（n+1）維Sine-Gordon方程的一類精確解

高曉紅，段建生

（楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄675000）

（n+1）維Sine-Gordon方程的一類精確解

高曉紅，段建生

（楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄675000）

在描述Sine-Gordon方程對應(yīng)的背景問題時(shí)，非線狀精確解往往比行波解更準(zhǔn)確更深刻。為了得到兩類（n+1）維Sine-Gordon方程的非線狀精確解，該文先利用擬設(shè)法和變量分離法求出（1+1）維Sine-Gordon方程的一類非線狀精確解，再利用線性變換把兩類高維Sine-Gordon方程轉(zhuǎn)換成（1+1）維Sine-Gordon方程，從而得到了高維Sine-Gordon方程的呼吸孤子解和鐘形孤子解等一類精確解，這些新精確解都具有代表性。

Sine-Gordon方程；擬設(shè)法；變量分離法；非線狀精確解；線性變換法

在文獻(xiàn)[1-4]中，（1+1）維的非線性物理方程

被稱為Sine-Gordon方程，它可以看作是雙Sine-Gordon方程的一個(gè)特殊情形。早在19世紀(jì)時(shí)，研究者就已經(jīng)從微分幾何學(xué)中導(dǎo)出了這個(gè)偏微分方程。隨著時(shí)間的推移，人們發(fā)現(xiàn)有許多物理問題都可以由該方程描述，如結(jié)晶斷層的傳播，晶體位錯(cuò)，磁旋波在磁材料中的傳播以及兩相介質(zhì)中激光脈沖的傳播，等等。此外，方程中的sinu在不同的物理背景中表示不同的物理量，如在Josephson中繼傳輸線問題中，sinu表示穿過兩超導(dǎo)體之間絕緣體的Josephson電流，而在晶體位錯(cuò)的研究中，sinu與原子排列的周期結(jié)構(gòu)相關(guān)[1]。由于該方程在非線性數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中的應(yīng)用很廣，所以它的精確解備受人們關(guān)注[2-7]。（n+1）維Sine-Gordon方程

是方程（1）的高維推廣，帶擾動項(xiàng)α2cosv的（n+1）維Sine-Gordon方程

也稱之為廣義（n+1）維Sine-Gordon方程，其中，α1與α2中至少有一個(gè)不為零。有關(guān)方程（2）和（3）精確解的研究不是很多，有研究者曾經(jīng)用輔助方程法和動力系統(tǒng)法得到了它們的一些行波解（即線狀精確解）[8-9]，對于非線性精確解則很難找到相關(guān)文獻(xiàn)，即使對方程（1），它的非線性精確解也只出現(xiàn)在文獻(xiàn)[1]等少量文獻(xiàn)中。筆者先借鑒和拓展文獻(xiàn)[1]中的方法，研究方程（1）的非線性精確解，再采用線性變換把方程（2）和（3）變?yōu)榉匠蹋?），從而得到方程（2）和（3）的一類非線性精確解。

1 Sine-Gordon方程的精確解

在文獻(xiàn)[1]中，研究者設(shè)方程（1）的解為

并給出了一個(gè)呼吸孤子解，其中，f（x）和g（t）為滿足一定條件的二階可導(dǎo)一元函數(shù)。下面采用文獻(xiàn)[1]中的研究方法，通過細(xì)化計(jì)算過程，給出方程（1）的一類精確解。

首先，分析作為方程（1）的解，方程（4）中的f，g應(yīng)滿足的基本條件，已期找出方程（1）的一類精確解。由方程（4）可知

把（12）-（15）式代入（5）式的左邊，可以看到與（5）式的右邊恒等，這說明，通過求出滿足（12），（13）式的f與g，就可得到方程（1）的精確解。此外，（12）與（13）式是兩個(gè)橢圓方程，用初等解法是不可能求出它們的通解的，只有當(dāng)α，β，γ取某些特殊值時(shí)，才可以求出f與g的一些特解。

下面，僅就五種情形來討論特解的情況。

（1）當(dāng)γ＝0，α＝1時(shí)，由（12），（13）式得

經(jīng)過一一驗(yàn)證，上述五種情形中的f與g分別滿足方程（12）和（13），還注意到u1和u9與文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果完全一致。

文獻(xiàn)[10-12]等研究表明，如果一個(gè)偏微分方程具有tan-1形式的解，那么也有可能出現(xiàn)cot-1形式的解，所以再令，經(jīng)過完全平行的計(jì)算，最終得到下列解

2 （n+1）維Sine-Gordon方程的精確解

文中求解方程（2）或（3）的基本思路是先通過線性變換將其轉(zhuǎn)換為方程（1），然后利用第1節(jié)結(jié)果得到方

則方程（3）變?yōu)関xx-vtt=sin（v+β），再令v+v0=u，則方程（3）也最終變?yōu)榱朔匠蹋?）。這樣由上一節(jié)的結(jié)果，就可以得到方程（2）或（3）的精確解。例如，根據(jù)前面給出的方程（1）的解u7和u12，很容易就得到方程（2）的呼吸孤子解

其余的解不再一一列出，感興趣的讀者可以自己給出。

3 結(jié)語

在描述非線性的實(shí)際問題時(shí)，非線狀精確解比線狀精確解（行波解）更具有優(yōu)勢，但求非線狀精確解的方法卻非常少，計(jì)算量也很大，無論是國內(nèi)還是國外，有關(guān)非線狀精確解的研究結(jié)果少之又少。文中參照并拓展了文獻(xiàn)[1]中的變量分離法，成功地把（1+1）維Sine-Gordon方程中的兩個(gè)量x與t分開，在充分考慮參數(shù)α，β和γ自由變化的基礎(chǔ)上，盡可能多的給出了（1+1）維Sine-Gordon方程的精確解，為得到高維Sine-Gordon方程的非線狀精確解提供了基礎(chǔ)。值得指出的是，文獻(xiàn)[1]和文中所用的變量分離法技巧性很強(qiáng)，它遠(yuǎn)比常微分方程中的傳統(tǒng)意義上的變量分離法要復(fù)雜得多，不容易被推廣使用，但在求解Sine-Gordon方程時(shí)，卻顯示出非常好的優(yōu)越性。

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[8]套格圖桑，斯仁道爾吉.（n+1）維雙Sine-Gordon方程的新精確解[J].物理學(xué)報(bào)，2006，27（5）：86-89.

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A class of exact solutions to the（n+1）dimensional Sine-Gordon equation

GAO Xiaohong，DUAN Jiansheng
（School of Mathematics and Statistics，Chuxiong Normal University，Chuxiong 675000，China）

Nonlinear exact solutions to the Sine-Gordon equation are always more exact and profound than travelling solutions when describing its related backgrounds.In order to obtain nonlinear exact solutions to two classes of（n+1）dimensional Sine-Gordon equations,a class of nonlinear exact solutions to（1+1）dimensional Sine-Gordon equation was first found out by the ansatz method and variable separation method.Then,under suitable linear transformations,the high dimensional classical/generalized Sine-Gordon equations were reduced to the（1+1）dimensional one,and so a sort of solutions including the breather-soliton and the bell-soliton ones to these high dimensional equations was obtained.These solutions obtained here are all typical.

Sine-Gordon equation；ansatz method；variable separation method；nonlinear exact solution；linear transformation

責(zé)任編輯：謝金春

O175.2MR（2010）Subject Classification：35K57；92B05；35C05

A

：2096－3289（2017）02－0012－05

2016－07－20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11261001）

高曉紅（1983-），女，山西柳林人，講師，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)。