關(guān)于“平行線分線段對應(yīng)成比例”的證明

劉琴

摘要：平行線分線段對應(yīng)成比例定理是推導(dǎo)三角形相似的性質(zhì)和判定的預(yù)備定理。本文通過面積法將平行線分線段對應(yīng)成比例的結(jié)論由直角三角形到一般三角形，進而再推廣到一般的情形。

關(guān)鍵詞：平行線；面積；成比例

中圖分類號：G648 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）02-0144-01

正文：人教版九年級下在講解平行線分線段對應(yīng)成比例定理部分用的是度量法，此方法對于線段為整數(shù)時，容易測量出，但對于線段不為整數(shù)，特別是無理數(shù)時，不便測量，而且度量有時可能會有誤差。本文用面積法來證明其結(jié)論。

（一）預(yù)備知識：比例性質(zhì)

已知ba=dc可得性質(zhì)①b+aa=d+cc，性質(zhì)②b-aa=d-cc，性質(zhì)③b+da+c=ba=dc。

（二）命題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，求證：ADAB=AEAC=DEBC。

證明：用面積法證明，連接DC，BE，如圖2.由DE∥BC，△BDE和△BCE等底等高因而SVBDE=SVDCE，則SVABE=SVADC。過點E作EF⊥AB于F。

由面積公式可得12·AB·EF=12·DE·AC，即EFDE=ACAB⑴

且SVADE=12·AD·EF=12·AE·DE，即EFDE=AEAD⑵

由⑴⑵可得ACAB=AEAD，即ACAE=ABAD，由比例性質(zhì)②，可得AC-AEAE=AB-ADAD即ECAE=BDAD，也有ECAC=BDAB.過D點作DG⊥BC于G，四邊形DGCE為矩形，因而DE=GC，由于DG∥AC，由前面的證明可得GCBC=ADAB，因而有DEBC=ADAB，綜上可得ADAB=AEAC=DEBC。

（三）命題2：如圖3，在△ABD中，EF∥BD，交AB于E，交AD于F，求證：AEAB=AFAD=EFBD。

證明：過A點作AC⊥BD于點D，交EF于點G，如圖4，

由命題1可得，在Rt△ABC中，AEAB=EGBC=AGAC，在Rt△ACD中，AFAD=GFCD=AGAC，因而有AEAB=AFAD=EGBC=GFCD，對后面兩個式子運用比例性質(zhì)③可得EGBC=GFCD=EG+GFBC+CD=EFBD，因而有AEAB=AFAD=EFBD。

（四）命題3：如圖5，任意兩條直線11，12，與另外三條平行直線13，14，15，求證：AEAB=GHGI。

證明：過A點做AD平行于GI交14于F，交15于D，如圖6.由于AG∥DI，AD∥GI，因而四邊形ADIG是平行四邊形，故AD=GI，同理可得在YAFHG中有AF=GH，由命題2可得，AEAB=AFAD，等量代換可得AEAB=GHGI。命題得證。

再由比例性質(zhì)可得另外的兩個結(jié)論：AEBE=GHHI，BEAB=HIGI。

參考文獻：

[1] 謝賢忠.引導(dǎo)學(xué)生知其所以然 . 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015，3

[2] 謝裕宏.重視教材"探究活動"，專業(yè)自主增設(shè)課時. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2015，4