培育量感：面積教學(xué)的新方向
——以人教版數(shù)學(xué)教材三年級下冊“長方形和正方形面積的計算”為例

林嚇妹

（福建省大田縣城關(guān)第一小學(xué)）

長方形和正方形面積的教學(xué)是整個面積大單元教學(xué)的起始課。在以往的教學(xué)中，一般是先用面積單位測量長方形面積，計數(shù)所用面積單位的個數(shù)有兩種方法：一是直接數(shù)出個數(shù)，這是計數(shù)水平；二是數(shù)出每行的個數(shù)和行數(shù)，用乘法計算出個數(shù)，這是運(yùn)算水平。雖然它也強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生體會度量的意義，滲透度量意識，但僅是在認(rèn)識度量單位，而對于面積計算并沒有突出度量的操作。從對一維長度的度量到對二維面積的度量，是學(xué)生認(rèn)識上的一次飛躍，是學(xué)生在面積方面的量感發(fā)展。本文以人教版數(shù)學(xué)教材三年級下冊“長方形和正方形面積的計算”為例，論述如何培養(yǎng)學(xué)生的量感。

一、面積的量感

數(shù)感和量感都是數(shù)的表達(dá)，數(shù)感可以把數(shù)的后綴名詞去掉，而量感則是數(shù)要帶著其后綴名詞。所以說，數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)量是度量的結(jié)果，數(shù)是對度量結(jié)果的一種符號表達(dá)。傳統(tǒng)的度量是對幾何的長度、面積、體積等的度量。培養(yǎng)學(xué)生的量感主要有三個方面：一是統(tǒng)一度量單位，二是選擇度量單位進(jìn)行度量，三是合理得到度量的結(jié)果。

度量物體的長度，常用的工具是米尺等計量長度的儀器。必須提及的是，之所以說數(shù)學(xué)課本的長是26 cm，是因為米尺的長度是26 cm，它的數(shù)量正好與課本的長度相等。度量物體的面積有類似于米尺的面積測量工具嗎？為了教學(xué)方便，教師可以印刷一些面積是1 cm2的方格紙讓學(xué)生用于測量平面圖形的面積。實際上，面積測量工具并不存在，特別是面積是1 m2的測量工具。

使用面積是1 cm2的方格紙進(jìn)行度量，測量對象長方形角的頂點(diǎn)與方格紙交點(diǎn)重合，相鄰的兩邊與網(wǎng)格線重合。操作之后，學(xué)生要數(shù)出每行的個數(shù)和行數(shù)，從而感悟到面積也是通過兩點(diǎn)間的距離而得到的，這還是一個二維空間。若學(xué)生的認(rèn)知只處于計數(shù)水平，“求面積的大小就是求一個圖形包含面積單位的個數(shù)”，那么他可能無法培育出面積的量感。因為面積的量感不僅有數(shù)量上的多少關(guān)系，還有空間上的大小關(guān)系。

為了培育量感，教學(xué)時教師可以把面積的度量變成綜合與實踐活動，讓學(xué)生以主題的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)活動，先根據(jù)圖形的大小選擇合適的面積單位，接著用選定的面積單位進(jìn)行實際操作，再通過加法或乘法運(yùn)算合理地得到度量的結(jié)果。經(jīng)過多次重復(fù)操作之后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法進(jìn)行推理，進(jìn)而得到長方形的面積計算公式。

二、基于培育量感的教學(xué)探究

面積是重要的乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。量度的積是由兩個測量空間的笛卡兒組合（即長度M1、寬度M2）形成面積M3而構(gòu)成的一個結(jié)構(gòu)。教學(xué)時，教師要突出對乘法結(jié)構(gòu)的認(rèn)知。

（一）選擇工具

教師提出問題：我們的數(shù)學(xué)書封面、課桌面、教室地面都是長方形，用面積分別是1 cm2的正方形、1 dm2的正方形、1 m2的正方形作為測量工具，要測量它們的面積，所使用的測量工具一樣嗎？

學(xué)生的答案可能有：數(shù)學(xué)書封面比較小，用面積是1 cm2的正方形測量；教室地面最大，用面積是1 m2的正方形測量；那么，課桌面就用面積是1 dm2的正方形量。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生明確度量對象，體會事物的可測量屬性，并形成對面積大小關(guān)系的直觀感知，根據(jù)實際需要選用不同的面積單位作為度量工具。

（二）度量的操作

教師拿出5 cm×3 cm 的長方形紙片，學(xué)生用面積是1 cm2的正方形紙片度量。度量時，正方形的頂角與長方形的頂角重合，用筆在長方形紙片上畫出面積是1 cm2的正方形，沿著長邊平移正方形紙片，再畫一個正方形，一行正好是5 cm2；沿著短邊平移正方形紙片，再畫一個正方形，正好是3 行?；蛘哂妹啃「衩娣e是1 cm2的方格紙進(jìn)行整體度量，在度量時，長方形角的頂點(diǎn)與方格紙交點(diǎn)重合，相鄰的兩邊與網(wǎng)格線重合，學(xué)生經(jīng)過觀察會認(rèn)識到：每行有5 cm2，有3 行。

【設(shè)計意圖】用1 個單位的正方形紙片把既定的圖形鋪滿，這是面積度量的本原方法。教師還可把面積的度量變成綜合與實踐活動，幫助學(xué)生在活動中發(fā)展量感。在度量過程中，學(xué)生要用好后綴詞——計量單位，它是數(shù)感與量感的根本區(qū)別。把長方形面積分兩類：每行的面積數(shù)和行數(shù)，為歸納面積計算公式創(chuàng)造條件，學(xué)生可以體會面積是一個二維空間。

（三）度量結(jié)果數(shù)學(xué)化表達(dá)

教師引導(dǎo)學(xué)生把上述度量結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化表達(dá)，加法算式為：5＋5＋5=15（cm2）；乘法算式為：5×3=15（cm2）。

練一練。學(xué)生用面積是1 dm2的正方形紙片在課桌上度量出6 dm×4 dm=24 dm2的部分，加深體會度量的積的實際意義。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上述例子進(jìn)行歸納概括：長方形的面積=每行面積單位數(shù)×行數(shù)。

【設(shè)計意圖】度量的積是學(xué)生認(rèn)識和掌握長方形的面積計算公式的前提條件。運(yùn)用加法意義和乘法意義進(jìn)行列式計算，歸納面積計算公式就水到渠成了。

（四）面積再理解

教師引導(dǎo)學(xué)生對5 cm×3 cm 長方形紙片的度量過程及其結(jié)果進(jìn)行反思性思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：度量得到的每行有5 cm2，它正好對應(yīng)長方形的長5 cm；而度量得到的3 行，它正好對應(yīng)寬3 cm。據(jù)此，學(xué)生提出數(shù)學(xué)猜想：長方形的面積=長×寬。

接著，學(xué)生對課桌的度量過程及其結(jié)果進(jìn)行反思，再一次驗證猜想。這時，有學(xué)生可能提出新的面積度量方法，即只需運(yùn)用直尺或米尺就可度量出長方形的兩條鄰邊的長度，根據(jù)邊的長度推想出：每行的面積數(shù)和行數(shù)，再計算它們的積。

教師引導(dǎo)學(xué)生用米尺度量出教室的長為8 m、寬為6 m，推想出：每行有8 m2，有6 行，面積是48 m2。學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法，概括長方形的面積計算公式是：長方形的面積=長×寬。

教師拿出一張A4 紙（30 cm×21 cm），剪下一個最大的正方形，折一折，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：長與寬相等。學(xué)生進(jìn)而推導(dǎo)出正方形的面積計算公式是：正方形的面積=邊長×邊長。最終引導(dǎo)學(xué)生理解度量的積，即每行有21 cm2，有21行。

【設(shè)計意圖】長度M1、寬度M2如何形成面積M3？是相鄰兩條邊的長度相乘得出來的嗎？5 cm×3 cm怎么會變成15 cm2？從直觀上看，長方形的面積是長與寬的積；從本質(zhì)上看，長方形的面積是每行面積單位數(shù)和行數(shù)的積，只是每行面積單位數(shù)和行數(shù)與長方形的長和寬相等。長方形的面積可以用長度單位進(jìn)行間接度量，學(xué)生就能感悟到面積的本質(zhì)還是兩點(diǎn)間的距離。

三、對平面圖形面積教學(xué)的啟示

（一）為什么數(shù)方格

數(shù)方格的實質(zhì)是數(shù)單位面積。數(shù)方格是學(xué)習(xí)求圖形面積的重要方法，特別是在“用線性測量的方法測量面積”之前；數(shù)方格還用于推導(dǎo)長方形、平行四邊形等平面圖形的面積公式。除此之外，數(shù)方格還有許多奧秘需要進(jìn)一步研究。

1.對方格的認(rèn)識

尺子是長度的測量工具，把尺子上的長度映射到物體上就得到物體的長度。一般地，在面積的教學(xué)中，只有面積單位，而沒有像尺子那樣的面積測量工具。為了適應(yīng)教學(xué)的需要，教師可以自制面積的測量工具——打印面積是1 cm2的方格紙或購買網(wǎng)格坐標(biāo)計算紙。方格的幾何特征是有4 個直角、4 條邊相等，方格的面積單位意義是可用“1”表示。因此，一個方格表示1 個面積單位，一些方格則表示像尺子那樣的面積測量工具。教學(xué)時，教師先要讓學(xué)生認(rèn)識方格的幾何特征和面積單位意義，然后才能把作為測量對象的平面圖形放置在方格紙上，最終通過計算方格的數(shù)量從而確定平面圖形的面積。

2.數(shù)方格要分類

數(shù)方格有兩種方式：一是不分類，即每個方格都是表示1 個面積單位，這種具有同一性的認(rèn)知，可以作為數(shù)的認(rèn)識的“幾何直觀”使用，它不一定要賦予面積單位的意義。此時，學(xué)生的認(rèn)知處于計數(shù)水平。二是有分類，即方格按“行”分類，第一行方格為一類，第二行方格則為另一類，這兩類方格為全異關(guān)系，所以，可以合并起來用加法計算；方格有b行，就是分b類。在面積測量時，每行有a個面積單位，可以轉(zhuǎn)換圖形的長為a個長度單位；有b行，可以轉(zhuǎn)換圖形的長為b個長度單位。方格的分類與圖形的長、寬建立了必然的聯(lián)系，學(xué)生就學(xué)會“用線性測量的方法測量面積”。教學(xué)時，教師要讓學(xué)生的認(rèn)知從計數(shù)水平上升到運(yùn)算水平，進(jìn)而探究和掌握圖形的面積公式。

3.用方格測量

用方格紙測量圖形的面積有操作的基本要求，即圖形有一個角的頂點(diǎn)與方格的一個網(wǎng)格點(diǎn)重合，圖形有一條邊與方格的一條網(wǎng)格線重合。測量過程中，方格的數(shù)量有多少，那么圖形的面積就有多少，其結(jié)果可以表征為數(shù)方格。數(shù)方格的過程與結(jié)果，常常成為探究圖形的面積公式的路徑。教學(xué)時，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷用方格測量面積的過程，否則“只是簡單地‘告訴’學(xué)生圖形的面積公式，這對學(xué)生來說，即使不是毫無意義，也是意義甚微的?！?/p>

數(shù)方格還有一個教學(xué)目的是讓學(xué)生不數(shù)方格，并學(xué)會用長度單位進(jìn)行間接的度量，提煉出圖形的面積公式，利用公式計算面積。進(jìn)一步說，最終是達(dá)到用面積單位的直接測量與用長度單位的間接測量這兩個測量方法之間的統(tǒng)一。有了這個統(tǒng)一，學(xué)生就能將圖形的長度和寬度自動地想象成用面積單位度量的樣子，形成面積的量感。

（二）圓的面積如何數(shù)方格

用數(shù)方格的方法度量直線圖形，教學(xué)時比較容易操作，學(xué)生也比較容易理解，因為任意的直線圖形總有關(guān)鍵點(diǎn)可以與網(wǎng)線點(diǎn)重合。圓是曲線圖形，它沒有直角，還能不能用方格紙度量其面積，并使得所有的圖形面積具有面積度量的一致性？在這里，考驗著學(xué)生的創(chuàng)新意識。在圓上所有的點(diǎn)都是平等的，確實沒有關(guān)鍵點(diǎn)，但在圓的內(nèi)部卻有一個關(guān)鍵點(diǎn)，那就是圓心。圓心的作用不僅決定著圓形所在的位置，它還是用面積單位進(jìn)行度量的關(guān)鍵點(diǎn)，在方格紙上圓心與網(wǎng)格點(diǎn)重合，可以結(jié)合估算度量圓的面積。當(dāng)然，比較有智慧的學(xué)生也可能以圓上的任意點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)，使得圓的直徑及其切線分別與方格紙兩垂線重合，在外方內(nèi)圓的圖形里探究圓的面積的度量。

（三）不規(guī)則圖形如何數(shù)方格

規(guī)則的圖形可以用數(shù)方格的方法度量面積，其實不規(guī)則圖形也可以使用這種方法。通過圖形的中心點(diǎn)度量其面積是任意圖形的面積度量通用的方法，即以不規(guī)則圖形的合適位置為中心點(diǎn)作垂線，中心點(diǎn)與方格紙的網(wǎng)格點(diǎn)重合，垂線與方格紙的網(wǎng)格線重合，再結(jié)合移多補(bǔ)少的方法，不規(guī)則圖形的面積就度量出來了。

綜上所述，圖形的面積教學(xué)要讓學(xué)生“經(jīng)歷選擇面積單位進(jìn)行測量的過程，理解面積的意義，形成量感”，這是面積教學(xué)的新方向。