一種新的基于自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階的活動(dòng)輪廓模型

張桂梅 徐繼元 劉建新

1(江西省圖像處理與模式識(shí)別重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南昌航空大學(xué)) 南昌 330063)2 (西華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610039) (guimei.zh@163.com)

一種新的基于自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階的活動(dòng)輪廓模型

張桂梅1徐繼元1劉建新2

1(江西省圖像處理與模式識(shí)別重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南昌航空大學(xué)) 南昌 330063)2(西華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610039) (guimei.zh@163.com)

區(qū)域可調(diào)擬合(region scalable fitting, RSF)活動(dòng)輪廓模型在分割弱紋理、弱邊緣圖像時(shí)，優(yōu)化易陷入局部極小導(dǎo)致曲線演化速度緩慢；同時(shí)該模型中的局部擬合項(xiàng)為高斯核函數(shù)，導(dǎo)致目標(biāo)的邊界模糊，影響分割精度.針對(duì)該問(wèn)題，提出了一種基于自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階的活動(dòng)輪廓模型，用于圖像的分割.首先將全局G-L(Grünwald-Letnikov)分?jǐn)?shù)階梯度融合到RSF模型中，以增強(qiáng)灰度不均勻和弱紋理區(qū)域的梯度信息,從而提高對(duì)曲線初始位置選擇的魯棒性，并提高了圖像分割的精度和速度；然后用雙邊濾波函數(shù)替換局部擬合項(xiàng)中的高斯核函數(shù)，解決了高斯核函數(shù)在演化過(guò)程中造成的邊界模糊問(wèn)題;最后根據(jù)圖像的梯度模值和信息熵構(gòu)建自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階階次的數(shù)學(xué)模型，并計(jì)算出最佳分?jǐn)?shù)階階次.理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明:提出的算法可以用于灰度不均勻和弱紋理、弱邊緣區(qū)域的圖像分割，并能根據(jù)圖像的特征自適應(yīng)計(jì)算最佳分?jǐn)?shù)階階次，避免曲線演化陷入局部最優(yōu).用多幅圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得出該方法的分割精度和分割效率都有較大提高.

Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階；自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階；RSF模型；活動(dòng)輪廓模型；圖像分割

醫(yī)學(xué)圖像分割是醫(yī)學(xué)圖像分析應(yīng)用的基礎(chǔ)，當(dāng)前的臨床輔助診斷、圖像引導(dǎo)的外科手術(shù)和放射治療中，醫(yī)學(xué)圖像分割技術(shù)顯示出越來(lái)越重要的臨床價(jià)值[1].但由于醫(yī)學(xué)圖像在成像過(guò)程中，受到電磁環(huán)境、成像設(shè)備以及人體結(jié)構(gòu)的差異等客觀因素的影響，圖像往往存在噪聲、灰度不均勻、邊緣模糊、紋理結(jié)構(gòu)不清晰等特點(diǎn).在分割這類圖像時(shí)，傳統(tǒng)的分割方法得到不理想的分割結(jié)果.

近年來(lái)，基于活動(dòng)輪廓模型的分割方法在醫(yī)學(xué)圖像中得到廣泛應(yīng)用[2-9].活動(dòng)輪廓模型主要分為基于邊界和基于區(qū)域的分割模型.其中基于區(qū)域的分割模型，對(duì)噪聲和模糊具有較強(qiáng)的魯棒性，因此相比于基于邊界的分割模型應(yīng)用更為廣泛，本文主要研究基于區(qū)域的活動(dòng)輪廓模型.2008年Li等人[3]提出了區(qū)域可調(diào)擬合(region scalable fitting， RSF)的分割模型,該模型能較好地分割灰度不均勻的圖像，同時(shí)還能避免演化曲線的重新初始化，極大地提高了分割的效率,但是RSF模型在分割弱紋理、弱邊緣圖像時(shí)，由于僅僅利用局部信息以及在擬合項(xiàng)中使用高斯核函數(shù)，演化曲線易陷入局部最優(yōu)，無(wú)法得到正確的分割結(jié)果;針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[4]結(jié)合圖像的邊界信息和區(qū)域信息，運(yùn)用貝葉斯定理，提出自適應(yīng)分割速度擬合項(xiàng)和概率加權(quán)項(xiàng),該方法可以自行確定收縮方向以及分割速度，較好地完成了弱邊緣圖像的分割，但是該方法對(duì)演化曲線初始位置的選擇仍較敏感，且對(duì)于弱紋理和灰度不均勻圖像的分割效果欠佳;文獻(xiàn)[5]提出了一種基于邊緣和區(qū)域信息的先驗(yàn)水平集圖像分割方法，該方法首先將圖像的區(qū)域信息融入基于邊緣的水平集方法，然后將其與形狀先驗(yàn)信息結(jié)合，解決了被遮擋目標(biāo)以及與背景相似的目標(biāo)分割問(wèn)題;文獻(xiàn)[6]基于局部灰度均勻圖像的聚類屬性，定義了一個(gè)局部聚類方程用于對(duì)灰度不均勻區(qū)域進(jìn)行均勻校正，對(duì)灰度不均勻圖像能夠快速地完成分割，但是該方法容易造成過(guò)分割現(xiàn)象;文獻(xiàn)[7]提出了一種基于區(qū)域顯著性的活動(dòng)輪廓模型，將圖像分割問(wèn)題與圖像視覺(jué)特性相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了活動(dòng)輪廓模型對(duì)圖像的自適應(yīng)分割.但對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的圖像(如紋理豐富圖像)分割效果不理想;文獻(xiàn)[8]基于局部自適應(yīng)閾值技術(shù)，提出了一個(gè)新的邊緣探測(cè)方法，該方法提高了對(duì)腫瘤目標(biāo)的分割能力，尤其是一些具有弱邊界、邊緣泄漏的腫瘤目標(biāo);文獻(xiàn)[9]提出局部多尺度紋理結(jié)構(gòu)對(duì)紋理部分進(jìn)行像素級(jí)描述，此外還提出一個(gè)向量水平集，該方法對(duì)紋理豐富的自然圖像有較好的分割結(jié)果.

分?jǐn)?shù)階微分具有在增強(qiáng)信號(hào)高頻成分的同時(shí)，非線性地保留信號(hào)的中低頻成分的特性，在數(shù)字圖像處理中，這一性質(zhì)被廣泛地應(yīng)用于保留圖像的紋理細(xì)節(jié)和弱邊緣[10-13].但是,對(duì)較為龐大的圖像數(shù)據(jù)，由于拍攝相機(jī)的種類多樣，外部拍攝環(huán)境的差異性，圖像的質(zhì)量總是參差不齊，若對(duì)所有圖像都采用同一分?jǐn)?shù)階微分階次處理，不能保證在不同環(huán)境下每幅圖像處理的效果達(dá)到最佳.即使對(duì)于同一幅圖像如何讓圖像中的不同區(qū)域去選取不用的階次，并在各個(gè)區(qū)域處理的效果達(dá)到最佳，即分?jǐn)?shù)階階次的自適應(yīng)建模一直是個(gè)研究難題.文獻(xiàn)[14]提出依據(jù)圖像梯度信息和人眼視覺(jué)特性設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階微分算子掩膜用于圖像增強(qiáng)，可以根據(jù)圖像特征自適應(yīng)選擇合適的掩膜系數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法對(duì)任意灰度圖像可以得到連續(xù)變化的增強(qiáng)效果，接近于最佳分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)效果，符合人們的視覺(jué)感受；文獻(xiàn)[15]通過(guò)分析紋理特性建立幅值頻率非線性聯(lián)合指數(shù)模型，自適應(yīng)選擇分?jǐn)?shù)階微分階次檢測(cè)圖像紋理細(xì)節(jié)，有效克服圖像中紋理細(xì)節(jié)的變化，提出了一種自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分的復(fù)合雙邊濾波算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分的復(fù)合雙邊濾波算法在圖像濾波、去霧、細(xì)節(jié)增強(qiáng)等應(yīng)用方面具有良好的效果；文獻(xiàn)[16]提出了一種新的自適應(yīng)活動(dòng)輪廓模型的圖像分割方法，但是該方法僅僅是在原有的擬合方程中增加了一項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分?jǐn)M合項(xiàng)，分?jǐn)?shù)階階次的選擇仍然是通過(guò)人工選擇；文獻(xiàn)[17]將分?jǐn)?shù)階微分運(yùn)用到全變分模型，在去噪效果更好的同時(shí)，保留了紋理細(xì)節(jié)和消除了塊狀負(fù)面效果，自適應(yīng)的選擇最佳的微分階次是通過(guò)利用局部方差和小波變換得到的；文獻(xiàn)[18]利用分?jǐn)?shù)階散度算子對(duì)CV模型[19]進(jìn)行改進(jìn)，同樣提高了CV模型對(duì)弱邊緣圖像的分割能力，并且對(duì)噪聲具有很強(qiáng)的魯棒性，但是階次的選擇是通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)得到最佳的分?jǐn)?shù)階階次，對(duì)演化曲線初始位置的選擇較敏感，且對(duì)于灰度不均勻圖像的分割效果不夠理想.現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階活動(dòng)輪廓模型不能有效分割灰度不均勻和弱邊緣、弱紋理圖像，且在分?jǐn)?shù)階最佳階次的選擇上缺乏真正的自適應(yīng).RSF模型能夠較好地分割灰度不均勻的圖像，但是局部擬合項(xiàng)中使用了高斯核函數(shù)，導(dǎo)致在擬合過(guò)程中，目標(biāo)的邊界變得模糊；同時(shí)當(dāng)目標(biāo)與背景灰度相近時(shí)，演化曲線的驅(qū)動(dòng)力較小，因此在分割過(guò)程中容易陷入局部最優(yōu).針對(duì)這些問(wèn)題，本文將分?jǐn)?shù)階微積分融合到RSF模型中，同時(shí)將原有的局部擬合項(xiàng)的高斯核函數(shù)用雙邊濾波替代，用于解決該模型在分割弱邊緣、弱紋理圖像時(shí)容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，并且根據(jù)圖像的局部信息構(gòu)造選擇分?jǐn)?shù)階階次的自適應(yīng)函數(shù)，自動(dòng)計(jì)算最佳的分?jǐn)?shù)階階次.

本文主要有3點(diǎn)貢獻(xiàn)：

1) 將全局G-L(Grünwald-Letnikov)分?jǐn)?shù)階梯度融合到RSF模型中，增強(qiáng)了灰度不均勻和弱紋理、弱邊緣區(qū)域的梯度信息,提高演化曲線的驅(qū)動(dòng)力，避免演化曲線在圖像的弱邊緣及紋理豐富區(qū)域陷入局部最優(yōu)，從而提高對(duì)曲線初始位置選擇的魯棒性，并提高了圖像分割的精度和速度：

2) 在RSF模型的局部擬合項(xiàng)中使用雙邊濾波函數(shù)，既考慮了像素空間位置的因素，又考慮了灰度值之間的差異性，避免邊界弱化，從而提高了邊界定位能力，解決了高斯核函數(shù)在演化過(guò)程中造成的邊界模糊問(wèn)題；

3) 根據(jù)圖像的局部信息(如梯度幅值、信息熵)構(gòu)建了自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階階次的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算最佳分?jǐn)?shù)階階次，解決了人工尋找最佳分?jǐn)?shù)階階次的費(fèi)時(shí)費(fèi)力問(wèn)題.

1 相關(guān)理論

1.1 RSF模型

為了克服CV模型[19]不能分割灰度不均勻圖像的缺點(diǎn)，Li等人[3]在CV模型的基礎(chǔ)上，提出基于二元值擬合的活動(dòng)輪廓模型，引入高斯核函數(shù)把原CV模型利用全局信息的平均值c1,c2變成具有局部性質(zhì)的加權(quán)值f1(x)和f2(x).同時(shí)還定義一個(gè)新的符號(hào)距離函數(shù)，避免了曲線在演化過(guò)程中的重新初始化.RSF模型利用圖像的局部灰度信息，較好地克服了傳統(tǒng)基于區(qū)域的活動(dòng)輪廓模型不能分割灰度不均勻圖像的問(wèn)題，提高了分割的效率.RSF的水平集能量方程如下：

(1)

其中，Kσ(x-y)是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯核函數(shù)，Mε1(φ)=Hε(φ)，Mε2(φ)=1-Hε(φ)，Hε為正則化的海氏(Heaviside)函數(shù).式(1)的第1項(xiàng)為局部灰度擬合項(xiàng)，作用是驅(qū)動(dòng)演化曲線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)輪廓；第2項(xiàng)為長(zhǎng)度約束，約束演化曲線的周長(zhǎng)；最后1項(xiàng)為符號(hào)距離函數(shù)，避免曲線在演化過(guò)程中重新初始化.f1(x)和f2(x)為局部平均值:

(2)

其中，i=1,2.

求能量方程的最小值可以通過(guò)求解能量泛函對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程來(lái)實(shí)現(xiàn).采用梯度下降法得到曲線的水平集演化方程：

(3)

其中，δε(φ)為正則化狄拉克(Dirac)函數(shù).

(4)

其中，i=1,2.

RSF模型較大地提高了分割灰度不均勻圖像的能力，但由于它僅僅利用圖像的局部信息，易陷入局部最優(yōu)，且對(duì)初始曲線的位置選擇很敏感.在實(shí)際分割過(guò)程中，往往需要精心探測(cè)初始曲線的合適位置，從而較大地限制了RSF模型的應(yīng)用.

1.2 分?jǐn)?shù)階微分定義

分?jǐn)?shù)階微分是整數(shù)階微分的推廣，目前經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階定義主要有3種[20]：R-L(Riemann-Liouville),G-L和Caputo.R-L定義和G-L定義在數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)可以以卷積形式進(jìn)行運(yùn)算，因此在信號(hào)處理領(lǐng)域中應(yīng)用更為廣泛；Caputo定義適用于分?jǐn)?shù)階微分邊值問(wèn)題的分析，所以多用于實(shí)際工程領(lǐng)域.而G-L定義在計(jì)算時(shí)較R-L定義更加準(zhǔn)確[20]，因此我們從G-L定義出發(fā)，推導(dǎo)本文所需的分?jǐn)?shù)階微分算子.

若?α∈(包括分?jǐn)?shù))，[α]為其整數(shù)部分.假設(shè)信號(hào)s(t),t∈[a,b](a0時(shí)，n至少取[α]，則分?jǐn)?shù)階微分定義如下

(5)

1.3 雙邊濾波定義

雙邊濾波是由Tomasi和Manduchi[21]提出一種非線性的濾波方法，它是結(jié)合圖像的空間鄰近度和像素值相似度的一種折中處理，同時(shí)考慮灰度相似性和空域信息，達(dá)到保邊去噪的目的，具有簡(jiǎn)單、非迭代、局部的特點(diǎn).雙邊濾波是在高斯濾波的基礎(chǔ)上，增加了灰度差的影響，因?yàn)樵谀０鍍?nèi)相鄰像素之間的灰度差影響濾波結(jié)果.雙邊濾波定義如下：

(6)

W(i,j,k,l)為權(quán)重系數(shù)，由2部分組成：定義域核和值域核.定義域核為高斯濾波，定義為

(7)

值域核定義為

(8)

W(i,j,k,l)=G(i,j,k,l)*R(i,j,k,l)，

(9)

(10)

其中，σd為距離方差，σr為灰度差方差；i,j,k,l為像素點(diǎn)的坐標(biāo)值；f(i,j),f(k,l)為像素點(diǎn)的灰度值；F(i,j)是濾波后的灰度值.從式(8)可以得出，在圖像的邊緣處，灰度差變化大，R(i,j,k,l)變小，則整個(gè)權(quán)重系數(shù)W變小，濾波效應(yīng)減弱，保持了邊緣.在圖像平滑區(qū)域，灰度差變化很小，R(i,j,k,l)接近于1，則僅是高斯濾波.

2 本文算法

2.1 融合分?jǐn)?shù)階梯度的RSF模型

2.1.1 G-L微分掩膜構(gòu)造

根據(jù)式(5)，若一元信號(hào)s(t)的持續(xù)周期為t∈[a,b]，將信號(hào)持續(xù)期[a,b]按單位等分間隔h=1進(jìn)行等分，則式(5)中m=(b-a)h=b-a，則s(t)分?jǐn)?shù)階微分的差值表達(dá)式可為

(11)

在處理數(shù)字圖像時(shí)，計(jì)算機(jī)或者數(shù)字濾波器處理的是數(shù)字量，圖像灰度f(wàn)(x,y)之間的變化是有限的，并且發(fā)生的最短距離為相鄰2像素之間.因此二維數(shù)字圖像在x和y軸方向上的持續(xù)時(shí)間只能以像素為單位進(jìn)行度量，f(x,y)的最小等分間隔只能是h=1.則針對(duì)數(shù)字圖像，本定義f(x,y)在x和y坐標(biāo)軸正方向上分?jǐn)?shù)階偏微分差分的近似表達(dá)式為

(12)

(13)

從式(12)和式(13)可以看出每1項(xiàng)的系數(shù)值都不相同，各項(xiàng)系數(shù)之和不等于0.這是與整數(shù)階微分最顯著的區(qū)別，系數(shù)的通項(xiàng)式為

(14)

其中，Γ(·)為Gamma函數(shù).根據(jù)整數(shù)階的梯度定義，重新定義分?jǐn)?shù)階梯度：

(15)

則分?jǐn)?shù)階梯度向量的模值為

(16)

在數(shù)值運(yùn)算時(shí)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，近似取分?jǐn)?shù)階微分表達(dá)式(12)和式(13)的前M項(xiàng)，構(gòu)造M×M分?jǐn)?shù)階微分模板，X正方向和Y正方向的模板如圖1所示：

?????000…01-α(-α)(-α+1)2…Γ(-α+m-1)(m-1)!Γ(-α)000…0?????

…010……0-α0……0(-α)(-α+1)20……???……0Γ(-α+m-1)(m-1)!Γ(-α)0…

Fig. 1 Differential mask in X axis and Y axis positive direction
圖1 X軸和Y軸正方向上分?jǐn)?shù)階微分掩模

2.1.2 新的擬合項(xiàng)

RSF模型在分割弱紋理、弱邊緣圖像時(shí)，演化曲線易陷入局部最優(yōu)原因有2個(gè)：1)僅僅利用圖像的局部信息；2)水平集曲線在演化過(guò)程中運(yùn)動(dòng)到圖像的弱邊緣處或紋理豐富區(qū)域時(shí)，由于這些區(qū)域的灰度變化不大，造成演化曲線的驅(qū)動(dòng)力小，容易陷入局部最小值.為使演化曲線運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)輪廓，則對(duì)于曲線的初始位置有著嚴(yán)格的要求.基于G-L的分?jǐn)?shù)階梯度可以增強(qiáng)弱邊緣及紋理豐富區(qū)域的梯度信息,將G-L分?jǐn)?shù)階梯度信息融合到能量方程中，作為曲線擬合的另一種驅(qū)動(dòng)力，演化曲線在局部灰度擬合項(xiàng)和全局的分?jǐn)?shù)階微分梯度擬合共同驅(qū)動(dòng)下，運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)輪廓.結(jié)合G-L分?jǐn)?shù)階梯度和CV模型特點(diǎn)，構(gòu)建新的能量方程：

EFG(m1,m2,C)=

(17)

EFG(m1,m2,φ)=

(18)

其中，m1和m2計(jì)算為

(19)

其中，Hε(φ)和δε(φ)分別是海氏(Heaviside)函數(shù)和狄拉克(Dirac)函數(shù)的正則化形式.將這個(gè)能量方程融合到RSF模型中，則總的能量方程為

(20)

求能量方程式(20)的最小值可以通過(guò)求解能量泛函對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程來(lái)實(shí)現(xiàn).采用梯度下降法得到曲線的水平集演化方程:

(21)

φn+1=φn+Δt×Δφ.

(22)

2.2 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分的推導(dǎo)

2.2.1 分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)的作用

對(duì)一個(gè)任意平方可積的能量信號(hào)I(x)∈2，由信號(hào)處理的基本理論可知其Fourier變換為

x.

(23)

假設(shè)信號(hào)I(x)的n階導(dǎo)數(shù)為I(n)(x)(n∈)，根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)可以得到：

(24)

由整數(shù)階推廣到分?jǐn)?shù)階，I(x)的α分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為I(α)(x)(α∈+)，同樣根據(jù)分?jǐn)?shù)階Fourier變換為

(25)

其中:

(26)

Fig. 2 The amplitude-frequency curve of fractional differentiator圖2 分?jǐn)?shù)階微分算子的幅頻特性曲線

根據(jù)式(25)和式(26)繪制分?jǐn)?shù)階微積分的幅頻特性曲線，如圖2所示.從圖2可以看出在0<ω<1的低頻信號(hào)段，分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)的衰減程度低于整數(shù)階微分，而在ω>1的高頻信號(hào)段，分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)的增強(qiáng)程度低于整數(shù)階微分.因此得出以下結(jié)論：分?jǐn)?shù)階微分在增強(qiáng)信號(hào)的高頻部分的同時(shí)能非線性地保留信號(hào)的中低頻成分.在數(shù)字圖像中，圖像的弱邊緣以及紋理豐富的區(qū)域?qū)儆诘皖l信息，圖像的噪聲屬于高頻信息，在整數(shù)階微分中弱邊緣以及紋理信息往往會(huì)被較大地衰減，而噪聲信號(hào)被極大地增強(qiáng).但是運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分能夠很好地克服該缺陷，噪聲信號(hào)不會(huì)被極大地增強(qiáng)，弱邊緣以及紋理信息會(huì)被非線性地保留，因此將分?jǐn)?shù)階微分運(yùn)用到數(shù)字圖像處理中，不僅有利于保留弱邊緣以及紋理信息，還具有一定的抗噪性.總之,根據(jù)圖像處理關(guān)注的目標(biāo)不同,我們選用不同范圍的階次.本文需要保留紋理和弱邊緣，因?yàn)閺姆l曲線圖中可以得出，不同的α值對(duì)信號(hào)低頻部分的保留效果不一樣，當(dāng)0<α<1時(shí)，信號(hào)低頻部分保留效果較好，信號(hào)的高頻部分相比于整數(shù)階得到了抑制，因此本文α的取值建議在0～1之間.

2.2.2 相關(guān)特性的選擇

由2.1節(jié)可知，RSF模型在分割存在弱紋理、弱邊緣特征的圖像時(shí)，優(yōu)化容易陷入局部最優(yōu).因此將分?jǐn)?shù)階梯度融合到RSF模型中，分?jǐn)?shù)階梯度增強(qiáng)的程度直接影響最終的分割結(jié)果.結(jié)合分?jǐn)?shù)階幅頻特性曲線，如圖2所示，分?jǐn)?shù)階階次越小，與整數(shù)階相比增強(qiáng)的程度越大，所以在低頻區(qū)域應(yīng)選擇較小的分?jǐn)?shù)階增強(qiáng)，而在高頻區(qū)域不需要增強(qiáng)，對(duì)噪聲還需抑制，故選擇較大的分?jǐn)?shù)階階次.所以在選擇分?jǐn)?shù)階階次時(shí)，應(yīng)根據(jù)圖像的相關(guān)特征選取最佳的階次，而不是整幅圖像都選用相同的階次.由于圖像的整數(shù)階(1階)梯度反映了像素值的突變，整數(shù)階梯度對(duì)圖像的紋理比較敏感.所以整數(shù)階梯度的變化可以用來(lái)判斷圖像中紋理信息的情況，圖像的信息熵S同樣也可以反映圖像的紋理特性，在圖像的平滑區(qū)域，S較?。欢趫D像的紋理區(qū)域，信息熵S較大.因此可以根據(jù)整數(shù)階梯度和圖像信息熵來(lái)構(gòu)造自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階函數(shù)，通過(guò)該函數(shù)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階階次的自動(dòng)計(jì)算.

(27)

定義2. 信息熵是一種信息量的度量，反應(yīng)圖像紋理信息的豐富程度.因此，在圖像的邊緣和紋理區(qū)域具有更大的圖像信息熵，其定義為

(28)

其中,S信息熵值，i,j為像素坐標(biāo)，Iij為灰度值，ω為模板，Pij在模板內(nèi)相同灰度值的概率.

在圖像的分割過(guò)程中，分?jǐn)?shù)階階次不僅和圖像的梯度模值有關(guān)，并且受到圖像信息熵的影響.通過(guò)分析定義1和定義2可以得出，圖像梯度模值和信息熵越大，該區(qū)域?yàn)檫吘壔蚣y理的可能性越大，那么對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行分?jǐn)?shù)階梯度增強(qiáng)的程度應(yīng)該較大；反之，該區(qū)域?yàn)檫吘壔蚣y理的可能性越小.那么對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行分?jǐn)?shù)階梯度增強(qiáng)的程度應(yīng)該較小.

2.2.3 構(gòu)建分?jǐn)?shù)階階次自適應(yīng)數(shù)學(xué)模型

(29)

其中，m,n為權(quán)值，且m+n=1.

如圖2所示，由分?jǐn)?shù)階幅頻特性曲線可知，當(dāng)階次在區(qū)間[0，1]，隨著分?jǐn)?shù)階階次的降低，與整數(shù)階相比增強(qiáng)的程度越強(qiáng)，反之越弱.在本文階次選擇過(guò)程中，當(dāng)f值較小時(shí)，認(rèn)為是平滑區(qū)域，從而增強(qiáng)的程度應(yīng)該減小，分?jǐn)?shù)階階次應(yīng)選擇較大的值；反之選擇較小的值.本文階次的研究范圍在0～1之間，則選擇2個(gè)極限值為0和1進(jìn)行討論.具體階次的選擇分2種情況確定：1)判斷某個(gè)像素點(diǎn)的梯度值是否小于設(shè)定的閾值，如果梯度值小于閾值，則認(rèn)為該點(diǎn)與相鄰像素點(diǎn)之間的灰度差為0，在這個(gè)像素點(diǎn)上不存在像素突變，可以得出該點(diǎn)所處的位置不是邊界，有可能是平滑區(qū)域或者弱紋理區(qū)域，因此階次根據(jù)信息熵值確定，式(29)中的m=0，n=1；2)當(dāng)某個(gè)像素點(diǎn)的梯度值大于閾值，在該點(diǎn)存在像素突變，認(rèn)為該點(diǎn)所處的位置是邊界，因此階次根據(jù)梯度模值和信息熵共同確定，式(29)中的m,n均取0.5.為保證階次的選擇在0～1之間，本文選擇sigmod函數(shù)為原型函數(shù).由于該函數(shù)是一個(gè)良好的閾值函數(shù)，光滑、連續(xù)、嚴(yán)格單調(diào)，常用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為激發(fā)函數(shù)，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行分類.分?jǐn)?shù)階階次的選擇類似于對(duì)階次進(jìn)行分類選擇，以sigmod函數(shù)為原型，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階階次與圖像梯度模值和熵值按照一定規(guī)律自適應(yīng)變化的函數(shù)，定義如下：

(30)

其中,k和b為待定的系數(shù).當(dāng)f=1時(shí)，該區(qū)域?yàn)檫吘壔蚣y理區(qū)域的可能性越大，是需要增強(qiáng)的區(qū)域，則α=0表示增強(qiáng)極限最大，直接取該點(diǎn)的灰度值；f=0時(shí)，該區(qū)域?yàn)檫吘壔蚣y理區(qū)域的可能性越小，是不需要增強(qiáng)的區(qū)域，則α=1表示不增強(qiáng)，選擇整數(shù)1階梯度值.即將f=1,α=0和f=0,α=1代入式(30)構(gòu)成如下方程，并計(jì)算得到k和b的值.

將k和b的值代入自適應(yīng)函數(shù)，則：

(31)

式(31)即為自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階階次模型.

計(jì)算分?jǐn)?shù)階階次的流程圖如圖3所示:

Fig. 3 Flow chart of adaptive fractional order圖3 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階階次的流程圖

2.3 基于雙邊濾波的擬合項(xiàng)

由于在RSF的擬合項(xiàng)中(式(1))使用了高斯核函數(shù)，即該算法利用了局部信息，故能夠分割灰度不均勻的圖像.然而高斯核函數(shù)的副作用是對(duì)圖像進(jìn)行了平滑，使得弱邊緣更加模糊.由于僅僅考慮了各像素點(diǎn)位置之間的關(guān)系，忽略了各灰度值之間的差異性，從而使圖像的邊界模糊，因此曲線在演化過(guò)程中無(wú)法精確定位，尤其是弱邊緣、弱紋理的區(qū)域部分，曲線演化易陷入局部最優(yōu)，無(wú)法得到正確的分割結(jié)果.為更好地分割具有弱邊緣、弱紋理特征的圖像，應(yīng)選擇具有高斯核函數(shù)的功能，又能夠很好地保持邊緣的核函數(shù)，而雙邊濾波正好具有這種性能.

Fig. 4 Original image S圖4 原圖S

Fig. 5 Effect comparison of two kind of filters圖5 2種濾波結(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證雙邊濾波的去噪保邊性能，輸入如圖4所示的腦部MRI圖像，該圖像中的灰度分布不均勻.用高斯濾波和雙邊濾波進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，從圖5可以看出，高斯濾波的結(jié)果模糊，邊界弱化，原圖S和高斯濾波后結(jié)果S1差值圖像信息豐富，可以看出明顯的輪廓結(jié)構(gòu)；而雙邊濾波的結(jié)果清晰，邊界明顯，原圖S和雙邊濾波后的結(jié)果S2的差值圖像信息模糊，看不出明顯的輪廓結(jié)構(gòu).所以雙邊濾波相比于高斯濾波能夠保持更多的邊界信息.

受此啟發(fā)，本文用雙邊濾波函數(shù)代替高斯核函數(shù)，雙邊濾波的權(quán)重系數(shù)不僅考慮各像素點(diǎn)位置之間的關(guān)系，同時(shí)還考慮了各像素值之間的差異性.在圖像的平滑區(qū)域，灰度值之間的差異不大，雙邊濾波的權(quán)重系數(shù)所起的效果等同于高斯核函數(shù)；在弱邊緣、弱紋理區(qū)域，灰度值之間存在差異，雙邊濾波的權(quán)重系數(shù)起到了邊緣保持的作用.從而增強(qiáng)了RSF模型對(duì)具有弱邊緣、弱紋理特征圖像的分割能力.其具體定義為

Fig. 6 Input image and enhance results of different methods圖6 輸入原圖和不同方法增強(qiáng)后的結(jié)果圖

(32)

其中，i=1,2.

2.4 算法步驟

算法1. 圖像分割算法.

Step1. 設(shè)置參數(shù)μ,ν,λ1,λ2,β1,β2以及初始化水平集函數(shù)φ0；

Step3. 根據(jù)公式

計(jì)算f1,f2，再計(jì)算曲線內(nèi)外的平均分?jǐn)?shù)階梯度值

Step4. 固定f1,f2，m1，m2,根據(jù)式(21)和式(22)更新水平集函數(shù)；

Step5. 判斷水平集函數(shù)是否達(dá)到穩(wěn)定，若達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)則輸出最終結(jié)果，否則返回Step3.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中所采用的計(jì)算機(jī)環(huán)境為：實(shí)驗(yàn)機(jī)器配置Intel Core i3-2130 CPU、內(nèi)存4 GB、操作系統(tǒng)為64位Windows 7.0，程序采用R2013a版Matlab，實(shí)驗(yàn)圖像選用人工合成和真實(shí)圖像.本文從自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階梯度增強(qiáng)、分割性能驗(yàn)證、自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階的最佳階次分析3個(gè)方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析和討論.

3.1 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階梯度增強(qiáng)

為驗(yàn)證自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階階次的RSF模型能更好地增強(qiáng)弱邊緣、弱紋理區(qū)域的梯度，本次實(shí)驗(yàn)選取了2幅具有弱邊緣、弱紋理特征的輸入圖，如圖6(a).分別計(jì)算分?jǐn)?shù)階0.3階、分?jǐn)?shù)階0.5階、整數(shù)1階、自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階梯度模值圖，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示.圖6(a)為輸入圖，圖6(b)～6(e)分別為0.3階、0.5階、整數(shù)1階以及自適應(yīng)階次的增強(qiáng)結(jié)果圖，圖6(a)中圓圈區(qū)域的目標(biāo)與背景的灰度接近.從增強(qiáng)結(jié)果來(lái)看，分?jǐn)?shù)階的階次取值為0.3和0.5時(shí)都可以得到邊緣增強(qiáng)的效果.但是，若整幅圖像均采用相同的階次，則整幅圖像增強(qiáng)的幅度相同，即沒(méi)有突出增強(qiáng)圓圈區(qū)域內(nèi)的弱邊緣，而其他區(qū)域出現(xiàn)了過(guò)增強(qiáng)；整數(shù)1階沒(méi)有起到增強(qiáng)的作用，有較多的弱邊緣不清晰.圖6(e)自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階之所以能夠更好地凸顯弱紋理和邊界特征，是因?yàn)樵摲椒ǜ鶕?jù)圖像的整數(shù)階梯度以及信息熵自適應(yīng)計(jì)算分?jǐn)?shù)階階次，并且在每個(gè)像素點(diǎn)都取到其最佳的階次，所以能夠更有效地突出增強(qiáng)弱紋理、弱邊界區(qū)域，而平滑區(qū)域不增強(qiáng)，從而避免了其他一些無(wú)需增強(qiáng)區(qū)域的過(guò)增強(qiáng)的副作用.

3.2 分割性能的驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文算法對(duì)具有弱紋理、弱邊緣特征的圖像具有更好的分割性能，選取了4幅醫(yī)學(xué)圖像(如圖7(a)所示的4幅圖像，并分別編號(hào)為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)，這4幅圖像均具有灰度分布不均勻、弱邊緣、弱紋理特征.將本文算法與RSF模型、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[16]以及人工選取最佳階次進(jìn)行對(duì)比，并用最終分割結(jié)果圖、演化迭代次數(shù)來(lái)評(píng)定各種算法的分割性能.實(shí)驗(yàn)中各模型的相關(guān)參數(shù)均取各自文獻(xiàn)中選用的參數(shù)，本文算法參數(shù)根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，設(shè)置為

Ⅰ：Δt=0.1,λ1=β1=β2=1,λ2=2,μ=1,σ=3,ν=0.004×255×255,分?jǐn)?shù)階微分模板大小是3×3；

Ⅱ：λ1=2,λ2=1，其他同I的參數(shù)；

Ⅲ：參數(shù)與Ⅱ的參數(shù)相同；

Ⅳ：λ1=λ2=1，ν=0.002×255×255，其他與Ⅰ的參數(shù)相同.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示，圖7(a)為輸入圖像，圖7(a)中的方框表示選擇的曲線初始位置，圖7(b)～(d)以及圖7(f)分別為RSF模型、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[16]和本文方法的分割結(jié)果，圖7(e)為人工選取最佳階次時(shí)的分割結(jié)果；第1～4行的最佳階次分別為0.2,0.5，0.4，0.5.圖7(b)～(f)的曲線表示分割出的目標(biāo)輪廓.從圖7可以看出RSF模型和文獻(xiàn)[16]均陷入了局部最優(yōu)，不能正確分割出結(jié)果；文獻(xiàn)[6]出現(xiàn)了過(guò)分割的現(xiàn)象；本文的分割方法自適應(yīng)選擇階次和人工選取最佳階次均得到理想的分割結(jié)果.

Fig. 7 Input image and segmentation results of different methods圖7 輸入圖和不同方法分割結(jié)果

Fig. 8 Iterations of different segmentation models圖8 各分割模型的迭代次數(shù)比較

此外為了比較該4種方法的分割效率，本文通過(guò)比較4種算法的迭代次數(shù)，結(jié)果如圖8所示，本文算法的迭代速度比RSF模型和文獻(xiàn)[16]有較大的提升，這是因?yàn)楸疚乃惴ㄔ诒Ａ粼糝SF模型優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，還融入了新的分?jǐn)?shù)階擬合項(xiàng)，增加了演化曲線的驅(qū)動(dòng)力，從而加速了演化過(guò)程，減少了迭代次數(shù).與文獻(xiàn)[6]相比，本文算法在迭代次數(shù)上沒(méi)有優(yōu)勢(shì)，是因?yàn)槲墨I(xiàn)[6]通過(guò)局部聚類準(zhǔn)則對(duì)圖片進(jìn)行了灰度不均校正，得到類似于原圖一個(gè)灰度均勻的偏差圖，所以能較快地得到分割結(jié)果，但容易出現(xiàn)過(guò)分割.本文算法在局部擬合項(xiàng)中融合了雙邊濾波，這是一個(gè)非線性濾波，因此迭代速度有所降低.但雙邊濾波具有較好的保邊性能，能防止邊界弱化，因此比文獻(xiàn)[6]有較高的分割精度.故本文提出的方法在效率稍有降低的前提下對(duì)分割精度有較大的提升.

Fig. 9 Segmentation results of four different initial curves by using our method圖9 本文算法在4種不同初始位置下的分割結(jié)果

3.3 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階的最佳階次分析

本次實(shí)驗(yàn)的目的是為了驗(yàn)證自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階的數(shù)學(xué)模型正確性，將本文自適應(yīng)計(jì)算分?jǐn)?shù)階階次的方法與人工調(diào)節(jié)階次的方法進(jìn)行比較(其他步驟相同，僅僅階次的選擇方法不同)，選取具有灰度不均勻、弱邊緣、弱紋理特征的醫(yī)學(xué)圖片，如圖9所示.為進(jìn)一步對(duì)分割結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，本文定義了正確分割率(correct segmentation rate,CSR)，并用正確分割率對(duì)分割結(jié)果進(jìn)行定量分析.

(33)

其中，φ1是人工標(biāo)定目標(biāo)輪廓的水平集，φ2是演化后最終的水平集，N(φ1∩φ2)是兩水平集相同符號(hào)的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，N(φ1),N(φ2)是水平集的像素點(diǎn)個(gè)數(shù).從式(33)可以看出，CSR的值越大分割越準(zhǔn)確.

圖9(a)表示輸入圖像及不同的初始位置，圖9(b)表示了本文算法在4種不同初始位置下的分割結(jié)果，從圖9可以看出本文的分割方法在不同初始位置時(shí)，都得到了正確的分割結(jié)果，按照式(33)計(jì)算本文算法的正確率均達(dá)到了100%.同時(shí)還繪制了在圖9中4種不同位置(從左至右)下不同的分?jǐn)?shù)階階次α與正確分割率的曲線圖，如圖10所示.從圖10可以得出，位置3只有當(dāng)階次為0.7時(shí)分割正確率達(dá)到100%，而在其他3種位置時(shí)分割正確率達(dá)到100%時(shí)的階次均在0.75～0.85的區(qū)間段內(nèi).所以，在上述4種位置下人工選擇的分?jǐn)?shù)階階次在0.7～0.85之間均可以得到正確的分割結(jié)果,但是人工調(diào)階這個(gè)過(guò)程非常費(fèi)時(shí)費(fèi)力的.而自適應(yīng)選擇分?jǐn)?shù)階階次同樣完成了分割目的，卻避免了尋找最佳階次的過(guò)程.

Fig. 10 Curves between order and segmentation accuracy圖10 階次α與正確分割率的關(guān)系(4種初始位置)

Fig.11 Curves between order and gradient variance圖11 階次α與分?jǐn)?shù)階梯度方差的關(guān)系

為了進(jìn)一步確定自適應(yīng)選擇階次和人工選擇最佳階次之間的聯(lián)系，通過(guò)統(tǒng)計(jì)計(jì)算發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階梯度方差與分?jǐn)?shù)階階次的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)，于是繪制了分?jǐn)?shù)階階次與分?jǐn)?shù)階梯度方差之間的曲線圖，在0～1區(qū)間內(nèi)，隨著階次的增加，分?jǐn)?shù)階梯度方差將減小，如圖11所示.從圖10的曲線圖已經(jīng)得出，在4種不同的初始位置下，能正確完成分割任務(wù)的階次在0.7～0.85之間、在圖11中，上述區(qū)間內(nèi)的分?jǐn)?shù)階梯度方差由19.2降到9.041.由于自適應(yīng)算法在各點(diǎn)計(jì)算的階次不同，所以無(wú)法計(jì)算具體的階次.但是可以計(jì)算出圖像的分?jǐn)?shù)階梯度方差是18.66，并接近19.2,從而可以推斷出自適應(yīng)算法的綜合分?jǐn)?shù)階階次接近0.7.本文算法之所以有這樣的分割結(jié)果是因?yàn)榻Y(jié)合了整數(shù)階梯度模值和圖像的信息熵，通過(guò)這2個(gè)參數(shù)判斷圖像的邊界和紋理結(jié)構(gòu)，并且構(gòu)造分?jǐn)?shù)階階次的自適應(yīng)函數(shù)，根據(jù)紋理和邊界的強(qiáng)弱自適應(yīng)計(jì)算最佳階次，節(jié)省了尋找最佳階次的工作量，最終得到正確的分割結(jié)果.

4 結(jié) 論

將G-L分?jǐn)?shù)階微分的全局梯度信息融合到RSF模型中，并用雙邊濾波函數(shù)替代局部擬合項(xiàng)中的高斯核函數(shù)，解決了RSF模型在分割弱邊緣、弱紋理圖像時(shí)易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題.一方面，將全局G-L分?jǐn)?shù)階梯度融合到RSF模型中，即在RSF模型中增加全局的分?jǐn)?shù)階梯度擬合項(xiàng)，提高演化曲線的驅(qū)動(dòng)力，避免演化曲線在圖像的弱邊緣及紋理豐富區(qū)域陷入局部最優(yōu)；另一方面在局部擬合項(xiàng)中使用雙邊濾波函數(shù)，既考慮了像素空間位置的因素，又考慮了灰度值之間的差異性，避免邊界弱化，從而提高了邊界定位能力.此外基于圖像梯度模值和信息熵，構(gòu)造了自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階階次的數(shù)學(xué)模型，自動(dòng)自適應(yīng)計(jì)算整幅圖像中各個(gè)區(qū)域的階次.理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明改進(jìn)后的算法能夠更好地增強(qiáng)圖像弱邊界、弱紋理區(qū)域的梯度，能夠根據(jù)圖像的特征自適應(yīng)計(jì)算分?jǐn)?shù)階的最佳階次，省去了費(fèi)時(shí)費(fèi)力地尋找最佳階次的工作，提高了圖像分割的效率，圖像的分割精度也得到提高.另外本文通過(guò)計(jì)算自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階梯度值的方差，繪制了分?jǐn)?shù)階階次與分?jǐn)?shù)階梯度值方差的曲線圖，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)模型的正確性.不足之處是自適應(yīng)數(shù)學(xué)模型的建立僅考慮了圖像的梯度模值和信息熵，所以該模型并不是最優(yōu)的模型.今后的研究工作將進(jìn)一步優(yōu)化自適應(yīng)數(shù)學(xué)模型，提高計(jì)算速度，進(jìn)而提高分割效率.

[1]Jiang Guiping, Qin Wenjian, Zhou Shoujun, et al. State-of-the-art in medical image segmentation[J]. Chinese Journal of Computers, 2015, 38(6): 1222-1242 (in Chinese)(江貴平, 秦文健, 周壽軍, 等. 醫(yī)學(xué)圖像分割及其發(fā)展現(xiàn)狀[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2015, 38(6): 1222-1242)

[2]Xu Xinzheng, Ding Shifei, Shi Zhongzhi, et al. New theories and methods of image segmentation[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(2): 76-82 (in Chinese)(許新征, 丁世飛, 史忠植, 等. 圖像分割的新理論和新方法[J]. 電子學(xué)報(bào), 2010, 38(2): 76-82)

[3]Li Chunming, Kao C-Y, Gore J C, et al. Minimization of region-scalable fitting energy for image segmentation[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2008, 17(10): 1940-1949

[4]Wang Bin, Gao Xinbo, Tao Dacheng, et al. A nonlinear adaptive level set for image segmentation[J]. IEEE Trans on Cybernetics, 2014, 44(3): 418-428

[5]Wang Bin, Li Jie, Gao Xinbo. An edge- and region-based level set method with shape priors for image segmentation[J]. Chinese Journal of Computers, 2012, 35(5): 1067-1072 (in Chinese)(王斌, 李潔, 高新波. 一種基于邊緣與區(qū)域信息的先驗(yàn)水平集圖像分割方法[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2012, 35(5): 1067-1072)

[6]Li Chunming, Huang Rui, Ding Zhaohua, et al. A level set method for image segmentation in the presence of intensity inhomogeneities with application to MRI[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2011, 20(7): 2007-2016

[7]Bai Xuefei, Wang Wenjian, Liang Jiye. An active contour model based on region saliency for image segmentation[J]. Journal of Computer Research and Development, 2012, 49(2): 2686-2695 (in Chinese)(白雪飛, 王文劍, 梁吉業(yè). 基于區(qū)域顯著性的活動(dòng)輪廓分割模型[J]. 計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展, 2012, 49(2): 2686-2695)

[8]Unde A S, Premprakash V A, Sankaran P. A novel edge detection approach on active contour for tumor segmentation[C] //Proc of IEEE SCES-2012. Piscataway, NJ: IEEE, 2012: 1-6

[9]Hai Min, Wang Xiaofeng. A novel level set model based on multi-scale local structure operation for texture image segmentation[J]. Journal of Information and Computational Science, 2015, 12(1): 9-20

[10]Pu Yifei, Wang Weixin. Fractional differential masks of digital image and their numerical implementation algorithms[J]. Acta Electronica Sinica, 2007, 33(11): 1128-1135 (in Chinese)(蒲亦非, 王衛(wèi)星. 數(shù)字圖像的分?jǐn)?shù)階微分掩模及其數(shù)值運(yùn)算規(guī)則[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2007, 33(11): 1128-1135)

[11]Gao Chaobang, Zhou Jiliu. Image enhancement based on quaternion fractional directional differentiation[J]. Acta Electronica Sinica, 2011, 37(2): 150-159 (in Chinese) (高朝邦, 周激流. 基于四元數(shù)分?jǐn)?shù)階方向微分的圖像增強(qiáng)[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2011, 37(2): 150-159)

[12]Yang Zhuzhong, Zhou Jiliu, Lang Fangnian. Noise detection and image de-noising based on fractional calculus[J]. Journal of Image and Graphics, 2014, 19(10): 1418-1429 (in Chinese)(楊柱中, 周激流, 郎方年. 基于分?jǐn)?shù)階微積分的噪聲檢測(cè)和圖像去噪[J]. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào), 2014, 19(10): 1418-1429)

[13]Pu Yifen, Siarry P, Zhou Jiliu, et al. A fractional partial differential equation based multiscale denoising model for texture image[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2014, 37(12): 1784-1806

[14]Wang Chengliang, Lan Libin, Zhou Shangbo. Adaptive fractional differentional and its application to image texture enhancement[J]. Jouranl of Chongqing University, 2011, 34(2): 32-37 (in Chinese)(汪成亮, 蘭利彬, 周尚波. 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分在圖像紋理增強(qiáng)中的應(yīng)用[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 34(2): 32-37)

[15]Hu Fuyuan, Si Shaohui, Zhang Yanning, et al. Multi-bilateral filtering algorithm based on adaptive fractional order differentiation[J]. Journal of Image and Graphics, 2013, 18(10): 1237-1246 (in Chinese)(胡伏原, 姒紹輝, 張艷寧, 等. 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分的復(fù)合雙邊濾波算法[J]. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào), 2013, 18(10): 1237-1246)

[16]Ren Z. Adaptive active contour model driven by fractional order fitting energy[J]. Signal Processing, 2015, 117: 138-150

[17]Zhang Jun, Wei Zhihun, Xiao Liang. Adaptive fractional-order multi-scale method for image denoising[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2012, 43(1): 39-49

[18]Tian Dan, Zhang Xiaodan, Fan Linan. A fractional-order level set model for image segmentation[J]. International Journal of Digital Content Technology and Its Applications, 2013, 7(2): 622-630

[19]Chan T F, Vese L. Active contours without edges[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2001, 10(2): 266-277

[20]Cafagna D. Fractional calculus: A mathematical tool from the past for present engineers[J]. IEEE Industrial Electronics Magazine, 2007, 1(2): 35-40

[21]Tomasi C, Manduchi R. Bilateral filtering for gray and color images[C] //Proc of the 9th Int Conf on Computer Vision. Piscataway, NJ: IEEE, 1998: 839-846

A New Active Contour Model Based on Adaptive Fractional Order

Zhang Guimei1, Xu Jiyuan1, and Liu Jianxin2

1(Key Laboratory of Jiangxi Province for Image Processing and Pattern Recognition (Nanchang Hangkong University), Nanchang 330063)2(School of Mechanical Engineering, Xihua University, Chengdu 610039)

Region scalable fitting (RSF) active contour model has limitation in segmenting image with weak texture and weak edge, troubled by inclining to local minimum and slow evolution speed. Aiming at the problem, this paper proposes a new active contour model with fractional order derivative operator capable of adjusting degree adaptively. Firstly, the global Grünwald -Letnikov (G-L) fractional gradient is integrated with the RSF model, which can strengthen the gradient of regions with intensity inhomogeneity and weak texture. As a result, both the robustness to initial location of evolution curve and efficiency of image segmentation are improved. Secondly, the Gaussian kernel function in local fitting term is replaced by bilateral filtering, and the blurred boundary caused by Gaussian kernel function in the process of curve evolution can be tackled. Lastly, an adaptive fractional order mathematical model is constructed based on the gradient magnitude and information entropy of image, therefore the optimal fractional degree is adjusted adaptively. Theoretical analysis and experimental results show that the proposed algorithm is capable of segmenting images with intensity inhomogeneity and weak texture. And the optimal degree of fractional order derivative operator can be calculated adaptively. Furthermore, the presented method is capable of avoiding falling into local optimum, thus the efficiency of image segmentation can be improved.

Grünwald-Letnikov fractional order; adaptive fractional order; RSF model; active contour model; image segmentation

Zhang Guimei, born in 1970. PhD and professor. Senior member of CCF. Her main research interests include computer vision, image processing and pattern recognition, etc.

Xu Jiyuan, born in 1989. Master. His main research interests include image processing and machine learning (872410955@qq.com).

Liu Jianxin, born in 1969. PhD and professor. His main research interests include computer vision, image processing and machine learning, etc.

2016-04-26；

2016-10-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61462065)；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20151BAB207036)；江西省科技支撐計(jì)劃基金項(xiàng)目(20161BBF60091) This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (61462065), the Natural Science Foundation of Jiangxi Province of China (20151BAB207036), and the Key Technology Research and Development Program of Jiangxi Province of China (20161BBF60091).

劉建新(jamson_liu@163. com)

TP391.41