利用MATLAB生成Koch曲線

張笑笑

摘 要 分析Koch曲線的構(gòu)造過(guò)程，然后編寫生成Koch曲線生成元的M函數(shù)，通過(guò)該M函數(shù)的遞歸調(diào)用來(lái)生成Koch曲線。通過(guò)Koch曲線，便于更直觀地理解分形，獲得分形帶來(lái)的藝術(shù)美感。

【關(guān)鍵詞】分形 Koch曲線 遞歸

自然界存在許多復(fù)雜事物和現(xiàn)象，如蜿蜒曲折的海岸線、天空中奇形怪狀的云朵、錯(cuò)綜生長(zhǎng)的灌木、太空中星羅棋布的星球等，還有許多社會(huì)現(xiàn)象，如人口的分布、物價(jià)的波動(dòng)等，它們呈現(xiàn)異常復(fù)雜而毫無(wú)規(guī)則的形態(tài)，但它們具有自相似性。人們把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形（fractal），在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)，稱為分形理論。Koch曲線由瑞典數(shù)學(xué)家科赫（Koch）于1904年提出，是典型的分形曲線。

MATLAB（MATrix LABoratory）是頗具特色和影響的科學(xué)計(jì)算軟件，它以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，將高性能的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算功能、強(qiáng)大的繪圖功能、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真功能以及為數(shù)眾多的應(yīng)用工具箱集成在一起，在科學(xué)研究以及工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。本文以Koch曲線為例，利用MATLAB作為實(shí)現(xiàn)工具，說(shuō)明分形曲線的生成方法。

1 Koch曲線的構(gòu)造過(guò)程

Koch曲線的構(gòu)造過(guò)程是，取一條直線段L0，將其三等分，保留兩端的線段，將中間的一段用以該線段為邊的等邊三角形的另外兩邊代替，得到曲線L1，如圖1所示。再對(duì)L1中的4條線段都按上述方式修改，得到曲線L2，如此繼續(xù)下去進(jìn)行n次修改得到曲線Ln，當(dāng)n→∞時(shí)得到一條連續(xù)曲線L，這條曲線L就稱為Koch曲線。

Koch曲線將每條直線用一條折線替代，這條折線通常稱為該Koch曲線的生成元。曲線的特征完全由生成元決定。給定不同的生成元，就可以生成各種不同的分形曲線。分形曲線的構(gòu)造過(guò)程是通過(guò)反復(fù)用一個(gè)生成元來(lái)取代每一直線段，因而圖形的每一部分都和它本身的形狀相同，這就是自相似性，這是分形最為本質(zhì)的特點(diǎn)。

對(duì)于給定的初始直線L0，需要在線段P1P5中插入三個(gè)點(diǎn)，其中P2，P4為線段P1P5的三等分點(diǎn)， P3可以由P4以P2為軸心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到。

先考慮坐標(biāo)數(shù)據(jù)的處理方法，即根據(jù)P1，P5兩點(diǎn)的初始坐標(biāo)，按照Koch曲線的構(gòu)成原理計(jì)算出 P2，P3，P4各點(diǎn)坐標(biāo)。顯然：

P2=P1+（P5-P1）/3

P4=P1+2（ P5-P1）/3

為了得到P3點(diǎn)坐標(biāo)，引入旋轉(zhuǎn)矩陣。點(diǎn)A對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)度為r的向量，A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△θrad得到B，如圖2所示。

由此，定義旋轉(zhuǎn)矩陣：

則

B=ART

P3點(diǎn)坐標(biāo)可以由以下旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。

R用于對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行60°的旋轉(zhuǎn)，則P3點(diǎn)坐標(biāo)可以由如下的公式得到：

2 Koch曲線的實(shí)現(xiàn)

分形曲線的構(gòu)造過(guò)程也決定了生成該曲線可以用遞歸方法，即函數(shù)自己調(diào)用自己的過(guò)程。定義對(duì)直線L0進(jìn)行替換的函數(shù)koch（），然后利用函數(shù)的遞歸調(diào)用，分別對(duì)P1P2、P2P3、P3P4、P4P5線段調(diào)用koch函數(shù)，通過(guò)遞歸來(lái)實(shí)現(xiàn)替換。程序不能像數(shù)學(xué)家的設(shè)想那樣運(yùn)算至無(wú)窮，所以要根據(jù)要顯示的最小長(zhǎng)度作為遞歸的終止條件。

首先編寫M函數(shù)koch.m如下：

function y=koch（P1，P5，Level）

if Level<1

plot（[P1（1），P5（1）]，[P1（2），P5（2）]，'k'）； %繪制曲線

hold on；

else

R=[cos（pi/3），-sin（pi/3）；sin（pi/3），cos（pi/3）]； %旋轉(zhuǎn)矩陣

P2=P1+（P5-P1）/3； %計(jì)算P2，P3，P4各點(diǎn)坐標(biāo)

P4=P1+2*（P5-P1）/3；

P3=P1+（P5-P1）/3+（P5-P1）*R'/3；

koch（P1，P2，Level-1）； %函數(shù)遞歸調(diào)用

koch（P2，P3，Level-1）；

koch（P3，P4，Level-1）；

koch（P4，P5，Level-1）；

end

M函數(shù)編寫完成后，編寫以下程序。

koch（[0，0]，[1，0]，5）；

axis equal

axis（[0，1，-0.05，0.35]）

程序取Level=5，P1=[0，0]，P5=[1，0]，運(yùn)行結(jié)果如圖3所示。改變Level的值可以獲得不同細(xì)膩程度的Koch曲線。

在程序中三次調(diào)用koch.m函數(shù)，實(shí)現(xiàn)三角形三條邊各自的Koch曲線，形成Koch雪花曲線效果。編寫以下程序，其運(yùn)行結(jié)果如圖4所示。

koch（[1，0]，[0，0]，5）；

koch（[0，0]，[cos（pi/3），sin（pi/3）]，5）；

koch（[cos（pi/3），sin（pi/3）]，[1，0]，5）；

axis equal

3 Koch曲線的變形

參照本文的方法，我們很容易自己構(gòu)造其他生成元的Koch曲線，并利用MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如，修改Koch曲線生成的方法，將線段中凸起“三角形”改為凸起“正方形”，從而形成一種正方形雪花曲線，如圖5所示。

4 結(jié)束語(yǔ)

分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界普遍存在，因此分形幾何學(xué)又被稱為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何學(xué)建立以后，很快就引起了各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的關(guān)注，不僅在理論上，而且在實(shí)用上分形幾何都具有重要價(jià)值。通過(guò)利用計(jì)算機(jī)和MATLAB來(lái)生成分形曲線的圖像，使得我們可以更直觀的感受和理解分形，以及分形帶來(lái)的藝術(shù)之美。

參考文獻(xiàn)

[1]百度百科.分形理論.http：//baike.baidu.com/view/86848.htm.

[2]劉衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)教程（第二版）[M].北京：中國(guó)水利水電出版社，2010.

[3]PRATAP R.Getting Started with MATLAB： A Quick Introduction for Scientists and Engineers.Oxford University Press， New York， 2009.

[4]百度文庫(kù).幾個(gè)分形的matlab實(shí)現(xiàn).http：//wenku.baidu.com/view/e34f87240722192e4536f659.html.

作者單位

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 湖南省長(zhǎng)沙市 410005