趙曉軍 王龍 王小華 李德軒
(1.北京大學經(jīng)濟學院北京100871)
(2.中央財經(jīng)大學中國經(jīng)濟與管理研究院北京100081)
(3.中國傳媒大學動畫與數(shù)字藝術(shù)學院北京100024)
靜態(tài)與動態(tài)Mirrlees模型的最優(yōu)稅收理論*
——拉格朗日泛函的應用
趙曉軍1王龍1王小華2李德軒3
(1.北京大學經(jīng)濟學院北京100871)
(2.中央財經(jīng)大學中國經(jīng)濟與管理研究院北京100081)
(3.中國傳媒大學動畫與數(shù)字藝術(shù)學院北京100024)
本文利用拉格朗日方法重新解決Mirrlees(1971)和Golosov等(2003)的模型,得到一些更為豐富的結(jié)果。Golosov等(2003)僅僅求解了最優(yōu)的資本收入稅,本文同時求解了動態(tài)情形下的最優(yōu)資本收入稅和勞動收入稅,從而使得比較靜態(tài)和動態(tài)情形下的Mirrlees模型成為可能。本文的結(jié)論是動態(tài)和靜態(tài)的情形下最優(yōu)的勞動收入稅形式一致,并當效用函數(shù)關(guān)于勞動能力存在乘積意義上的可分,勞動收入稅可以為0。在研究了最優(yōu)稅收政策后,本文模擬了相關(guān)結(jié)果,給出一些圖表用以佐證提出的觀點。
Mirrlees模型 信息不對稱 Lagrange泛函
最優(yōu)稅收理論,傳統(tǒng)上有兩種方式來描述。第一類被稱為次優(yōu)稅收理論,它是將政府與經(jīng)濟個體認為是互相博弈的雙方,雙方的博弈方式是Starkelberg博弈,最優(yōu)的稅收政策就是Starkelberg博弈的均衡策略。次優(yōu)稅收理論較好地描述了稅收的本質(zhì)問題,但是這種理論往往預先假設(shè)稅收的形式,并且其政策往往具有時間不一致性的問題。于是突破次優(yōu)稅收理論一度成為經(jīng)濟學家的關(guān)注熱點。還有一類最優(yōu)稅收理論利用不完備市場的結(jié)構(gòu)造成最優(yōu)的分配與理想中的分配有一定的摩擦,于是在分散經(jīng)濟中就可以利用扭曲性稅收政策來平滑這一摩擦,使得分散經(jīng)濟的分配和具備摩擦的計劃者經(jīng)濟一致。不完備市場中具備摩擦的經(jīng)濟種類較多,大體上有兩種類型的摩擦。第一類是由市場的法律法規(guī)限制而形成的摩擦,通常體現(xiàn)為借貸約束、市場準入條件、最低行業(yè)標準以及在發(fā)展中國家廣泛存在的金融市場的各類加以約束。①如我國的金融市場是不完全市場化的,它不允許賣空,漲停漲跌等限制。這類約束往往是人為地對市場的限制,在實際操作中比較容易去除。并且隨著時間的推移和市場化進程的加快,此類約束逐漸軟化,對經(jīng)濟的影響越來越微弱。第二類摩擦是由不對稱信息引起的,最早Mirrlees(1971)考察了不對稱信息下的最優(yōu)勞動收入稅,得出稅收與勞動能力之間的Logistic關(guān)系。指出稅收政策的設(shè)計為了更好地激勵全體公民的勞動,同時,由于信息不對稱為經(jīng)濟內(nèi)生的約束,它不可能簡單地通過法規(guī)的設(shè)計來得到約束的軟化,所以,自Mirrlees(1971)之后,大批經(jīng)濟學家集中在信息不對稱領(lǐng)域,當前信息經(jīng)濟學已經(jīng)成為這個時代經(jīng)濟學的主流。
雖然Mirrlees(1971)最早研究的是最優(yōu)稅收問題,但那只是在靜態(tài)的框架下展開,得到的結(jié)果并不是特別豐富。之后的經(jīng)濟學家如Stiglitz,Akerlof和Spence將信息經(jīng)濟學發(fā)揚光大,但他們研究的領(lǐng)域已然脫離了最優(yōu)稅收的框架。Golosov等(2003)首次將Mirrlees(1971)的模型推廣到動態(tài)的框架,得出最優(yōu)的資本收入稅為正的結(jié)論。但是由于優(yōu)化問題求解方法上的限制,Golosov等(2003)并沒有解決相關(guān)的一些重要問題,并且沒有可能與靜態(tài)的Mirrlees模型進行比較。
本文利用Lagrange泛函的方法統(tǒng)一解決了靜態(tài)和動態(tài)情形下,帶有信息不對稱的Mirrlees模型。得到比Golosov等(2003)更豐富的結(jié)果,給出最優(yōu)稅收的顯示表達式,并比較了動態(tài)和靜態(tài)框架下的Mirrlees模型,得到兩者的勞動收入稅形式一致的結(jié)論。最后,本文給出數(shù)值模擬,刻畫稅負承擔人群。接下來的行文安排如下:在第二節(jié)講述靜態(tài)Mirrlees模型;第三節(jié)講述動態(tài)Mirrlees模型;第四節(jié)模擬各種最優(yōu)稅收的結(jié)果;第五節(jié)進行總結(jié)。
1.基本模型設(shè)定
靜態(tài)的Mirrlees模型比較簡單,設(shè)θ為經(jīng)濟個體的勞動能力,它是概率空間(Ω,F,μ)上的隨機變量,它的像集為Θ。因此,經(jīng)濟個體的有效勞動y=lθ,其中l(wèi)為其勞動時間。個體的效用函數(shù)建立在消費c和勞動l上,記為u(c,l)=u(c,y/θ)。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為H(Y),其中為加總的有效勞動,則計劃者的最優(yōu)化問題為:
受到如下資源約束:
和IC約束:
這樣,就構(gòu)建了靜態(tài)框架下的Mirrlees模型,下面利用Zhao and Gong(2009)介紹的拉格朗日泛函的方法求解這一模型。
2.計劃者經(jīng)濟模型求解
若定義λ為資源約束(2),λ(θ,θ')為IC約束(3)的拉格朗日乘子,則由趙曉軍(2010)命題2.8可得:
和趙曉軍(2010)一樣,若對效用函數(shù)u(c,y/θ)沒有一些特別限制,則無法得到更有意義的結(jié)論。為此,下面假設(shè)了兩種情形:
情形1.
則方程(4)和(5)成為:
在上式中消去λ和λ(θ)得到最終的一階條件:
情形2.
在上式中消去λ得到最終的一階條件:
為了得到最優(yōu)稅收政策,下面考察分散經(jīng)濟情況。
3.分散經(jīng)濟中的實現(xiàn)
在分散經(jīng)濟中,具備能力為θ的個體優(yōu)化問題為:
受約束于
其中τw為勞動收入稅率,χ(θ)為政府的轉(zhuǎn)移支付。上述問題的最優(yōu)性條件為:
政府的預算約束平衡為:
因此在宏觀均衡中將得到:
這和資源約束(2)是一致的。
在情形1中,如果要求分散經(jīng)濟達到計劃者經(jīng)濟配置,則τw=0。而在情形2中,則需要:
這是依賴于狀態(tài)θ的稅收政策。
需要說明的是,在情形1中得到的最優(yōu)勞動收入稅為零,這與Cham ley(1986)和Judd等(1985)的結(jié)論相同。有一大類的效用函數(shù)滿足情形1的假設(shè),如:
其中θ,ε和σ都是大于0的常數(shù),則:
因此,此類效用函數(shù)滿足情形1的假設(shè),于是此時的最優(yōu)資本收入稅率為0。
圖1 靜態(tài)Mirrlees模型最優(yōu)勞動收入稅與能力關(guān)系
上圖的相關(guān)常數(shù)設(shè)定如下,σ=2,γ=0.5,設(shè)H(Y)=Y0.7,并假設(shè)能力θ是區(qū)間[2,22]上的均勻分布。下面進入動態(tài)Mirrlees模型的討論。
本部分沿用Golosov等(2003)的動態(tài)Mirrlees模型,重新檢驗他們的結(jié)論,并全面解決Golosov等(2003)框架下的最優(yōu)稅收問題。首先來描述經(jīng)濟的基本元素,它主要包括對經(jīng)濟個體效用、私有信息的描述,對生產(chǎn)的描述。
假設(shè)經(jīng)濟持續(xù)T期,經(jīng)濟個體分布在[0,1]閉區(qū)間上。對于任意經(jīng)濟個體j∈[0,1],設(shè)他在t期具有勞動能力并假設(shè)對于不同個體j是獨立同分布的,隨機過程定義在概率空間(Ω,F,μ)上,對于遞增的事件流Ft是適應的。和趙曉軍(2010)一致,定義F為所有事件流的并集,即
在t期經(jīng)濟個體的效用函數(shù)建立在消費和勞動上,其有效勞動考慮到θt為私有信息,將t期的效用函數(shù)表達成則勞動能力序列為的經(jīng)濟個體事后折現(xiàn)效用為
從上一部分的討論,可以得到最優(yōu)稅收政策需要分散經(jīng)濟的最優(yōu)性條件,為此,下面先介紹分散經(jīng)濟。
1.分散經(jīng)濟
分散經(jīng)濟分析的一般思路是在固定政府政策下,經(jīng)濟達到的均衡。此時的經(jīng)濟有三方參與者:消費者、廠商和政府。對勞動能力序列為的消費者而言,就是在財富約束下的期望折現(xiàn)效用最大化。也即:
受約束于
其中kt為t期的社會總資本,為社會加總的有效勞動,這個優(yōu)化問題的一階條件為
下面考慮政府的預算約束平衡,保證每期的稅收收入全部用于轉(zhuǎn)移支付,即
同時消費者在均衡時的一階條件變成
以上兩個式子就是分散經(jīng)濟均衡時的最優(yōu)性條件,下面計算在信息不對稱下的計劃者經(jīng)濟下的最優(yōu)性條件,比較兩者的最優(yōu)性條件,得到最優(yōu)稅收。
2.計劃者經(jīng)濟模型求解
考慮此時政府充當社會計劃者的角色,它組織生產(chǎn),分配資源。但是它只能觀測到經(jīng)濟個體的有效勞動不能知道經(jīng)濟個體的勞動能力,于是在資源分配時,它需要經(jīng)濟個體匯報自己的真實類型。因此,它的分配應該使得每種類型的經(jīng)濟個體的事后效用在真實匯報情形下最大。于是計劃者經(jīng)濟的優(yōu)化問題如下:
受到資源約束
和如下的激勵相容約束
其中W(σ,θ)為能力序列為θ的個體在匯報策略為σ:ΘT→ΘT下的事后折現(xiàn)效用。即:
記所有匯報策略σ組成的集合為∑,上述激勵相容約束(29)還可以進一步改寫成:
記λt為資源約束(28)的拉格朗日乘子,為IC約束(30)的拉格朗日乘子,應用拉格朗日泛函的方法,得到
同上一節(jié)的討論一樣,如果不給出效用函數(shù)的進一步性質(zhì),我們依然無法分析上述最優(yōu)性條件。為此,分以下兩種情形討論。
情形1.
注意λt為非隨機變量,利用上式可得
等式(35)就是“逆歐拉方程”,和Golosov等(2003)一致。比較(36)和(26),得到此時的最優(yōu)勞動收入稅為零,即:
同時比較(35)和(25)得到:
由此可得:
其中ε滿足
(37)表明此時的最優(yōu)勞動收入稅為零,這和靜態(tài)的情形1一致,(38)表明最優(yōu)的資本收入稅可以有多種選擇,這一結(jié)論與Zhu(1992)的結(jié)論類似,在那篇文文中,考慮是一個帶生產(chǎn)沖擊的經(jīng)濟,其最優(yōu)的資本收入稅也可以有多重選擇。若要求則唯一的最優(yōu)資本收入稅率由(39)給出,由Jesson不等式,可得此時的稅率大于0,這個稅率和Golosov等(2003)一致,但是這里關(guān)于效用函數(shù)的假設(shè)不同于Golosov等(2003)。
情形2.
方程(41)再次重復了Golosov等(2003)的結(jié)論,而(42)是雷同于靜態(tài)Mirrlees模型的結(jié)果,無非此時加上了條件期望算子Et,于是動態(tài)不對稱信息下的最優(yōu)勞動收入稅和靜態(tài)的結(jié)果一致。但是方程(42)在Golosov等(2003)中沒有得到,事實上,利用Rogerson(1985)提出的最小資源對偶方法是無法得到這一最優(yōu)性條件的,只有通過拉格朗日泛函的方法得到。
圖2 動態(tài)Mirrlees模型最優(yōu)勞動收入稅和能力關(guān)系
下面考察此時的資本收入稅與勞動能力的關(guān)系。對能力序列為θ的經(jīng)濟個體在t期的資本收入稅收為:
圖3 動態(tài)Mirrlees模型最優(yōu)資本收入稅率與勞動能力關(guān)系
從以上的求解過程中,僅可以得到最優(yōu)消費路徑ct(θ)、最優(yōu)有效勞動供給路徑y(tǒng)t(θ)和最優(yōu)社會資本路徑kt。無法得到個人的財富路徑kt(θ),從分散經(jīng)濟的財富積累方程(18)看出,個人的財富積累路徑依賴于政府轉(zhuǎn)移支付政策的實施。而轉(zhuǎn)移支付政策只要在總量上滿足(23)即可。于是政府可以通過差異性轉(zhuǎn)移支付使得每一位經(jīng)濟個體在每一期的財富水平相同,即kt(θ)=kt。從這個意義上說,資本收入稅率之間的差異可以反映資本收入稅稅收收入之間的差異。據(jù)此,在本文的下述行文過程中,如沒有特別強調(diào),在描述資本收入稅和勞動能力之間的關(guān)系時,都采用資本收入稅率與勞動能力之間的關(guān)系替代。沿用圖2的數(shù)據(jù),圖3給出資本收入稅率與勞動能力之間的函數(shù)關(guān)系。
本節(jié)綜合本文前幾節(jié)的內(nèi)容,進行數(shù)值模擬。采用的效用函數(shù)統(tǒng)一為生產(chǎn)函數(shù)采用勞動能力{θt}設(shè)為獨立同分布的序列,其共同分布為[2,22]上的均勻分布。參數(shù)的設(shè)定在具體的數(shù)值模擬結(jié)果介紹時指出。
1.最優(yōu)資本收入稅
沿用圖3的解釋,個人的資本存量可以通過政府的差異性轉(zhuǎn)移支付得到每一期都相等。于是資本收入稅率之間的差異反映稅收收入之間的差異,在以下關(guān)于資本收入稅的圖表都將使用稅率和能力之間的關(guān)系表達。首先來考察隨時間變化,資本收入稅率的變化趨勢。
圖4反映隨時間增加,資本收入稅率不斷增加。同時注意到在t比較小時,稅率隨能力增加而減少,體現(xiàn)對高能力者的激勵作用。但是當t比較大時,對高能力者反而要征收高額資本收入稅,這體現(xiàn)隨著經(jīng)濟結(jié)束日子的臨近,已經(jīng)沒有必要激勵高能力者,可以對其實施重稅策略。
圖4 資本收入稅與勞動能力關(guān)系隨時間變化趨勢
同時注意到,在t=15時,能力約超過17的人其資本收入稅隨能力增加而增加,體現(xiàn)高能力者在經(jīng)濟結(jié)束臨近時的懲罰性稅收措施。并且在t=20時,這個高能力高稅收的政策又將人群提前到能力約大于13的地方,即經(jīng)濟結(jié)束的前夕,資本收入稅有不斷提前的懲罰效應。下面考察資本收入稅與參數(shù)σ之間的關(guān)系,見圖5。
圖5 資本收入稅與勞動能力關(guān)系隨σ變化趨勢
圖5反映的是隨著風險回避系數(shù)σ的增加,資本收入稅與勞動能力構(gòu)成的函數(shù)更加地凸向原點,但總體的遞減關(guān)系并沒有變化。值得注意的是當σ增大時,相同能力的經(jīng)濟個體稅負增加,這體現(xiàn)資本收入稅與勞動能力構(gòu)成的函數(shù)上移??梢灶A測,當σ充分大時,這一圖像最終也會形成類似圖4的后兩幅子圖的情況。
2.最優(yōu)勞動收入稅
不同于研究資本收入稅的邏輯,這里的所有的圖像反映了勞動收入稅與勞動能力之間的關(guān)系,而不再是稅率和勞動能力之間的關(guān)系。采用上一小節(jié)的比較方式,同樣考察勞動收入稅與勞動能力之間的關(guān)系隨時間t、風險回避系數(shù)σ的變化趨勢。首先給出隨時間的變化趨勢。
圖6 勞動收入稅與勞動能力關(guān)系隨時間t變化趨勢
圖6反映了勞動收入稅和勞動能力之間的Logistic關(guān)系,并且隨時間增加,這個曲線更加趨于平坦。這表明,隨著經(jīng)濟的結(jié)束來臨,邊際勞動收入稅增加的人群在不斷地擴張,體現(xiàn)對高能力者的激勵效果不斷減少。而邊際勞動收入稅增加的幅度也在減少,處于中間能力層的邊際稅負減輕,而高能力和低能力者的邊際稅負增加。再看資本收入稅和勞動能力之間關(guān)系隨風險回避系數(shù)σ的變化,如圖7。
圖7 勞動收入稅與勞動能力關(guān)系隨σ變化趨勢
圖7表明隨著風險回避系數(shù)σ的增加,勞動收入稅和勞動能力之間的Logistic曲線更加平坦,但是稅負同比增加。相當于Logistic曲線上移且更加平坦。其經(jīng)濟解釋為人們對消費風險態(tài)度增加,就會謹慎消費,為此,通過減少中間能力層人群的邊際稅負,通過財富效應提高其對消費的信心。這種改變體現(xiàn)了Logistic曲線更加平坦,同時需要增加高能力者和低能力者的邊際稅負,因為對高能力者而言,消費風險的增加和財富效應并不在很大程度上影響其消費;而對低能力者而言,他們本身的消費就很低。因此,對于關(guān)注社會福利的政府來說,增加少量的高能力者和低能力者的邊際稅負,減少大量中等能力者的邊際稅負有助于提高社會福利水平。
本文利用拉格朗日方法重新檢驗了Mirrlees(1971)和Golosov等(2003)的模型,改進了他們的結(jié)論。并在不對稱信息經(jīng)濟中在動態(tài)的情形求解了最優(yōu)勞動收入稅,給出了相關(guān)的數(shù)值模擬結(jié)果和解釋。使得Mirrlees模型在靜態(tài)和動態(tài)情形下有比較的可能。同時,本文給出的數(shù)值模擬結(jié)果也使得我們對信息不對稱下的最優(yōu)稅收結(jié)果有更好的認識。
Zhao和Gong(2010a)和Zhao和Gong(2010b)兩文中,將充分利用拉格朗日方法求解在不對稱信息經(jīng)濟中的動態(tài)最優(yōu)稅收政策。但是關(guān)注的重點將不再一定為稅收政策了,如在Zhao and Gong(2010a)中就將關(guān)注的重點放在教育的公共投資和私人投資上。在那時同樣有最優(yōu)稅收政策的參與,但同時也有各類對應性轉(zhuǎn)移支付的政策,此時考察的應該是最優(yōu)的財政政策。在Zhao和Gong(2010b)中將關(guān)注的重點放在財政分權(quán)的結(jié)構(gòu)上,得到的最優(yōu)財政政策分為兩類:一類是地方政府的最優(yōu)稅收政策,另一類是中央政府的最優(yōu)稅收和對應性轉(zhuǎn)移支付政策。
參考文獻:
1.趙曉軍:《非對稱信息下的最優(yōu)稅收理論研究》[D],北京大學博士畢業(yè)論文,2010年。
2.Atkinson,A.and J.E.Stiglitz,1976,“The Design of Tax Structure:Direct Versus Indirect Taxation”[J],Journal of Public Economics,Vol 6,No.3:55-75.
3.Atkinson,A.and J.E.Stiglitz,1980,Lectures on Public Econom ics,[M],New York,NY:M cGraw-Hill.
4.Cham ley,C.1986,“Optimal Taxation of Capital Income in General Equilibrium w ith Infinite Lives”[J],Econometrica,Vol 54,No.2:607-622.
5.Diamond,P.and J.A.Mirrlees,1978,“A Model of Social Insurance w ith Variable Retirement”[J],Journal of Public Economics,Vol 10,No.3:295-336.
6.Diamond,P.and J.A.Mirrlees,1986,“Payroll-Tax Financed Social Insurance w ith Variable Retirement”[J],Scandinavian Journal of Economics,Vol 17,No.4:25-50.
7.Golosov,M.,Kocherlakota,N.and O.Tsyvinski,2003,“Optimal Indirect and Capital Taxation”[J],Review of Economic studies,Vol 70,No.5:569-587.
8.Gong,L.T.,Zhao,X.J.,Yang,Y.H.and H.F.Zou,2010,“Stochastic Grow th w ith the SocialStatus Concern: The Existence of a Unique Stable Distribution”[J],Journal of Mathematical Economics,Vol 46,No.4: 505-518.
9.Judd,K.,“Redistributive Taxation in a Simple Perfect Foresight Model”[J],Journal of Public Economics,1985,Vol 28,No.1:59-83.
10.Kocherlakota,N.,1998,“The Effects of Moral Hazard on Asset Prices When Financial Markets Are Complete”[J],Journal of Monetary Economics,Vol 41,No.4:39-56.
11.Kocherlakota,N.,2005b,“Zero Expected Wealth Taxes:A Mirrlees Approach to Dynamic Optimal Taxation”[J],Econometrica,Vol 73,No.4:1587-1621.
12.Kocherlakota,N.,2004,“Wedges and Taxes”[J],The American Economic Review,Vol 94,No.5:109-113.
13.Mirrlees,J.,1971,“An Exploration in the Theory of Optimum Income Taxation”[J],Review of Economic Studies,Vol 38,No.2:175-208.
14.Mirrlees,J.,1976,“Optimal Tax Theory:A Synthesis”[J],Journal of Public Economics,Vol 6, No.5:327-58.
15.Rogerson,W.,1985,“The First-Order Approach to Principal-Agent Problems”[J],Econometrica,Vol 53, No.5:1357-67.
16.Zhao,X.J.and L.T.Gong,2007,“A Generalization of Duality Approach in Stochastic Grow th”[D], Working Paper Peking University.
17.Zhao,X.J.and L.T.Gong,2009,“The First-Order Conditions of Dynam ical Optimal Problems w ith Incentive Compatible Constraints”[D],Working Paper Peking University.
18.Zhao,X.J.and L.T.Gong,2010a,“The Optimal Taxation Theory w ith Labor Ability Evolution Mechanism”[D],Working Paper Peking University.
19.Zhao,X.J.and L.T.Gong,2010b,“The Optimal Fiscal Policy in the Fiscal Decentralized Econmy w ith Asymmetric Information”[D],Working Paper Peking University.
20.Zhu,X.D.,1992,“Optimal Fiscal Policy in a Stochastic Grow th Model”[J],Journal of Economic Theory, Vol 58,No.2:250-289.
(H)
*本文為國家社科基金重大項目(批準號:15ZDA007)的階段性成果,感謝中央財經(jīng)大學科研創(chuàng)新團隊支持計劃的資助,作者感謝匿名審稿人提出的寶貴意見,文責自負。