探研六階微分系統(tǒng)主次特征值之比的下界

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104）

探研六階微分系統(tǒng)主次特征值之比的下界

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104）

對六階微分系統(tǒng)廣義低階特征值進行定量分析，運用經(jīng)典的Sturm-Liouville特征值定性理論，利用矩陣運算、分部積分、測試函數(shù)和Schwartz不等式等具體方法，找到了所論問題的主特征值與主特征向量間的關(guān)系，并獲得了主次特征值之比的下界估計不等式，此界僅與系統(tǒng)的系數(shù)有關(guān)，而與所論區(qū)間的幾何度量無關(guān)，其結(jié)果是參考文獻結(jié)論的進一步推廣。

六階微分系統(tǒng)；特征值；Rayleigh定理；特征向量；估計下界

在用分離變量法討論偏微分方程的定解問題時，首先需將問題轉(zhuǎn)化成常微分方程的特征值問題，然后根據(jù)邊界條件，得到特征值所滿足的方程。絕大多數(shù)情形下，這類方程為超越方程，因而沒有求特征值和特征函數(shù)的一般方法，從而無法求得特征值的精確值，但在物理學(xué)、彈性力學(xué)和生物學(xué)等許多學(xué)科中常需對某個微分方程或方程組的前幾個特征值作定量分析，因為實際系統(tǒng)的重要物理特性主要由這幾個低階特征值來反映，既然無法求得問題的精確值，退而次之，估計其范圍不失為一種選擇。因此，本文考慮如下由任意多個方程構(gòu)成的一類六階微分系統(tǒng)廣義特征值的估計問題

其中（a，b）?R是一個有界開區(qū)間，pij（x）∈C3[a，b]，qij（x）∈C[a，b]，sij（x）∈C1[a，b]，且滿足pij（x）=pji（x），qij（x）=qji（x），sij（x）=sji（x）（i，j=1,2，…，n），為簡化推導(dǎo)過程，引入下面矩陣和向量的記號：

且滿足如下正定或半正定條件：對任意n維向量ξ=（ξ1，.ξ2，…，ξn）T，有

上述μi，υi（i=1,2）均為正常數(shù)，T為轉(zhuǎn)置符號。

特征值估計問題是特征值理論研究中的重要一環(huán)，近年來，隨著估計理論的深入及估計方法的多樣化，在此領(lǐng)域內(nèi)又取得了一系列豐碩的研究成果[1-7]，筆者參考文獻[1]中對六階微分方程特征值的討論方法，獲得了問題（1）主次特征值之比下界的如下估計結(jié)論。

定理1設(shè)λ1,λ2分別是問題（1）的主、次特征值（0＜λ1≤λ2），則有

文獻[1]討論的六階微分方程即是本文問題（1）當(dāng)n=1,q11(x)=0,s11(x)=0時的特例，文獻[2]討論的六階微分方程廣義特征值問題也是問題（1）當(dāng)n=1時的特例，文獻[3]討論的某類六階微分系統(tǒng)是問題（1）當(dāng)Q(x)=0(零矩陣)時的通常意義下的特征值含權(quán)估計問題，因此，問題（1）的廣義特征值估計結(jié)果可視作是文獻[1-3]的進一步推廣，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和力學(xué)等學(xué)科中有著一定的參考和應(yīng)用價值[8-10]。

1 定理的證明

首先說明問題（1）的特征值 λ都為正實數(shù)，在（1）兩端同乘 u，再在區(qū)間（a，b）上積分，利用式（2）、（4）和分部積分公式，并利用到邊界條件，可得

另外，由問題（1）中邊界條件和式（3），可得

由上式和（5）知λ為非負實數(shù)。

另一方面，λ不會等于零，否則由式（5）知um=0，可推得u=c0+c1x+c2x2（其中c0，c1，c2為n維常向量），代入邊界條件u（a）=u'（a）=u''（a）=0，即得c0=c1=c2=0，也即u=0，而這與特征向量為非零向量矛盾，所以λ＞0。

設(shè)問題（1）的主特征值λ1對應(yīng)的主特征向量為u，且滿足

運用分部積分，有

由式（6）和（3），得

由問題（1），利用分部積分、式（6）和（4）有

利用式（2）和（8），得

由此可知，φ與u廣義正交，同時滿足奇次邊界條件：φ(k）（a）=φ(k）（b）=0，k=0,1,2)，根據(jù)廣義Rayleigh定理知，成立著

利用φ的定義和式（1），計算可得

因此

另一方面

根據(jù)上面兩式可得

利用式（10）、（11），有

引理1設(shè)u是問題（1）對應(yīng)于主特征值的主特征向量，則與滿足如下一系列不等式

證明：利用P(x)的正定性、式（2）、（7）和（8），有

即得引理1（a）。

利用分部積分和Schwartz不等式、式（7）和（9）得

即得引理1（b）。

由式（7）、分部積分、Schwartz不等式、（3）和引理1（b）得

化簡即得引理1（d）。

引理2 設(shè)λ1是問題（1）的主特征值，則

證明：利用分部積分和φ的定義，計算可得

類似可得

于是

將引理1的估計結(jié)論代入上式右端，有

引理2證畢。

引理3對于上述定義的試驗函數(shù)φ與主特征值λ1，下列不等式恒成立

證明：利用分部積分和φ的定義，并結(jié)合邊界條件有

由此可得

利用式（13）、（7）、Schwartz不等式、（3）和引理1（b）得

整理上式，即得引理3。

定理1的證明：將引理2的估計結(jié)論代入式（12）右端得

再將引理3的估計不等式代入上式左端，經(jīng)化簡整理即得定理1的結(jié)論。

2 一般情形

現(xiàn)再將定理1的結(jié)論進一步推廣至如下一般情形的偶數(shù)階微分系統(tǒng)：

定理2 設(shè)λ1,λ2分別是問題（14）的主、次特征值（0＜λ1≤λ2），則有

易見當(dāng)t=3時，定理2即為定理1。

3 結(jié)語

［1］韓秋敏，錢椿林．六階某類微分方程第二特征值的上界［J］．蘇州大學(xué)學(xué)報，1999，15（4）：26－30．

［2］黃振明．六階微分方程第二廣義譜的含權(quán)上界估計［J］．嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報，2012，30（11）：10－13．

［3］黃振明．一類六階微分系統(tǒng)特征值的上界估計［J］．甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，21（1）：11－15．

［4］金光宇，錢椿林．四階常微分方程的特征值估計［J］．蘇州絲綢工學(xué)院學(xué)報，1996，16（4）：115－119．

［5］吳平，錢椿林．梁橫向振動方程的離散特征值估計［J］．江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報，2001，12（6）：40－42．

［6］張長青，錢椿林．某類微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計［J］．江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報，2002，13（6）：34－36．

［7］胡志堅，錢椿林．四階微分方程廣義第二特征值的上界估計［J］．江南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，4（4）：427－430．

［8］PROTTER M H．Can one hear the shape of a drum?［J］．SIAM Rev，1987，29（2）：185－197．

［9］HOOK S M.Domain independent upper bounds for eigenvalues of elliptic operator［J］．Trans Amer Math Soc，1990，318：615－642．

［10］ASHBAUGH M S．The universal eigenvalue bounds of Payne－Polya－Weinberger，Hile－Protter，and H C Yang［J］．Proc Indian Acad Sci Math Sci，2002，112（1）：3－30．

（責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

On the Lower Bound of the Ratio of Principal Eigenvalue to Secondary One for Differential System with Sixth-order

HUANG Zhen-ming
(Department of Mathematics and Physics,Suzhou Vocational University,Suzhou 215104,China)

The quantitative analysis of generalized lower-order eigenvalues for differential system with sixth-order is conducted in this paper.The relationship between principal eigenvalue and its eigenvector is found by using classical Sturm-Liouville's eigenvalue qualitative theory,matrix operation,integration by parts,trial function and Schwartz inequality etc.The inequality of the lower bound of the ratio of principal eigenvalue to secondary one is also gained.This bound is only dependent of the system's coefficients,but not the measure of the domain in which the problem is concerned.The results are the further extension of the conclusion of the bibliography.

sixth-order differential system;eigenvalue;Rayleigh theorem;eigenvector;lower bound estimate

O175.9

A

1673-4343（2017）02-0011-06

10．14098／j．cn35－1288／z．2017．02．003

2016-11-20

黃振明，男，江蘇蘇州人，副教授。主要研究方向：微分算子的特征值估計。