高中數(shù)學(xué)教學(xué)“直覺(jué)思維”的培養(yǎng)策略分析

周繼宗

[摘 要] “直覺(jué)思維”看似是最簡(jiǎn)單的思維方式，其實(shí)不簡(jiǎn)單，看上去取決于智力，其實(shí)可以培養(yǎng). 雖然在進(jìn)行問(wèn)題分析和解決過(guò)程中僅僅是瞬間的光芒，卻是學(xué)生思維長(zhǎng)期積累的必然和升華，是學(xué)生多元化思維過(guò)程高度簡(jiǎn)化的產(chǎn)物，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中往往需要這種靈光一現(xiàn).

[關(guān)鍵詞] 直覺(jué)思維；高中數(shù)學(xué)；知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；思維

什么是直覺(jué)思維？對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維？這是我們每個(gè)高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該要重點(diǎn)考慮的話題. 研究表明，直覺(jué)思維是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)現(xiàn)象等思維對(duì)象從整體上觀察、思考，在這一過(guò)程中學(xué)生調(diào)動(dòng)了己有的全部知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在大腦中與豐富的表象進(jìn)行匹配，最后做出的敏銳且迅速的判斷. 說(shuō)其敏銳且迅速是因?yàn)檫@一過(guò)程省去了諸多分析與推理的環(huán)節(jié)，這是一種“跳躍式”思維形式，雖然判斷的結(jié)果可能與正確的結(jié)果有一定的出入，但是卻已經(jīng)觸及到了事物或數(shù)學(xué)事件的“本質(zhì)”，由此出發(fā)就會(huì)有所創(chuàng)新. 理論研究和實(shí)驗(yàn)表明，有效地培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維有助于提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力. 那么，如何培養(yǎng)與提升學(xué)生的直覺(jué)思維呢？本文就該話題談幾點(diǎn)筆者的思考.

重視雙基教學(xué)，促進(jìn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)搭建

數(shù)學(xué)知識(shí)是成塊且具有系統(tǒng)性的，要想學(xué)生有靈光一現(xiàn)必須要有豐富且完整的知識(shí). 直覺(jué)并非依賴于機(jī)遇、奇緣，扎實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ)才能產(chǎn)生直覺(jué)，即使是具有的偶然性頓悟，也必定不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想，依賴于扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)作為直覺(jué)思維發(fā)展的基礎(chǔ). 我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要善于引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)出發(fā)，尤其關(guān)注處于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)“結(jié)點(diǎn)”位置的重、難點(diǎn)知識(shí)，通過(guò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建讓知識(shí)在學(xué)生的頭腦中形成有序的、不易混亂的結(jié)構(gòu).

例如，我們?cè)诤蛯W(xué)生一起學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，對(duì)于開(kāi)篇之作“空間幾何體”的學(xué)習(xí)就需要引導(dǎo)學(xué)生搭建有序的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，而知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)就是柱、錐、臺(tái)和球體，這些簡(jiǎn)單的幾何體是構(gòu)成復(fù)雜幾何體的本源. 為了引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，我們可以采用概念圖的方式.

首先將“空間幾何體”的學(xué)習(xí)分為三個(gè)組塊：①結(jié)構(gòu)；②三視圖和直觀圖；③表面積和體積. 每個(gè)組塊可視作為一個(gè)結(jié)點(diǎn)，由此出發(fā)在每個(gè)組塊上再進(jìn)行細(xì)分，逐步向外發(fā)散. 例如，“結(jié)構(gòu)”這個(gè)組塊可以構(gòu)建如圖1所示的概念圖.

？搖要想學(xué)生的直覺(jué)思維能夠得到有效的培養(yǎng)，我們?cè)陔p基教學(xué)的過(guò)程中一定不能急、快，尤其是數(shù)學(xué)概念教學(xué). 概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象的特點(diǎn). 每一個(gè)數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中都占有一定的地位，與其他概念之間存在著必然的聯(lián)系，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的獲得往往是通過(guò)自己的觀察、感知、體驗(yàn)、抽象和概括等過(guò)程. 將新的概念與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立聯(lián)系，這一整個(gè)過(guò)程都離不開(kāi)學(xué)生直覺(jué)思維的參與. 我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中適當(dāng)?shù)胤啪徆?jié)奏，讓學(xué)生的直覺(jué)思維伴隨著其認(rèn)知的發(fā)展而發(fā)展.

強(qiáng)化引導(dǎo)與點(diǎn)撥，鼓勵(lì)多角度思考與猜測(cè)

為什么有些學(xué)生思維靈活，遇到問(wèn)題靈感來(lái)得特別快，而有些學(xué)生的靈感來(lái)得就有些慢呢？其根本原因就在于學(xué)生的思維視角的維度和廣度存在著差異，如何培養(yǎng)和克服呢？

學(xué)習(xí)過(guò)程中，尤其是學(xué)生在解決一個(gè)較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，不可避免地會(huì)碰壁. 遇到困難，這很正常，因?yàn)閷W(xué)生處于知識(shí)學(xué)習(xí)和方法積累的進(jìn)程中，所以會(huì)因知識(shí)的缺陷或方法的偏差導(dǎo)致問(wèn)題一時(shí)無(wú)法解決或出現(xiàn)暫時(shí)性困難，怎么辦？筆者認(rèn)為，這個(gè)時(shí)候恰恰是我們教師教學(xué)的契機(jī)，應(yīng)該在此時(shí)給學(xué)生足夠多的鼓勵(lì)，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難進(jìn)行猜想. 當(dāng)然，猜想也不是漫無(wú)邊際地瞎猜，要有數(shù)學(xué)味，可以從結(jié)構(gòu)、形式、特征、方法等角度入手. 猜想的過(guò)程是已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行組合、調(diào)用的過(guò)程，是將眼前的數(shù)學(xué)問(wèn)題與前面類(lèi)似問(wèn)題進(jìn)行比較和歸納尋求新突破的過(guò)程.

例如，三角恒等變換中有這樣一道習(xí)題：求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）.

學(xué)生在這章節(jié)學(xué)習(xí)了較多的三角公式，但是這道題從表面上看與學(xué)生在本章節(jié)習(xí)得的任意一個(gè)三角公式都沒(méi)有直接的關(guān)聯(lián)，這恰恰是這道題的難點(diǎn)所在.學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手，怎么辦？為了提高學(xué)生的思維品質(zhì)，筆者認(rèn)為，此時(shí)必須給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生嘗試著分析題目的表面結(jié)構(gòu)，將思維的觸角伸向三角恒等變換的公式上去，因?yàn)橹灰獙W(xué)生能夠有意識(shí)地將前面的括號(hào)打開(kāi)并變化得到（1+tan1°）（1+tan2°）=（tan1°+tan2°+1+tan1°·tan2°），大多數(shù)學(xué)生就可以由此發(fā)散并聯(lián)想到這個(gè)表達(dá)式與正切的兩角和公式tan（α+β）=有相似之處. 只要學(xué)生進(jìn)一步將該分式變?yōu)檎骄涂梢粤?，這是解決這道習(xí)題的新進(jìn)展. 但是隨之而來(lái)的難點(diǎn)又出現(xiàn)了，即新角度3°怎么辦？學(xué)生有了前面解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，自然會(huì)嘗試著去打開(kāi)相乘的括號(hào)，問(wèn)題是選擇哪兩個(gè)相乘的括號(hào)呢？在這樣的問(wèn)題引領(lǐng)下，學(xué)生探究的方向會(huì)變得明確，最終找到正確的解決問(wèn)題的辦法. 這樣不僅僅解決了問(wèn)題，得到了答案，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生得到更多的是情感體驗(yàn)和能力提升.

從學(xué)生思維發(fā)展的要求來(lái)看，為了有效地促進(jìn)學(xué)生直覺(jué)思維能力的發(fā)展，教師應(yīng)該在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中給予盡可能多的引導(dǎo)，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去猜測(cè)正確的答案，分析和檢驗(yàn)自己的猜想.

主動(dòng)變式訓(xùn)練，提升學(xué)生思維的深度與廣度

直覺(jué)思維依賴于平時(shí)學(xué)生的積累，當(dāng)然還需要學(xué)生的思維有一定的深度與廣度，除了要注重基礎(chǔ)知識(shí)和方法的訓(xùn)練外，筆者認(rèn)為我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中，還應(yīng)該密切注意學(xué)生的動(dòng)態(tài). 正如上文所述，在學(xué)生遇到問(wèn)題的時(shí)給予適當(dāng)?shù)奶崾竞蛶椭? 當(dāng)然，也可以采用變式訓(xùn)練的方式，讓學(xué)生的思維先繞出去，然后再繞回來(lái)，實(shí)現(xiàn)原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與現(xiàn)有問(wèn)題的解題方法能夠有效地銜接.

例如，求（1）sin1110°，（2）sin1290°，同時(shí)想一想兩者之間是否存在著一定的聯(lián)系.

這個(gè)題目，對(duì)于學(xué)生而言難么？如果我們仔細(xì)觀察學(xué)生的解答，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生剛開(kāi)始是可以完成部分解答的，能很順利地完成如下步驟：

（1）sin1110°=sin（30°+3×360°）=sin30°=；

（2）sin1290°=sin（210°+3×360°）=sin210°.

接下來(lái)“分析和認(rèn)識(shí)這兩者間存在的聯(lián)系”，很多學(xué)生出現(xiàn)了困難，說(shuō)明學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中思維的深度不夠，怎么辦？為了促進(jìn)學(xué)生的思維能夠有序發(fā)展，增加思維的廣度與深度，可以采用如下的變式訓(xùn)練：

變式1：210°用30°如何表示？

變式2：210°角與30°角的終邊有怎樣的關(guān)系？

變式3：210°角與30°角的終邊交單位圓于兩點(diǎn)A1，A2，請(qǐng)分析這兩點(diǎn)有著怎樣的關(guān)系；設(shè)A1（x，y），求A2的坐標(biāo).

學(xué)生通過(guò)這三個(gè)變式的思考，對(duì)問(wèn)題的研究逐漸深入，最后也很自然地得到了“sin30°與sin210°互為相反數(shù)”的結(jié)論，對(duì)于原問(wèn)題“sin1110°與sin1290°之間的關(guān)系”也就自然找到了.

找到了兩者之間的關(guān)系，這個(gè)問(wèn)題是解決了，但這并非是學(xué)生思維的終點(diǎn)，筆者認(rèn)為我們還應(yīng)該由此發(fā)散出去，近一步追問(wèn)，將學(xué)生的思維引向更深處.

追問(wèn)：如果對(duì)于任意角α呢，情況怎樣？sinα與sin（180°+α）有著怎樣的關(guān)系呢？借助于這些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)遷移、類(lèi)比、推理等一系列過(guò)程就很自然地將思維向前推進(jìn)，并取得良好的教學(xué)效果，學(xué)生從特殊到一般推得誘導(dǎo)公式，有足夠的情感體驗(yàn)，記憶會(huì)更加深刻、有效.

總之，學(xué)生直覺(jué)思維的培養(yǎng)并非一朝一夕，除了正常的教學(xué)上的知識(shí)和能力的指導(dǎo)外，我們教師還應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生形成自我反思和提問(wèn)的意識(shí). 培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維要從基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)、能力和思維練起，遵循循序漸進(jìn)的原則，不能拔苗助長(zhǎng). 對(duì)學(xué)生思維能力提升目標(biāo)的制定也要遵循由低到高的原則，要在學(xué)生的能力范圍之內(nèi)，還要幫助學(xué)生制定學(xué)習(xí)內(nèi)容和具體可行的學(xué)習(xí)步驟，包括怎樣科學(xué)地安排訓(xùn)練時(shí)間，怎樣選擇有效的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法與措施等，使學(xué)習(xí)目標(biāo)成為一種可操作和可實(shí)現(xiàn)的程序設(shè)計(jì). 當(dāng)然，我們還要注意到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中對(duì)學(xué)生直覺(jué)思維也有多方面的影響，尤其是要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題的過(guò)程要有反思與自我監(jiān)控意識(shí). 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，思維培養(yǎng)的過(guò)程也不是一帆風(fēng)順的. 學(xué)習(xí)和思維培養(yǎng)的過(guò)程中，學(xué)生難免會(huì)遇到挫折，這時(shí)要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)正確地歸因，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不良結(jié)果首先歸因于自身努力程度和自信心等內(nèi)部因素，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.