應(yīng)用距離搜索的低軌空間碎片初始軌道確定方法

章品 桑吉章 潘騰 李懷鋒

(1 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢 430079) (2 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094)

?

應(yīng)用距離搜索的低軌空間碎片初始軌道確定方法

章品1桑吉章1潘騰2李懷鋒2

(1 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢 430079) (2 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094)

使用低軌天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡掃描式觀測低軌空間碎片，由于兩者的相對運(yùn)動較快，只能獲得很短時間內(nèi)的角度觀測值(甚短觀測弧段)，使用傳統(tǒng)的Gauss方法和Gooding方法很難得到精確的空間碎片初始軌道。為此，文章提出了一種新的方法，在給定的一組角度觀測值中，通過搜索其中2個時刻的距離信息，將純角度的初始軌道確定問題轉(zhuǎn)換為基于2個位置矢量的初始軌道確定問題；再利用其他時刻的角度觀測值進(jìn)行檢核和約束，篩選出最優(yōu)的初始軌道結(jié)果。利用文章方法對空間碎片在10～60 s內(nèi)的503個觀測弧段進(jìn)行處理，結(jié)果表明，其定軌誤差與角度觀測值變化率有關(guān)。將文章方法所得結(jié)果與Gauss方法和Gooding方法進(jìn)行比較，證明文章方法在解的成功率和精度上都顯著優(yōu)于其他2種方法，能很好地確定空間碎片的初始軌道。

空間碎片；天基光學(xué)觀測；初始軌道確定；距離搜索；角度觀測值

1 引言

自人類進(jìn)入太空以來，人類的太空活動越來越頻繁，導(dǎo)致空間碎片越來越多。目前，直徑在1 cm以上的空間碎片多達(dá)50萬個，其中約90%的碎片都集中分布在軌道高度2000 km以下的低軌區(qū)域內(nèi)。大量高速飛行的空間碎片嚴(yán)重威脅了航天器的安全運(yùn)行，一旦發(fā)生碰撞，后果不堪設(shè)想。因此，對空間碎片進(jìn)行有效的監(jiān)控、編目和管理，并定期開展在軌碰撞預(yù)警，變得至關(guān)重要。截至2017年3月，北美航天防御司令部(NORAD)數(shù)據(jù)編目的在軌空間目標(biāo)多達(dá)18 000個，還有大量未知的空間目標(biāo)有待去確定它們的軌道信息。對于大量沒有任何先驗信息的空間碎片，要想實現(xiàn)精密定軌和編目，首先就要確定其初始軌道。

目前，我國主要利用地基光學(xué)跟蹤網(wǎng)監(jiān)測空間碎片。對于低軌空間碎片，地基光學(xué)觀測每天的觀測時間只有晨昏各約2 h，所能觀測的空間碎片數(shù)量有限；此外，受跟蹤網(wǎng)區(qū)域的限制，觀測不能實現(xiàn)全球覆蓋。這是我國高精度碎片數(shù)據(jù)庫和空間碰撞預(yù)警系統(tǒng)建立所面臨的主要困難之一。而使用低軌天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡對低軌空間碎片進(jìn)行掃描式探測時[1]，天基平臺自身的運(yùn)動特性導(dǎo)致觀測弧段很短[2]，只能獲得較短時間內(nèi)的角度觀測值(赤經(jīng)、赤緯)?，F(xiàn)有的Gauss方法[3-4]和Gooding方法[5-7]主要應(yīng)用于地基長弧段目標(biāo)的初始軌道確定，在處理較短時間內(nèi)的角度觀測值時，會出現(xiàn)迭代不收斂或者平凡解(收斂于天基平臺自身軌道)等現(xiàn)象，很難得到好的定軌結(jié)果[8-9]。

隨著計算機(jī)的發(fā)展，計算能力得到不斷提升，為有效利用低軌天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的角度觀測值進(jìn)行空間碎片初始軌道確定提供了條件。為此，本文提出了一種應(yīng)用距離搜索的低軌空間碎片初始軌道確定方法，可處理很短時間內(nèi)的角度觀測值，篩選出最優(yōu)的初始軌道結(jié)果。

2 應(yīng)用距離搜索的初始軌道確定方法

由于觀測誤差，對于很短時間內(nèi)的角度觀測值，Gauss方法在解算距離方程時，容易出現(xiàn)解算失敗或者所解算的距離誤差很大的情況，導(dǎo)致Gauss方法基本失效。而Gooding方法需要較精確的距離初值，收斂條件比較苛刻，因此，盡管解的收斂性比Gauss方法好，但在很多情況下仍不能獲得可靠的初始軌道解。為解決較短時間內(nèi)天基望遠(yuǎn)鏡到空間碎片的距離難于解算的困難，本文提出一種應(yīng)用距離搜索的低軌空間碎片初始軌道確定方法。在一個觀測弧段中，取2個觀測時刻(一般為首尾時刻)，在一定范圍內(nèi)以一定步長分別假設(shè)這2個時刻的距離值，根據(jù)每組距離值的組合，可以得到這2個時刻空間碎片相對地心的位置矢量，繼而可以確定一組軌道參數(shù)。根據(jù)這組軌道參數(shù)，可以計算出其他時刻的角度觀測值，并與實際角度觀測值進(jìn)行比較，以得到的殘差作為檢核標(biāo)準(zhǔn)，從而篩選出合適的初始軌道確定結(jié)果。這一方法受觀測弧段長度影響較小，只要多次求解Lambert問題[4]即可，且解的質(zhì)量可用其他角度觀測值來控制。

2.1 距離搜索

圖1為天基觀測示意，O―XYZ坐標(biāo)系為天球慣性坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為地球質(zhì)心，X軸指向春分點方向。假設(shè)在t1,t2,…,tn時刻分別獲得角度觀測值赤經(jīng)為(δ1,δ2,…,δn)和赤緯(φ1,φ2,…,φn)。在天球慣性坐標(biāo)系下，通過式(1)～(3)，可得天基望遠(yuǎn)鏡到空間碎片方向(即望遠(yuǎn)鏡視線方向)的單位矢量Li(i=1,2,…,n)坐標(biāo)(Lxi，Lyi，Lzi)。

(1)

(2)

(3)

圖1 天基觀測示意Fig.1 Diagram of space-based observation

選取t1到tk弧段為定軌弧段，tk+1到tn弧段為控制弧段。用ρ1，ρk表示t1，tk時刻的觀測距離，如果知道ρ1，ρk，就可根據(jù)空間碎片的位置矢量ri=ρiLi-Ri(i=1,k)得到2個位置矢量r1，rk，其中，Ri為天基望遠(yuǎn)鏡到地球質(zhì)心的矢量。這樣，純角度的初始軌道確定問題就轉(zhuǎn)換為基于2個位置矢量的軌道確定問題(即初始軌道確定的Lambert問題)。不妨在一定區(qū)間內(nèi)以一定步長分別假設(shè)ρ1，ρk的值，每個組合可以相應(yīng)計算出一組軌道參數(shù)，再通過控制弧段的角度觀測值來檢核該組軌道參數(shù)的準(zhǔn)確性。

2.2 篩選標(biāo)準(zhǔn)

(4)

(5)

這樣就可以得到(n-k)組赤經(jīng)、赤緯的偏差值，并計算這些偏差值序列的平均值、均方根等統(tǒng)計參數(shù)。以赤經(jīng)的偏差值Δδ為例，為簡化后續(xù)的表達(dá)，令m=n-k，yi=Δδi，則序列y的平均值為

(6)

均方根為

(7)

用簡單的線性回歸模型對序列y建立模型如下。

(8)

式中：因變量x表示當(dāng)前歷元與參考?xì)v元之間的差值；β0為回歸直線在y軸上的截距，β1為直線的斜率，可用最小二乘估計這2個系數(shù)，見式(9)。

(9)

該回歸方程的誤差和它的中誤差為

(10)

(11)

由于真實角度觀測值中可能存在粗差，導(dǎo)致y值與建立的回歸直線有較大的偏離。為了更好地用一條直線對y進(jìn)行擬合，利用中誤差σ對粗差進(jìn)行簡單的剔除。如果υi>3σ(i=1,2,…,m)，那么yi被剔除，剩下的y組成新的序列，并按照式(9)～(11)的過程得到新的β1以及y軸截距β0。

同理，Δφi(i=1,2,…,m)序列也可以得到相應(yīng)的參數(shù)。在這些參數(shù)中，選取均方根和斜率來檢核計算出來的軌道的可靠性。如前所述，如果Δδi，Δφi是在0值附近小幅度波動的噪聲序列，也就是說，其均方根以及序列整體的斜率都接近于0的話，可以認(rèn)為本次的定軌結(jié)果是比較準(zhǔn)確可靠的。這樣，可以對均方根和斜率分別給定一個閾值，從而篩選出符合要求的初始軌道確定結(jié)果(即軌道六根數(shù)中的半長軸a、偏心率e、傾角i、升交點赤經(jīng)Ω、近地點幅角ω和平近點角M)，構(gòu)建軌道集合，并分別求解軌道六根數(shù)的平均值，得到一個最優(yōu)解。

本文方法的流程如圖2所示，DRMS和Dβ分別為設(shè)定的均方根和斜率的閾值。

圖2 初始軌道確定方法流程Fig.2 Flowchart of method for initial orbit determination

3 仿真試驗及結(jié)果分析

3.1 仿真設(shè)定

以NORAD編目庫中的空間碎片二行參數(shù)(TLE)為基礎(chǔ)來產(chǎn)生仿真角度觀測值。TLE是NORAD基于低階解析攝動理論產(chǎn)生的用于計算地球軌道飛行器位置和速度的一組平均軌道根數(shù)，具有更新速度快、覆蓋空間物體數(shù)量多、獲取方便等特點[10]。天基平臺的軌道根數(shù)如表1所示(參考?xì)v元為2014年11月15日0時)，天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡與天基平臺固連，望遠(yuǎn)鏡光軸指向為軌道的法線方向，即始終垂直于軌道面，望遠(yuǎn)鏡視場為6°×6°，角度觀測誤差為2″。

通過模擬觀測試驗，在2014年11月15日和16日的觀測日期內(nèi)，得到了落入望遠(yuǎn)鏡視場里的1330個近圓低軌空間碎片，以及這些空間碎片落入視場內(nèi)的時間(即觀測時長)。針對這些空間碎片，考慮完整的攝動力影響，通過精密數(shù)值積分獲得其“真軌道”，從而進(jìn)一步獲得觀測弧段內(nèi)各觀測時刻(觀測時間間隔為0.1 s)的模擬角度觀測值(赤經(jīng)、赤緯)。因為觀測時長短于10 s，解的成功率降低，長于60 s的情況又較少，所以選取時長在10～60 s范圍內(nèi)的空間碎片(觀測時長超過60 s的空間碎片，只取前60 s的角度觀測值)，共503個，進(jìn)行初始軌道解算。分別使用Gauss方法、Gooding方法和本文方法，根據(jù)這503個空間碎片的角度觀測值進(jìn)行初始軌道確定，如果解存在，則得到該空間碎片的軌道六根數(shù)，并與空間碎片軌道參數(shù)參考值求差，得到初始軌道參數(shù)的誤差。另外，由于考慮的是近圓軌道空間碎片，即偏心率接近于0，軌道近地點所在位置比較模糊，且半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)能有效反映軌道的形狀，因此在評定3種方法初始軌道確定精度時只比較分析這3個參數(shù)的誤差。

表1 天基平臺軌道根數(shù)

3.2 本文方法仿真分析

3.2.1 仿真結(jié)果

使用本文方法處理503個甚短觀測弧段，初始軌道解算獲得488個解，解算成功率達(dá)到97%。定軌精度方面，本文方法確定的半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)誤差如圖3所示。

圖3 半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)誤差分布Fig.3 Error distribution of semi-major axes， inclination and RAAN

由圖3可知，本文方法確定的488個解中，半長軸誤差絕對值不超過100 km的有450個，占總數(shù)的92.2%，表明半長軸誤差主要集中在100 km范圍內(nèi)；另外，有121個解落在了[―10，+10] km區(qū)間內(nèi)，占總數(shù)的24.8%。類似地，傾角誤差絕對值和升交點赤經(jīng)誤差絕對值小于1°的分別有458個和442個，分別各占總數(shù)的93.9%和90.6%。傾角誤差絕對值小于0.1°的觀測弧段數(shù)目達(dá)到了227個，占46.5%，接近總數(shù)的50%；升交點赤經(jīng)誤差絕對值小于0.1°的也有92個，占總數(shù)的18.9%。

3.2.2 誤差分析

本質(zhì)上，初始軌道解算的參數(shù)精度取決于是否能從角度觀測值中提取有效的距離信息。當(dāng)天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡與空間碎片接近于平行運(yùn)行時，也即兩者軌道面夾角較小時，角度觀測值的幾何條件較差，難以提取有效的距離信息，這會影響最終的初始軌道確定精度。定軌誤差與軌道面夾角之間的關(guān)系如圖4所示。可見，天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡和空間碎片軌道面之間的夾角對初始軌道確定結(jié)果，特別是對軌道傾角和升交點赤經(jīng)的解有較大的影響。軌道面夾角大，也就意味著空間碎片與天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡有較大的相對位置變化，角度觀測值的時間變率比較大。因此，角度觀測值隨時間的變化率有可能為判斷初始軌道解算結(jié)果的好壞提供一些依據(jù)。

表2給出了半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)誤差根據(jù)赤經(jīng)、赤緯變化率的統(tǒng)計結(jié)果，其中區(qū)間A=(-0.05，+0.05)(°)/s。當(dāng)赤經(jīng)與赤緯的變化率都小于0.05(°)/s時(總共84個觀測弧段)，半長軸誤差大于100 km的比例為26.19%，傾角和升交點赤經(jīng)誤差大于1°的比例分別為16.67%和26.19%。另一方面，當(dāng)赤經(jīng)與赤緯的變化率至少有一個大于0.05(°)/s時(總共404個觀測弧段)，半長軸誤差大于100 km的比例降到3.96%，傾角和升交點赤經(jīng)誤差大于1°的比例分別降到3.96%和5.94%。也就是說，當(dāng)角度觀測值的變化率很小時，定軌解算誤差較大的可能性明顯上升。如果把赤經(jīng)和赤緯變化率都小于0.05(°)/s的情況剔除，則半長軸誤差超過100 km的比例從7.79%降至3.96%，同時傾角和升交點赤經(jīng)誤差大于1°的比例分別從6.15%和9.43%降到3.96%和5.94%。

將赤經(jīng)和赤緯變化率都小于0.05(°)/s的觀測弧段過濾掉，統(tǒng)計了剩余的404個觀測弧段的初軌確定結(jié)果，并與過濾前的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，經(jīng)過過濾后，各區(qū)間的百分比都有了一定的提高，或至少維持原有水平。

圖4 半長軸、傾角、升交點赤經(jīng)誤差與軌道面夾角的關(guān)系Fig.4 Errors of semi-major axis， inclination and RAAN vs. intersection angles of two orbits

條件觀測弧段個數(shù)|Δa|>100km|Δi|>1°|ΔΩ|>1°個數(shù)所占百分比/%個數(shù)所占百分比/%個數(shù)所占百分比/%δ·∈A&&φ·∈A842226.191416.672226.19δ·?A||φ·?A404163.96163.96245.94合計488387.79306.15469.43

注：“過濾前”表示所有解算結(jié)果，“過濾后”表示去除赤經(jīng)和赤緯變化率都小于0.05(°)/s的觀測弧段后的解算結(jié)果。圖5 過濾前后半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)誤差分布Fig.5 Error distribution of semi-major axis， inclination and RAAN before and after filtration

3.3 與Gauss方法和Gooding方法的比較

采用Gauss方法和Gooding方法對相同的角度觀測值進(jìn)行處理。從初始軌道確定的解的個數(shù)和解的精度兩個方面，綜合比較Gauss方法、Gooding方法和本文方法的初始軌道確定效果。3種方法解算觀測時長在10～60 s范圍內(nèi)的503個觀測弧段，解的結(jié)果如表3所示?？梢姡诮獾拇嬖谛苑矫?，Gooding方法要優(yōu)于Gauss方法，而本文方法相對于Gooding方法又有顯著的提升。

表3 3種方法的解

圖6分別為3種方法得到的半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)誤差的分布?？梢钥闯?，在各誤差區(qū)間內(nèi)，本文方法的百分比始終最大，Gooding方法次之，Gauss方法最小。以半長軸誤差分布為例，在誤差范圍為[―500,+500]km時，也就是說初始軌道確定的半長軸精度能達(dá)到500 km時，Gauss方法的解只有16.7%，Gooding方法的有99.1%，本文方法有99.8%；雖然在該區(qū)間內(nèi)Gooding方法和本文方法相差不大，但當(dāng)精度提高到100 km時，Gooding方法的比例迅速減小到57.4%，而本文方法仍有92.2%的解達(dá)到該精度，此時，Gauss方法只有8.3%；當(dāng)區(qū)間縮小到[―10，+10]km時，Gauss方法并不存在半長軸誤差的絕對值小于10 km的解，Gooding方法也只有9.6%，而本文方法有24.8%的解能滿足該精度要求。

傾角和升交點赤經(jīng)誤差也有類似的規(guī)律，因而可以得出結(jié)論：在處理很短時間內(nèi)的角度觀測值時，本文方法解的成功率和精度比Gauss方法和Gooding方法有明顯的優(yōu)勢。

另外，對3種方法的解算結(jié)果分別進(jìn)行統(tǒng)計，它們的半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)的誤差絕對值|Δa|，|Δi|，|ΔΩ|的統(tǒng)計結(jié)果如表4所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，對于|Δa|，|Δi|，|ΔΩ|，本文方法的平均值和均方根都是最小的，Gooding方法次之，Gauss方法最大。經(jīng)過過濾后，本文方法獲得的各軌道參數(shù)誤差的平均值、均方根和最大值都得到了改善，特別是最大值方面，過濾前，本文方法獲得的|Δa|和|Δi|的最大值都要大于Gooding方法，而過濾后的最大值明顯減小，且小于Gooding方法。這也表明，在犧牲一定解算成功率的前提下，通過過濾處理可以有效過濾掉偏差過大的粗差，從整體上改善解算精度。

圖6 3種方法得到的半長軸、傾角和升交點赤經(jīng)誤差分布Fig.6 Errors distribution of semi-major axis， inclination and RAAN using three methods

方法|Δa|/km|Δi|/(°)|ΔΩ|/(°)平均值均方根最大值平均值均方根最大值平均值均方根最大值Gauss方法19997.755208.8255370.68.0513.5845.4816.8224.0375.09Gooding方法122.8176.1595.10.350.582.690.811.153.62本文方法過濾前40.968.1629.10.280.544.500.460.663.34過濾后32.448.8318.30.230.371.750.390.542.94

4 結(jié)束語

本文提出了一種應(yīng)用距離搜索確定低軌空間碎片初始軌道的方法，并進(jìn)行了仿真試驗。試驗結(jié)果表明，本文方法能根據(jù)很短時間內(nèi)的角度觀測值確定低軌空間碎片的初始軌道，比傳統(tǒng)的Gauss方法和Gooding方法能夠有效提高解算成功率以及精度。此外，初始軌道確定的誤差與天基平臺和空間碎片之間的軌道面夾角大小有比較明顯的關(guān)系，當(dāng)夾角很小，也即角度觀測值的變化率都接近于0時，解算出的初始軌道參數(shù)有較大誤差的概率明顯上升。因此，在進(jìn)行初始軌道確定之前，可以先對角度觀測值做預(yù)處理，過濾掉角度觀測值變化率很小的觀測弧段(閾值可設(shè)置為0.05(°)/s)，這樣處理雖然會在一定程度上減少解的數(shù)量，但能有效地避免出現(xiàn)解算誤差過大的情況，改善整體的解算精度。本文方法獲得的更高精度的空間碎片初始軌道，可為空間碎片更精確的定軌和預(yù)報，以及我國對空間碎片的監(jiān)測和碰撞預(yù)警提供一種有效途徑。

References)

[1] Fujimoto K,Scheeres D J. Correlation and initial orbit determination for short-arc optical observations [R/OL].[2017-02-23].https://www.researchgate.net/publication/253881513_Correlation_and_Initial_Orbit_Determination_for_Short-Arc_Optical_Observations

[2]Ansalone L,Curti F. A genetic algorithm for initial orbit determination from a too short arc optical observation [J]. Advances in Space Research,2013,52(3): 477-489

[3]Vallado D A,McClain W D. Fundamentals of astrodynamics and applications [M]. Berlin：Springer Science & Business Media,2001

[4]Escobal P R. Methods of orbit determination [J]. New York: Wiley,1965

[5]Gooding R H. A new procedure for orbit determination based on three lines of sight (angles only) [R/OL]. [2017-02-23]. https://www.researchgate.net/publication/235117379_A_New_Procedure_for_Orbit_Determination_Based_on_Three_Lines_of_Sight_Angles_Only

[6]Gooding R H. A new procedure for the solution of the classical problem of minimal orbit determination from three lines of sight [J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy,1996,66(4): 387-423

[7]Vallado D A. Evaluating Gooding angles-only orbit determination of space based space surveillance measurements [J/OL].[2017-02-23]. https://www.researchgate.net/publication/228994563_Evaluating_Gooding_Angles-only_Orbit_Determination_of_Space_Based_Space_Surveillance_Measurements

[8]王秀紅，李俊峰，王彥榮.天基照相機(jī)監(jiān)測空間目標(biāo)定軌方法及精度分析[J].光學(xué)精密工程，2013，21(6)：1394-1403

Wang Xiuhong,Li Junfeng， Wang Yanrong. Orbit determination and precision analysis of space object with space-based camera [J]. Optics and Precision Engineering,2013,21(6): 1394-1403 (in Chinese)

[9]劉磊.基于天基監(jiān)視的空間目標(biāo)測向初軌確定研究[D].長沙：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010

Liu Lei. Study on the initial orbit determination of space targets with space-based surveillance [D]. Changsha： National University of Defense Technology,2010 (in Chinese)

[10]Levit C,Marshall W. Improved orbit predictions using two-line elements [J]. Advances in Space Research,2011,47(7): 1107-1115

(編輯：夏光)

Initial Orbit Determination Method Based on Range Searching for LEO Space Debris

ZHANG Pin1SANG Jizhang1PAN Teng2LI Huaifeng2

(1 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China) (2 Beijing Institute of Spacecraft System Engineering,Beijing 100094,China)

When a LEO space debris is optically observed in the scanning mode from a LEO space-based telescope,only angular observations in a very short time (very short observation arc)can be collected due to high relative velocity between the debris and the telescope. It is usually difficult to obtain accurate IOD (initial orbit determination) results from such short-arc angles by using traditional Gauss and Gooding methods. In this paper,a new method is proposed to tackle this very short-arc angles-only IOD problem. In a set of given angular observations,the ranges at two epochs are tested through a step-by-step search procedure and making the problem of angles-only IOD transforming to the problem of two position vector IOD. Then,the angular observations of other epochs are used in judgment foundation of the IOD solutions to obtain an optimal solution. The method is applied to process 503 observation arcs of space debris between 10 and 60 seconds,and the results show that the errors of IOD are principally influenced by the variation rate of angular observations. Comparisons with the results using the Gauss and Gooding methods show that,the proposed method is significantly superior over the other two methods in both the solution success rates and accuracy,which can be used to determinate the initial orbit of space debris.

space debris； space-based optical tracking； IOD(initial orbit determination)； range searching； angular observation

2017-03-06；

2017-03-28

國家自然科學(xué)基金(41474021)

章品，男，碩士研究生，從事空間碎片軌道確定與預(yù)報工作。Email:pzhang1992@whu.edu.cn。

P228.1

A

10.3969/j.issn.1673-8748.2017.02.004