多角度透視問(wèn)題，多層次提升能力

蔣智東

[摘 要] 本節(jié)課通過(guò)對(duì)二元（多元）函數(shù)的最值問(wèn)題中條件等式和目標(biāo)函數(shù)式的認(rèn)知與解讀，在相同背景條件下，促使學(xué)生多角度、多層次透視問(wèn)題，形成對(duì)問(wèn)題的多元理解，深化對(duì)知識(shí)和方法本質(zhì)的理解. 學(xué)生的能力也有一個(gè)逐層提高的過(guò)程，既有基本方法的熟化，也有類比、聯(lián)想等的建構(gòu)提升，更有函數(shù)與方程等思想方法的延拓.

[關(guān)鍵詞] 多角度透視問(wèn)題；多元理解；多層次能力提升

2016年4月1日，蘇州市教科院在江蘇省梁豐中學(xué)舉行了高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)研討活動(dòng)，本人開設(shè)了一節(jié)“微專題”《二元（多元）函數(shù)最值問(wèn)題》的展示課. 本節(jié)課通過(guò)對(duì)二元（多元）函數(shù)的最值問(wèn)題中條件等式和目標(biāo)函數(shù)式的認(rèn)知與解讀，旨在相同背景條件下，促使學(xué)生多角度、多層次透視問(wèn)題，形成對(duì)問(wèn)題的多元認(rèn)識(shí)，深化對(duì)知識(shí)和方法本質(zhì)的理解，找到解決問(wèn)題的不同途徑. 在這一過(guò)程中，學(xué)生的能力有一個(gè)逐層提高的過(guò)程，既有基本方法的熟化，也有類比、聯(lián)想等的建構(gòu)提升，更有函數(shù)與方程等思想方法的延拓，有效提升學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的處理能力.

基本情況

授課班級(jí)為四星級(jí)學(xué)校強(qiáng)化班，學(xué)生具有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和解題能力.

教學(xué)目標(biāo)？搖

（1）二元（多元）函數(shù)的最值問(wèn)題典型題解法探討，進(jìn)一步掌握利用函數(shù)方法、基本不等式、判別式法、幾何意義等求目標(biāo)式的最值，在學(xué)習(xí)中體會(huì)、整理，在整理、體會(huì)中走向內(nèi)化；

（2）通過(guò)消元、換元、減元、主元、整體結(jié)構(gòu)建構(gòu)等手段，實(shí)現(xiàn)表象與本質(zhì)的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的轉(zhuǎn)化思想.

教學(xué)重點(diǎn)

掌握利用函數(shù)方法、基本不等式、判別式法、幾何意義等求二元（多元）函數(shù)最值的方法.

教學(xué)難點(diǎn) 不同方法的認(rèn)識(shí)與形成.

本節(jié)課通過(guò)搜集整理，設(shè)計(jì)問(wèn)題、課前預(yù)習(xí)，獨(dú)立思考、反饋信息，設(shè)計(jì)教學(xué)、課堂交流，互學(xué)互賞等環(huán)節(jié)，展示思維，引導(dǎo)學(xué)生多角度透視問(wèn)題，多層次提升能力.

教學(xué)過(guò)程

課前導(dǎo)語(yǔ) 解題分析起步于對(duì)問(wèn)題的有效感知與觀察，只要善于變換角度，仔細(xì)觀察，抓住自己熟悉的題目特征，聯(lián)想大腦里儲(chǔ)存的知識(shí)與技能信息，就能較快地形成解題方案，今天就讓我們從一道典型的求二元（多元）函數(shù)最值的題目說(shuō)起.

問(wèn)題呈現(xiàn)1：若a>0，b>0，且+=1，則a+2b的最小值為_______.

學(xué)生分組討論，挖掘多種解法，用實(shí)物投影儀演示并交流想法.

生1：兩個(gè)變量的問(wèn)題，從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上講很容易想到基本不等式，有整式有分式的結(jié)構(gòu)可利用常值代換通過(guò)相乘的方法化為“倒數(shù)和形式”.

由+=1，得a+2b=（a+2b）·+=+

=+

=2-++≥+.

師：上述過(guò)程中，你有什么感受？

生1：實(shí)施“1”的代換后，需要進(jìn)行兩次“倒數(shù)和形式”的建構(gòu)，有驚無(wú)險(xiǎn).

師：這倒是與以往解決這類題目有所不同.

生2：如果先用2a+b，b+1來(lái)表示a+2b，構(gòu)造一次就可以了.

a+2b=（2a+b）+（b+1）-，所以就轉(zhuǎn)化為求（2a+b）+（b+1）的最小值了，

（2a+b）+（b+1）·+=2++≥2+，

所以a+2b≥+.

生3：可以通過(guò)換元（整體代換），就能轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的問(wèn)題.

令x=2a+b，y=b+1，則有x>0，y>1，且+=1. 解得a=（x-y+1），b=y-1，

所以a+2b=（x+3y）-.

而x+3y=（x+3y）+=4++≥4+2.

師：剛才三位同學(xué)的切入點(diǎn)是一致的，都是通過(guò)常值“1”的代換，將目標(biāo)函數(shù)化為“倒數(shù)和形式”，然后利用基本不等式來(lái)求最值，形式上一個(gè)比一個(gè)顯得簡(jiǎn)潔.

設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，在學(xué)情反饋的基礎(chǔ)上選擇學(xué)生中大眾化的方法，采取由學(xué)生主講和補(bǔ)充的方法來(lái)促進(jìn)學(xué)生優(yōu)化自己的解題方案，并且從中認(rèn)清方法和問(wèn)題的本質(zhì)，提升思維能力.

師：其實(shí)這個(gè)問(wèn)題的解決方法是多樣的，同學(xué)們還可以從條件等式上再來(lái)做些觀察.

生4：遇到兩個(gè)非零實(shí)數(shù)相加為定值的時(shí)候可以想到三角換元（減元），繼續(xù)構(gòu)造倒數(shù)和形式.

令=cos2θ，=sin2θ，b=-1，a=-+1，

a+2b=-+1+-2=·+·-

=·+·-=++≥+.

生5：已知兩個(gè)變量的等式，也可用等量代換來(lái)實(shí)現(xiàn)消元.

+=1，所以=，所以2ab+b2=1+b，

所以a=-b++1，

a+2b=-b++1+2b=b++≥2+=+.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將思考觀察的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到條件等式上來(lái)，繼續(xù)挖掘利用基本不等式求最值的方法.

師：上面的各種方法，無(wú)論是從條件等式出發(fā)，還是從目標(biāo)函數(shù)出發(fā)，最后都是在利用基本不等式求最值，那么，對(duì)于條件等式，我們還有沒(méi)有一些其他的認(rèn)識(shí)呢？

生6：將問(wèn)題中多個(gè)變量中的一個(gè)看作變量（主元），將其他的量看作參量，運(yùn)用函數(shù)、不等式、方程等相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

由+=1得b2+2ab-b=1. 令a+2b=t，則a=t-2b.

由a>0，b>0，有t>a且t>2b.

由b2+2ab-b=1，有3b2+（1-2t）b+1=0. 當(dāng)上述關(guān)于b的方程有正根時(shí)，令f（b）=3b2+（1-2t）b+1，因?yàn)閒（0）=1>0，所以有（1-2t）2-12≥0，->0，解得：t≥+，經(jīng)檢驗(yàn)滿足t>a且t>2b（教師幫助完善）.

生7：多變量的問(wèn)題，也可以從函數(shù)的角度來(lái)理解，特別是二元一次的線性函數(shù).

把a(bǔ)看作b的函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)遞減、過(guò)定點(diǎn)1，，圖像如圖1：（因?yàn)閍，b為正）

圖1

z=a+2b，所以a=-2b+z，表示此直線的縱截距的最小值，即a=-2b+z與a=·-b++1相切時(shí)最小.

a′=-1-，所以-1-= -2，b=，a=-++1，

a+2b=+-++1=+（教師幫助完善）.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生往往會(huì)囿于題型固有的模式，套用一些成熟的方法，教師引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)條件等式的再認(rèn)識(shí)入手，尋求新的方法.

問(wèn)題呈現(xiàn)2：已知a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4，則2a+b+c的最小值為________.

學(xué)生分組討論，教師巡視，然后交流展示.

生8：已知為二次式，所求為一次式，故有（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+4ac+2bc=4（a2+ab+bc+ac）+b2+c2-2bc=4×4+（b-c）2≥16. 因?yàn)閍，b，c>0，所以2a+b+c≥4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào). 所以2a+b+c的最小值為4.

生9：可以用消元法. 由已知得：c=，

所以，2a+b+c=2a+b+=（a+b）+≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=2，a+c=2，即b=c時(shí)取等號(hào).

生10：也可以用配湊法. 已知可化為（a+b）（a+c）=4，所以可配成2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c，即b=c時(shí)取等號(hào).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型題目，向?qū)W生介紹解決三元函數(shù)問(wèn)題的基本策略──減元、轉(zhuǎn)化.

課堂小結(jié)

師：我們今天研究了一類二元（多元）函數(shù)最值問(wèn)題的解法，這類問(wèn)題有什么特征？

生：二元函數(shù)題目條件是兩個(gè)“變量”的“倒數(shù)和”是定值，問(wèn)題是求兩個(gè)變量的線性目標(biāo)函數(shù)的最值；三元函數(shù)題目條件是二次式，而目標(biāo)函數(shù)是一次式.

師：都分別用到了哪些方法？

生：對(duì)于二元函數(shù)，上面例題展示的方法有：

（1）？搖通過(guò)整體代換、常量代換、三角代換，利用基本不等式來(lái)求最值；

（2）？搖把“變量”的“倒數(shù)和”是定值的形式，化歸為函數(shù)表達(dá)式，可以用基本不等式或是函數(shù)方法結(jié)合二元線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值；

（3）目標(biāo)式是二元線性目標(biāo)函數(shù)，還可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問(wèn)題，利用判別式法求最值.

對(duì)于三元函數(shù)，二次與一次的對(duì)接以及通過(guò)消元達(dá)到減元是基本方法，而配湊法屬于較高層次的要求.

師：二元（多元）函數(shù)的最值問(wèn)題的解決方法主體上就是通過(guò)消元、減元、換元、主元、整體結(jié)構(gòu)的建構(gòu)等手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 大體上可分為數(shù)與形兩類，從數(shù)的角度看，多將目標(biāo)式化歸為一元或二元函數(shù)，利用函數(shù)方法、基本不等式或方程等方法求最值；從形的角度則多從條件出發(fā)尋求目標(biāo)式或是變形式的幾何意義，如斜率、截距、面積等來(lái)求解.

教學(xué)反思

1. 在精選例題中考慮提高效率

二元（多元）函數(shù)的最值問(wèn)題內(nèi)涵豐富、方法多樣. 變化多源于對(duì)條件等式和目標(biāo)函數(shù)式的不同認(rèn)知與解讀. 問(wèn)題的解決基本上都是通過(guò)三種代換（整體代換、常量代換、三角代換）轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求解，或是直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程層面解決. “微專題”復(fù)習(xí)課應(yīng)具有回顧、整理、拓展加深的要求，因此，設(shè)計(jì)條件固定、解法多樣（涵蓋面廣）的題目，可以避免一題一法，減少不同背景條件，可以促使學(xué)生在熟悉的條件下，進(jìn)行多角度、深層次的探究和思考. 同時(shí)，這些題目具有一題多解功能，通過(guò)一題多解，發(fā)散學(xué)生思維. 結(jié)合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，選配這些例題不在于“訓(xùn)練”和“強(qiáng)化”已經(jīng)形成的內(nèi)部心理機(jī)制，而在于激發(fā)、鼓勵(lì)形成目前還不存在的心理機(jī)制，使學(xué)生可以“跳一跳，摘到桃”.

2. 在問(wèn)題探究中考慮過(guò)程體驗(yàn)

課堂教學(xué)以問(wèn)題為中心、以問(wèn)題為線索，采用“問(wèn)題+探究”的教學(xué)模式.要關(guān)注學(xué)生獲得知識(shí)的渠道，引領(lǐng)學(xué)生在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；要關(guān)注學(xué)生獲得知識(shí)的形態(tài)，引領(lǐng)學(xué)生在自己動(dòng)手實(shí)踐“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)，體驗(yàn)成功的喜悅. 在這一過(guò)程中，學(xué)生個(gè)人的思考有時(shí)是不全面的，甚至是不深入、不到位的，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生相互交流、集思廣益，通過(guò)相互討論完善方法. 教師更重要的價(jià)值在于：在學(xué)生有困難時(shí)能給予恰如其分的點(diǎn)撥，能以恰當(dāng)?shù)姆绞揭龑?dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，把教師對(duì)問(wèn)題的理解轉(zhuǎn)化為學(xué)生的理解，真正實(shí)踐教師以啟為導(dǎo)、學(xué)生因思而悟的境界.

3. 在多元理解中考慮能力收益

在數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于同一數(shù)學(xué)題目，可以從不同側(cè)面或是選擇不同方向來(lái)進(jìn)行刻畫表征，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次透視問(wèn)題，形成對(duì)問(wèn)題的多元理解，進(jìn)而形成與之相應(yīng)的不同解法，深化對(duì)知識(shí)和方法本質(zhì)的理解. 在這一過(guò)程中，學(xué)生的能力也有一個(gè)逐層提高的過(guò)程，既有基本方法的熟化，也有類比、聯(lián)想等的建構(gòu)提升，更有函數(shù)與方程等思想方法的延拓，開闊了學(xué)生的思路，豐富了學(xué)生的認(rèn)知，拓寬了學(xué)生的視野，學(xué)生在能力方面獲得了多層次提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了切實(shí)的培養(yǎng).

4. 在歸納反思中考慮深化升華

本節(jié)課全景式地展示了基本不等式應(yīng)用的框架，詮釋了基本不等式應(yīng)用的三重境界，即知識(shí)—方法—思想. 課堂教學(xué)既注重了揭示思維過(guò)程，更注重揭示真諦. 教師積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課中和課后的反思，抓住知識(shí)結(jié)構(gòu)和思想方法做歸納總結(jié)、點(diǎn)撥提高. 反思是學(xué)生知識(shí)理解深化的必經(jīng)之路，是學(xué)生理解力提升的必要過(guò)程，是創(chuàng)新思維能力發(fā)展的關(guān)鍵步驟. 通過(guò)反思總結(jié)可以進(jìn)一步應(yīng)用知識(shí)、實(shí)踐方法、感悟思想、完善素養(yǎng)、提升能力. 幫助學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，再用理性認(rèn)識(shí)指導(dǎo)感性認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生新舊知識(shí)方法的有意義的同化作用.