基于Duhamel積分的地震作用下車橋耦合振動分析

謝智奕， 沈火明

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，四川成都 610031)

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基于Duhamel積分的地震作用下車橋耦合振動分析

謝智奕， 沈火明

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，四川成都 610031)

文章應(yīng)用達朗貝爾原理推導(dǎo)了6自由度車輛模型，應(yīng)用有限元法推導(dǎo)了橋梁模型，應(yīng)用逆迭代法求解兩個系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率，采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中，最后通過Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)，通過算例與傳統(tǒng)Newmark-β法相對比，結(jié)果表明：通過本文方法計算的地震作用下車橋耦合的動力響應(yīng)結(jié)果與傳統(tǒng)Newmark-β法的結(jié)果接近，極值點誤差范圍在5 %以內(nèi)。

車橋耦合； 地震作用； Duhamel積分； Newmark-β法； 振型疊加法

隨著高速鐵路的大量普及，客運列車向著高速化、貨運列車向著重載化的方向發(fā)展，車橋耦合問題已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點[1-6]。而地震作用會對橋梁造成嚴重破壞，極大地影響橋梁上車輛行駛的安全，因此對地震作用下的車橋耦合問題研究具有重要意義。地震波在地面的運動是一種復(fù)雜的空間運動，地震加速度不僅包括水平向分量，還包括豎向分量。根據(jù)大量資料及研究[1-5]、[10]，雖然水平作用對橋梁結(jié)構(gòu)的影響最大，但是當(dāng)車輛行駛在橋梁上時，地震的豎向作用對車輛行駛危害也非常大，甚至?xí)斐擅撥壩ｋU，極大地威脅著車輛及乘客的安全，所以本文主要研究地震的豎向作用。目前研究地震作用下的車橋耦合問題通常采用的是Newmark積分法等逐步積分法，但是該方法對時間精度的要求較高，而一些地震波的記錄由于持時較長，所取時間間隔也相對較長，這就影響了計算的精確度。本文采用基于Duhamel積分的車橋耦合動力分析方法，該方法能顯著提高積分步長[6]，從而解決了地震波記錄數(shù)據(jù)時間間隔的問題。

1 Duhamel積分法[6]

設(shè)一低阻尼單自由度系統(tǒng)的運動方程為

(1)

其中m、k、c是系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼，z為位移，f(t)為荷載力。整理得到：

(2)

將式(2)的解用Duhamel積分展開并整理得到：

(3)

求導(dǎo)得到：

(4)

式中：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

這里假設(shè)荷載在(t, t+Δt)內(nèi)是線性變化的，有

(10)

通過式(10)可以確定參數(shù)a，b的值。對于某確定結(jié)構(gòu)，其ω、ξ為定值，在Δt不變的情況下，計算中的H、Q和P也保持不變，根據(jù)式(3)和式(4)將上一時刻的動力響應(yīng)帶入計算可得下一時刻的動力響應(yīng)，在整個時間段內(nèi)依次積分最后得全時間段的動力響應(yīng)。

2 車橋耦合模型

2.1 橋梁模型

橋梁系統(tǒng)包括主梁、橋墩和支座，本文在計算時不考慮支座和墩高對車橋耦合的影響，故設(shè)橋墩與主梁剛結(jié)，橋墩與主梁參數(shù)一致。采用平面剛架單元建立橋梁有限元模型，其位移向量為[ui,vi,θi,uj,vj,θj]T，單元內(nèi)部點的位移計算采用Hermite插值[7]計算，質(zhì)量矩陣采用一致質(zhì)量矩陣，其單位質(zhì)量矩陣為：

(11)

橋梁阻尼采用Rayleigh阻尼，

CB=a0MB+a1KB

(12)

ωm、ωn為橋梁系統(tǒng)前兩階自振頻率，MB、KB分別為橋梁的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

2.2 車輛模型

車輛系統(tǒng)采用剛體-彈簧-阻尼的整車模型，由于沿車輛運行方向的縱向振動對橋梁的豎向振動影響極小，并且車輛豎向與橫向振動之間的耦合效應(yīng)較弱，因此本文在計算時將車橋耦合振動響應(yīng)分為豎向與橫向兩個平面振動，所以在車橋耦合振動分析中，僅分析車輛的浮沉與點頭2個自由度，包括車體及前后轉(zhuǎn)向架共6個自由度。假設(shè)兩轉(zhuǎn)向架的一、二系彈簧剛度、阻尼系數(shù)相同，采用達朗貝爾原理推導(dǎo)其質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，得到車輛系統(tǒng)的運動方程[1]。

2.3 車橋耦合模型

橋梁與車輛系統(tǒng)的運動方程為：

(13)

(14)

式中下標(biāo)B、V分別代表橋梁系統(tǒng)和車輛系統(tǒng)，F(xiàn)BV和FVB為車輛與橋梁的相互作用力。

兩個系統(tǒng)通過輪軌接觸相聯(lián)系，本文不考慮軌道不平順的影響，對兩個系統(tǒng)采用振型疊加法，將其運動方程化為模態(tài)運動方程[6]。

對于橋梁系統(tǒng)，設(shè)其為正交阻尼結(jié)構(gòu)，采用逆迭代法求解系統(tǒng)的振型ΦB和自振頻率ωB，假設(shè)各階模態(tài)阻尼比為ξB，設(shè)橋梁的廣義振型坐標(biāo)列向量為qB，則位移向量可表示為：

(15)

將式(15)代入式(13)中，可以得到橋梁系統(tǒng)的模態(tài)運動方程：

(16)

對于車輛系統(tǒng)，由于其阻尼矩陣CV不具有正交性，因此引入假定的車輛阻尼比ξV，并將式(14)中的阻尼相移動到右端，再進行同樣的模態(tài)變換，可以得到車輛系統(tǒng)的模態(tài)運動方程：

(17)

3 地震激勵的輸入

地震激勵的輸入采用加速度輸入模式[8]，直接運用實測地震波的加速度時程，不考慮行波效應(yīng)，廣義地震力[5]為：

(18)

4 算例

選取單節(jié)四軸列車在地震作用下通過一32 m的簡支梁橋作為算例，地震波選取典型強震記錄El-Centro波輸入，采用縱向+豎向一致輸入，豎向地震加速度時程與縱向一致，但加速度峰值取0.65倍。不考慮軌道不平順，車速v取50 m/s，車輛信息見文獻[9]。橋梁彈性模量E取35 GPa，橫截面積A為4.8 m2，截面抗彎慣性矩I取22 m4，密度取2 600 kg/ m3，橋梁劃分為長度一致的320個梁單元，取前20階模態(tài)，各階模態(tài)阻尼比取為0.05。當(dāng)?shù)卣痖_始時列車上橋，地震持時50 s，步長取與地震波記錄時間間隔一致為0.02 s。為驗證本方法的正確性，將本文方法與傳統(tǒng)Newmark-β法的結(jié)果作對比，計算結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 Newmark-β法計算的橋梁跨中豎向加速度時程

圖2 本文方法計算的跨中加速度時程

從圖1和圖2可見，本文的方法和傳統(tǒng)Newmark-β法求得的地震作用下車橋耦合動力響應(yīng)結(jié)果非常接近，極值點的誤差范圍在5 %以內(nèi)，說明本文的方法可行。

5 結(jié)束語

應(yīng)用達朗貝爾原理推導(dǎo)了6自由度車輛模型，應(yīng)用有限元法推導(dǎo)了橋梁模型，應(yīng)用逆迭代法求解兩個系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率，采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中，最后通過Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)，并與傳統(tǒng)Newmark-β法相對比，驗證了本文方法的可行性。

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謝智奕(1991～)，男，碩士研究生，研究方向為噪聲與振動控制。

沈火明(1968～)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為結(jié)構(gòu)振動與控制。

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[定稿日期]2017-03-25