二階和高階矩不存在. 因此,基于二階統(tǒng)計量有限假設(shè)的信號處理方法(如最小二乘估計,最大似然估計,循環(huán)譜相關(guān)方法等)將會顯著退化,甚至?xí)?dǎo)致錯誤的結(jié)果. 1993年,C.L.Nikias等在文獻[1-3]詳細分析了α穩(wěn)定分布的基本特征以及α穩(wěn)定噪聲下的分數(shù)低階矩理論．文獻[10-11]對高斯噪聲和脈沖噪聲環(huán)境下的QPSK信號的頻譜相關(guān)函數(shù)進行了分析,結(jié)果表明脈沖噪聲對信號的二階循環(huán)譜有很大影響. 文獻[12]對非高斯噪聲下的BPSK信號的循環(huán)譜進行了分析,得到了BPSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜結(jié)構(gòu).

頻移鍵控技術(shù)由于在抗干擾能力和對信道適應(yīng)性等方面的突出優(yōu)點,成為衰落信道下無線通信系統(tǒng)的一種主要調(diào)制技術(shù). 迄今為止,對FSK信號分數(shù)低階循環(huán)譜的理論研究及仿真尚未見報道. 本文在前人的研究基礎(chǔ)上,結(jié)合分數(shù)低階矩理論以及循環(huán)平穩(wěn)理論推導(dǎo)了二進制FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜,并在α穩(wěn)定分布噪聲下,對不同混合信噪比、不同特征指數(shù)α和不同階因子p的條件下對2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜進行了仿真分析.

1 基于共變的α穩(wěn)定分布分數(shù)低階循環(huán)譜定義

1.1α穩(wěn)定分布特征函數(shù)

由于α穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)不存在統(tǒng)一、閉式的解析表示式,因此通常用特征函數(shù)對其進行描述. 標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)定義式為[8]

(1)

1.2 基于共變的分數(shù)低階循環(huán)譜定義

分數(shù)低階矩是一種分析處理非高斯信號的有力工具,若隨機信號的特征指數(shù)為α,則只有階數(shù)小于α的統(tǒng)計矩是有限的.對于α穩(wěn)定分布噪聲下的信號x(t),分數(shù)低階矩定義式為

E[|X|p].

(2)

式中，p為分數(shù)階因子,其取值范圍為0

(3)

式中:τ為時間延遲;p為階因子,其取值范圍為[1,α),α為背景噪聲特征指數(shù),取值范圍為[1,2]. 若COVx,p(t,τ)是關(guān)于t的周期函數(shù),將其展開成傅里葉級數(shù),傅里葉級數(shù)系數(shù)就是信號的分數(shù)低階循環(huán)自相關(guān)函數(shù),其表示式為

(4)

(5)

式中:f為常規(guī)頻率. 顯然,當(dāng)階因子p=2時,分數(shù)低階循環(huán)譜密度函數(shù)即為二階循環(huán)譜密度函數(shù).

2 2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜理論推導(dǎo)

假定2FSK信號x(t)表示為

(6)

(7)

由復(fù)數(shù)過程的〈p〉符號運算定義式x〈p〉=|x|(p-1)·x*可知:

(8)

(9)

將式(8)和式(9)帶入式(7)中,則2FSK信號x(t)的p階共變可表示為

(10)

同理,由實數(shù)過程的〈p〉符號運算定義式

x〈p〉=|x|p·sgnx可知

(11)

(12)

同理可得

(13)

將式(11)、式(12)和式(13)帶入式(10)中,則式(10)可化簡為

(14)

式(14)第一項中求期望部分可以表示為

(15)

因為隨機序列an為廣義平穩(wěn)序列,其自相關(guān)函數(shù)可以表示為Ra(m)=E[anan+m],故式(15)可表示為:

(16)

式(16)中,m=q-n. 同理,式(14)中第二項求期望部分可以表示為

(17)

同理,可得到式(14)中第三項和第四項期望的結(jié)果.

COVx,p(t,τ)=kp1·

(18)

(19)

(20)

式(20)中：β=m/Ts,m為整數(shù). 則式(18)可表示為

Rxx(τ)·[ej2πf2τ+e-j2πf2τ+ej4πf2t+e-j4πf2t].

(21)

對式(21)求傅里葉系數(shù)得

(22)

由于傅里葉級數(shù)的系數(shù)即為循環(huán)自相關(guān)函數(shù),因此,結(jié)合式(20)整理式(22)即可得2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的表達式為

(23)

對式(23)再求一次傅里葉變換,即可得到2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜密度函數(shù).

通過上述2FSK信號分數(shù)低階循環(huán)譜的理論推導(dǎo)可知,當(dāng)循環(huán)頻率ε=β+k時,2FSK信號存在循環(huán)譜線,其中β=m/Ts(m為整數(shù)),k=0、±2f1和±2f2. 顯然循環(huán)譜譜峰對應(yīng)的循環(huán)頻率與2FSK信號的碼元速率和載波頻率有關(guān).

3 2FSK信號分數(shù)低階循環(huán)譜仿真分析

本文采用離散頻域平滑估計算法,對在不同混合信噪比(Mixed Signal-to-Noise Ratio, MSNR)、不同特征指數(shù)α以及不同分數(shù)階因子p條件下2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜進行了計算仿真與分析.

3.1 不同MSNR下分數(shù)階循環(huán)譜曲線

噪聲和信號參數(shù)分別為:特征指數(shù)α=1.8，對稱參數(shù)β=0，分散系數(shù)γ=1和位置參數(shù)δ=0;2FSK信號的載頻f1=154 Hz,載頻f2=205 Hz,符號間隔Ts=0.5 s.

仿真條件為:分數(shù)低階因子p=1.5,數(shù)據(jù)長度N=2 560,頻域平滑點數(shù)為20. 對2FSK信號在 MSNR為[8, 4,-2] dB時分數(shù)低階循環(huán)譜截面如圖1、圖2和圖3所示. 為了對比分析,本文還給出了在相同信號參數(shù)和仿真條件下,MSNR分別為8 dB和4 dB時2FSK信號的二階循環(huán)譜曲線,如圖4和圖5所示.

圖1 MSNR為8 dB時2FSK信號的p=1.5階循環(huán)譜截面

圖2 MSNR為4 dB時2FSK信號的p=1.5階循環(huán)譜截面

圖3 MSNR為-2 dB時2FSK信號的p=1.5階循環(huán)譜截面

圖4 MSNR為8 dB時2FSK信號的二階循環(huán)譜

圖5 MSNR為4 dB時2FSK信號的二階循環(huán)譜

從圖1、圖2和圖3的仿真結(jié)果可以明顯地看出,在α穩(wěn)定分布噪聲下,采用分數(shù)低階循環(huán)譜的算法,當(dāng)混合信噪比大于-2 dB時2FSK信號的循環(huán)譜中譜峰的位置都能夠比較清楚地觀察到. 而從圖4和圖5的仿真結(jié)果可以明顯地看出,在相同的條件下,2FSK信號的二階循環(huán)譜線的譜峰在混合信噪比為8 dB時就已完全看不清．這說明傳統(tǒng)二階循環(huán)譜算法在較高信噪比時已經(jīng)失效,檢測不出來信號所對應(yīng)的譜線．而基于分數(shù)低階循環(huán)統(tǒng)計量的方法在較低信噪比時仍然能夠明顯地檢測出2FSK信號的譜線. 基于分數(shù)低階循環(huán)譜的算法在α穩(wěn)定分布噪聲背景下比二階循環(huán)譜算法更有效.

3.2 不同特征指數(shù)α下分數(shù)階循環(huán)譜曲線

噪聲和信號參數(shù)分別為:特征指數(shù)α=1.8，對稱參數(shù)β=0，分散系數(shù)γ=1和位置參數(shù)δ=0;2FSK信號的載頻f1=154 Hz,載頻f2=205 Hz,符號間隔Ts=0.5 s.

圖6 α=1.6時2FSK信號p=1.5階循環(huán)譜

圖7 α=1.4時2FSK信號p=1.5階循環(huán)譜

圖8 α=1.2時2FSK信號p=1.5階循環(huán)譜

圖9 α=0.8時2FSK信號p=1.5階循環(huán)譜

仿真條件為:分數(shù)低階因子p=1.5,數(shù)據(jù)長度N=2 560,頻域平滑點數(shù)為20. 在特征指數(shù)α分別為[1.6,1.4,1.2,0.8]時,2FSK信號分數(shù)低階循環(huán)譜曲線如圖6、圖7、圖8和圖9所示.

從圖6、圖7、圖8和圖9的仿真結(jié)果可以看出:隨著特征指數(shù)α減小,其循環(huán)譜線變得越來越不明顯,當(dāng)α<1時,信號的譜線完全淹沒在噪聲當(dāng)中.這是因為α穩(wěn)定分布噪聲的特征指數(shù)α越小,脈沖特性越強,對譜線的影響就越大,而且本文基于共變的算法也只適用于α>1的情況．仿真結(jié)果與理論分析相一致.

3.3 不同分數(shù)低階因子p下循環(huán)譜曲線

噪聲和信號參數(shù)分別為:特征指數(shù)α=1.8，對稱參數(shù)β=0，分散系數(shù)γ=1和位置參數(shù)δ=0;MSNR為4 dB,信號載頻f1=154 Hz和f2=205 Hz,符號間隔Ts=0.5 s.

仿真條件為:數(shù)據(jù)長度N=2 560,頻域平滑點數(shù)為20. 在分數(shù)階因子p為1.8和1.5時,2FSK信號分數(shù)低階循環(huán)譜曲線如圖10和圖11所示.

從圖10和圖11的仿真結(jié)果可以看出:分數(shù)階因子p只對循環(huán)譜的峰值有所影響,并不會影響循環(huán)譜峰的位置,而且p值越大,循環(huán)譜峰值也越大.

圖10 α=1.8時2FSK信號p=1.8階循環(huán)譜

圖11 α=1.8時2FSK信號p=1.5階循環(huán)譜

4 結(jié) 論

本文結(jié)合分數(shù)低階矩和共變理論對α穩(wěn)定分布噪聲下2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜進行了理論推導(dǎo),并對2FSK信號在不同混合信噪比、分數(shù)階因子和特征指數(shù)條件下的分數(shù)低階循環(huán)譜進行了詳細的仿真分析. 從仿真結(jié)果中可以得到以下結(jié)論:1)2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜和二階循環(huán)譜具有相同的譜結(jié)構(gòu),二者的循環(huán)頻率相同,只是譜線峰值有所不同,其值取決于分數(shù)階因子p;2)在α穩(wěn)定分布噪聲下,MSNR為8 dB時2FSK信號的二階循環(huán)譜線已經(jīng)完全淹沒在噪聲里面,而在相同條件下基于分數(shù)低階循環(huán)統(tǒng)計量的方法在MSNR為-2 dB時仍然能夠明顯地檢測出2FSK信號的循環(huán)譜線;3)隨著特征指數(shù)α的減小,信號的分數(shù)階循環(huán)譜線變得越來越不明顯,當(dāng)α<1時,循環(huán)譜線完全被淹沒;4)分數(shù)階因子p對循環(huán)譜峰位置沒有影響,只是對譜峰的數(shù)值有所影響. 這些仿真結(jié)果表明α穩(wěn)定分布噪聲下2FSK信號的分數(shù)低階循環(huán)譜的結(jié)構(gòu)、循環(huán)頻率、循環(huán)譜峰值等可以作為MFSK信號的識別、參數(shù)估計和檢測的特征量,相對于二階循環(huán)譜,分數(shù)低階循環(huán)譜特征對α穩(wěn)定分布噪聲具有更強的抗干擾性和適用性.

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張娟娟 (1992-),女,甘肅人,西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院碩士研究生,研究方向為通信信號處理.

Fractional lower order cyclic spectrum analysis of digital frequency shift keying signals under the alpha stable distribution noise

LIU Gaohui ZHANG Juanjuan

(SchoolofAutomationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)

Aiming at the significant degradation of the statistical characteristics of the second and higher order cycle of the digital communication signal in the alpha stable distributed noise environment, the fractional lower-order cyclic spectrum formula of the frequency shift keying(FSK) signal is deduced with the fractional lower-order moments and the covariant theory. Then, the low-order cyclic spectrum characteristics of 2FSK signal under different mixed signal-to-noise ratios, fractional factors and characteristic exponents were analyzed in detail. The theory and simulation results show that the low-order and second-order cyclic spectrum structures of the 2FSK signal are the same, and the peak frequencies of the 2FSK signal are the same, but the amplitude of the spectrum is different that depending on the order factor of the cyclic spectrum. Fractional lower-order cyclic spectrum has stronger anti-interference and applicability to alpha stable distributed noise.

alpha stable distribution noise; 2FSK signal; fractional lower order moment; covariant theory; mixed signal-to-noise ratio

2017-01-10

國家自然科學(xué)基金(No.61671375)

10.13443/j.cjors.2017011001

TN911.7

A

1005-0388(2017)01-0065-08

劉高輝 (1968-),男,陜西人,西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院副教授,博士,研究方向為通信信號處理和雷達信號處理.

聯(lián)系人： 劉高輝 E-mail: liugh68@xaut.edu.cn

劉高輝, 張娟娟.α穩(wěn)定分布噪聲下數(shù)字頻移鍵控信號的分數(shù)低階循環(huán)譜分析[J]. 電波科學(xué)學(xué)報,2017,32(1):65-72.

LIU G H, ZHANG J J. Fractional lower order cyclic spectrum analysis of digital frequency shift keying signals under the Alpha stable distribution noise[J]. Chinese journal of radio science,2017,32(1):65-72. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2017011001