如何給小學生上一節(jié)“分形”的課

【教學內容】

西南師大版《數學文化讀本》四年級下冊“科克雪花”。

【教學過程】

一、提問引入，驅動探究任務

師：（板書：科克雪花）看到這個標題，你會有什么疑問？

生：為什么叫“科克雪花”？

生：和我們平時所說的雪花一樣嗎？

生：科克雪花有什么特點呢？

師：科克雪花是1904年由瑞典數學家科克受雪花形狀的啟發(fā)創(chuàng)造出來的，因此就以他的名字命名。

評析：學生看到“科克雪花”這個標題就會有很多疑問，先讓他們說說自己的問題，一方面可激發(fā)學習興趣，另一方面在問題驅動下教學也會更加有效。

二、探討畫法，初步感知特點

師：先來看看它是怎么創(chuàng)造出來的。這個圖形有點兒復雜，怎么辦？我們把它簡化一下，先畫一個等邊三角形。在腦子里想象一下，“科克雪花”是怎樣從三角形一步一步演變過來的？

生1：可再畫一個等邊三角形，進行旋轉，把兩個三角形疊放到一起。

生2：還可以把等邊三角形的一條邊進行三等分，再從中間那里畫一個等邊三角形。

師：好，我們用動畫演示一下。（如圖1）

生：接下來重復生2的步驟，重復幾次就能得到“科克雪花”了。

圖1

評析：將“科克雪花”畫法的教學分成了三步。第一步是“簡化”，通過簡化，演變到學生熟悉的等邊三角形；第二步是“想象畫”，探討“科克雪花”是怎樣從等邊三角形演變過來的，給學生充分的想象空間；第三步討論“科克雪花”的“具體畫法”，學生充分感受到了“科克雪花”是“不斷重復性”的操作結果。

三、探究特征，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律

師：從左往右仔細觀察圖1，從第1幅到第4幅，發(fā)生了什么變化？

生：它們的邊長、周長、面積都發(fā)生了變化。（教師板書）

（一）探索邊數特征。

1.學生自主數。

師：先來看看邊數發(fā)生了什么變化。同學們拿出學習單，數一數，填一填。（如圖2）

圖2

2.學生匯報。（略）

3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生：我其實沒有數，我是發(fā)現(xiàn)了邊數之間的規(guī)律，都是乘4的關系。

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的？

（1）方法一：數一數。

生：我先數出前面幾個圖形的邊數，再推測出第4個圖形的邊數是48×4=192。

（2）方法二：根據邊數的變化規(guī)律。

生：三角形的每條邊都變成了4條邊。(教師動態(tài)演示)

生：所以第2個圖形有3×4條邊，第3個圖形有 3×4×4 條邊，第 4 個圖形就有 3×4×4×4=192（條）邊。

師：第10個圖形有幾條邊呢？

師：（小結）每變化一次，邊數就變?yōu)樵瓉淼?倍。

（二）探索周長特征。

1.學生自主算。

師：它的周長又會怎么變呢？假設等邊三角形的邊長為9，數一數，算一算。

2.學生匯報。

(1)方法一：根據邊長×邊數。

生：算出每條邊的長度，乘上邊數就可以了。

師：邊數我們剛才已經研究過了，再看邊長是怎么變化的。（教師動態(tài)演示，如圖3）

師：我們再計算出它們的周長。

圖3

（2）方法二：根據周長的變化規(guī)律。

生：前面圖形的每條邊都平均分成3份，到后面的圖形就變成了4份，相當于每條邊的長度都增加了，周長也就增加了，所以后一個圖形的周長就是前一個圖形周長的倍。如圖4

圖4

師：第10個圖形的周長是多少？

師：如果一直變下去，周長會變成無限大嗎？

學生思考，并進行辯論，最后得出結論：周長會變成無限大。

（三）探索面積特征。

師：一直這樣變下去，它的面積會變成無限大嗎？

生：會，因為面積一直在變大，最后就會變成無限大。

生：不會，因為面積增加的部分越來越小了。

學生開始爭辯，教師出示原三角形的外接圓。（如圖 5）

圖5

生：一定會比它的外接圓面積小，面積不會變成無限大。

評析：學生在探究的過程中發(fā)現(xiàn)了邊數、邊長、周長的變化規(guī)律。其中周長的變化規(guī)律是最難理解的。大部分學生是利用邊數×邊長的方法，也有部分學生是利用周長的變化特征來解決的。教師追問第10個圖形的邊數、周長，讓學生明白“科克雪花”是按照一定的規(guī)律一直變化下去的。

四、欣賞分形，感受數學之美

師：你相信有這樣的曲線嗎？它所圍的面積是有限的，但它的周長趨于無窮大！

生：有，“科克雪花”曲線就是這樣的。（教師動態(tài)演示）

師：你相信有這樣的平面圖形嗎？它的周長趨于無窮大，但它的面積趨于零。（學生沉默）有，謝爾賓斯基三角形就是這樣的。（動態(tài)演示，如圖6）

圖6

師：你相信有這樣的立體圖形嗎？它的表面積趨于無窮大，而它的體積趨于零。（學生沉默）有，門格爾海綿就是這樣的。（動態(tài)演示，如圖7）

圖7

師：這三個圖形人稱幾何中的三大怪物，它們都是“分形”。

師：你覺得什么是“分形”？

生：重復前面的操作。

生：不管放大多少倍，都是長一樣的。

生：它們的規(guī)律都是一樣的。

師：下面請同學們欣賞分形圖形。（出示各種動態(tài)圖）分形也稱為大自然的幾何。

評析：通過對“幾何三大怪物”的欣賞，打破學生的幾何思維，最后引出像這樣的圖形就是 “分形”。接下來欣賞各種分形的動態(tài)圖和大自然中分形的景象。讓學生在欣賞中感受分形之美，感受數學之美，激發(fā)學生進一步探索、研究數學。

五、總結提升，增強數學情感

師：分形為人們從局部認識整體、從有限認識無限提供了方法。它讓我們對幾何的研究進入了一個新的世界，這個世界等待著同學們去探索。

【總評】

對四年級學生來說，對“科克雪花”特征的探究還存在很大的難度，也無法更進一步感受“分形”的美妙。于是這節(jié)課唐老師在六年級進行教學嘗試。整節(jié)課從畫“科克雪花”再到對其特征的探索，再到分形的介紹和賞析，讓學生一步步感知分形。