一類帶脈沖的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期性和穩(wěn)定性分析

李燕玲

摘 要：對一類帶有脈沖條件的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點進行了分析，根據(jù)模型特點，構(gòu)造了合適的迭代映射，利用迭代分析方法，研究了系統(tǒng)周期解的存在性，并得到了平衡點的一致穩(wěn)定性結(jié)論，推廣并改進了已有文獻的相關(guān)結(jié)論。

關(guān)鍵詞：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；脈沖；平衡點；一致穩(wěn)定；周期解

中圖分類號：O175.13 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）07-0035-03

Stability and Periodicity of a Kind of Neural Networks with Impulsive Effects

Li Yanling

（College of Computer Science， Civil Aviation Flight University of China， Guanghan Sichuan 618307）

Abstract：The equilibrium points of a class of cellular neural networks with impulsive conditions are analyzed. According to the characteristics of the model， an appropriate iterative mapping is constructed. The existence of periodic solutions of the system is studied by iterative analysis method， the uniform stability of equilibrium point is obtained. The related conclusions are extended and improved.

Key words：neural networks；impulses；equilibrium point；uniform stability；T-periodic solution

1 引言

細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是目前廣泛應(yīng)用的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一，它是由L.O.Chua于1988年在積累了多年的對非線性運放電路的研究的基礎(chǔ)上提出的，目前已廣泛的應(yīng)用于各個學(xué)科領(lǐng)域

（1）

其中

代表電容，代表電阻，xi代表電壓，和分別表示電流和輸出電壓。

許多進化過程在特定的時刻會表現(xiàn)出他們狀態(tài)的突然變化，例如生物學(xué)上的閾值現(xiàn)象，爆破模型，經(jīng)濟學(xué)中的最優(yōu)控制模型，以及電路網(wǎng)絡(luò)和頻率調(diào)制系統(tǒng)等等，這些狀態(tài)的突變就可以用脈沖微分方程來描述。脈沖微分方程能夠充分考慮系統(tǒng)受到瞬時突變現(xiàn)象的影響，能夠更精準(zhǔn)地反映事物的變化規(guī)律。經(jīng)典的脈沖微分方程理論見參考文獻[11，12]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由許多神經(jīng)元構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)類似于細胞自動控制，即網(wǎng)絡(luò)中的每一個神經(jīng)元與它的鄰近神經(jīng)元發(fā)生連接，所以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，脈沖對神經(jīng)元的影響也是不容忽視的，脈沖條件往往會令原本穩(wěn)定的系統(tǒng)變得不再穩(wěn)定。文獻[3，4]對帶脈沖的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行了深入的研究。

本文考慮以下帶脈沖條件的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

（2）

其中

表示

在脈沖時刻系統(tǒng)所產(chǎn)生的爆破量，均為常數(shù)，且，xi（t）表示t時刻第i個神經(jīng)元的狀態(tài)，是第i單元的非線性的輸入輸出激勵函數(shù)，是定義在上的連續(xù)函數(shù)。

令

在點外處處連續(xù)，存在，且

在點外處處連續(xù)，存在，.令，

在對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的眾多研究中，利用系統(tǒng)的平衡點來研究解的各種性質(zhì)也是非常常見，并得到了一系列的很好的結(jié)論，見文獻[1]-[5]。為了解決在優(yōu)化領(lǐng)域、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與信號處理等方面的問題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)往往設(shè)計成只有一個平衡點，而且希望這個平衡點是一致穩(wěn)定的，從而能夠有效地避免平衡點的雜散和局部極小的風(fēng)險。接下來的文章中，我們試圖通過研究問題（2）的平衡點的穩(wěn)定性，來給出判定平衡點一致穩(wěn)定的方法和結(jié)果。文獻[1]中，利用Lyapunov函數(shù)的方法得到了問題（2）不帶脈沖條件下平衡點的存在唯一性和穩(wěn)定性條件。本文，我們利用迭代分析方法研究問題（2），得到了新的存在性和穩(wěn)定性結(jié)果，該結(jié)果從兩個方面體現(xiàn)了優(yōu)越性和應(yīng)用性：一是加入了脈沖條件，考慮的系統(tǒng)比文獻[1]更有應(yīng)用價值；二是采用的方法相比構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法，更易操作，結(jié)果顯著推廣了文獻[1]中的相關(guān)結(jié)論。

設(shè)是問題（2）的一個平衡點，令

得：

為了證明問題（2）的平衡點穩(wěn)定，接下來我們證明以下問題的平凡解穩(wěn)定：

（3）

這里

定義范數(shù)：

。

2 預(yù)備知識

定義1.1若一個分段連續(xù)函數(shù)滿足以下三個條件，則稱之為問題（2）的一組T-周期解：

（1）對于任意的滿足問題（2）；

（2），均有

（3）在處處連續(xù)，并且對于存在。

以下是本文的基本假設(shè)條件：

（H1）在R上有界，對于以及任意，必存在常數(shù)，使得成立；

（H2）對于以及任意，必存在常數(shù)，使得成立；

我們記

（H3）0

（H4）存在常數(shù)和，使得

。

引理2.1[1] 對于神經(jīng)元的輸出項如果具有性質(zhì)（H1）和（H4），則系統(tǒng)（1）的平衡點唯一存在，且全局指數(shù)穩(wěn)定。

引理2.2 脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（3）的T-周期解

可以表示成以下積分形式：

其中

證明：令則滿足以下邊值問題

其中

。

當(dāng)時，我們利用初始值來考慮問題（3），

現(xiàn)在我們在區(qū)間上重復(fù)以上步驟，可以得到下式成立：

上式中我們令t=T，將代入，可以得到對于任意的都有下式成立：

引理2.2得證。

引理2.3 脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2）的T-周期解

可以表示成下列積分形式：

其中

3 主要結(jié)論

定理3.1 若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（3）一定存在T-周期解，并且滿足

（4）

證明：我們定義如下迭代序列：

由數(shù)學(xué)歸納法易證下面的不等式對于任意均成立：

均有

由柯西收斂定理知，序列在[0，T]上一致收斂，記則為初始值問題（3）的一組T-周期解，并且滿足不等式（4）。

定理3.1證明完畢。

定理3.2 若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2）一定存在T-周期解.

定理3.3 若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（3）的平凡解是一致穩(wěn)定的。

證明：對于任意的令是系統(tǒng)（3）滿足初始條件的一個解?，F(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)（3）的平凡解不是穩(wěn)定的，則一定存在某個對任意的，總存在某個，當(dāng)時，有

（5）

成立。由定理3.1，我們知道此時若取，則當(dāng)時，有成立，所以，當(dāng)時，有成立，這與（5）式矛盾。故原假設(shè)不成立，即系統(tǒng)（3）的平凡解是穩(wěn)定的。由于與無關(guān)，故脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（3）的平凡解是一致穩(wěn)定的。

定理3.4 若假設(shè)條件（H1）-（H3）滿足，則脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2）的平衡點是一致穩(wěn)定的。

參考文獻

[1]王春景.一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性分析[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2009（13）：195-196.Wang Chunjing. Stability analysis of a kind of neural network[J].Science and Technology Innovation Herald. 2009；（13）：195-196.

[2]Yang Zhichun and Xu Daoyi.Global exponential stability of Hopfield neural networks with wariable delays and impulsive effects.[J].Appl.Math.Mech.，2006；27（11）：1517-1522.

[3]H.Akca， R.Alassar， V.Covachev， Z.Covachev， E.A. Zahrani. Continuous-time additive Hopfield-type neural networks with impulses[J]. J. Math. Anal. Appl. ，2004； （290）：436-451.

[4]Z.Guan and G.Chen. On delayed impulsive Hopfield neural networks [J]. Neural Networks， 1999；（12）：273-280.

[5]Z.Guan， J.Lam， G.Chen. On impulsive autoassociative neural networks[J]. Neural Networks， 2000；（13）：63-69.

[6]Yongqing Yang， Jinde Cao. Stability and periodicity in delayed cellular neural networks with impulsive effects[J].Analysis： Real Word Applications， 2007；（8）：362--374.

[7]J.J. Nieto. Basic theory for nonresonance impulsive periodic problems of first order equations[J]. J. Math. Anal. Appl.， 1997；（205）： 423-433.

[8]Jianli Li， J.J. Nieto， Jianhua Shen. Impulsive periodicboundary value problems of first-order differential equations[J]. J. Math. Anal. Appl.， 2007；（325）： 226-236.

[9]Zhimin He， Jianshe Yu. Periodic boundary value problems for first-order impulsive functional differential equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2002；（138）： 205-217.

[10]E.Liz， J.J. Nieto. Periodic boundary value problems for a class of functional differential equations[J]. J. Math. Anal.Appl.， 1996；（200）：680-686.

[11]V.Lakshmikantham， D.D. Bainov， P.S. Simeonov. Theory of Impulsive Differential Equations. World Scientific[C]， Singapore， 1989.

[12]D.D. Bainov， P.S. Simeonov. Impulsive Differential Equations： Periodic Solutions and Applications[C]. Longman， Harlow， 1993.